-ANALYSE NUMERIQUEINTRODUCTION AUX EDP, DIFFÉRENCES FINIESHicham Meftaheme3 année GP - 2010/2011H. Meftah - ENSA d’Agadir - hmeftah@gmail.com 1 / 57Introduction - GénéralitésLe calcul numérique est devenu l’un des éléments essen-tiels de tout programme de recherche et de développement.H. Meftah - ENSA d’Agadir - hmeftah@gmail.com 2 / 57Introduction - GénéralitésAvantages majeurs du calcul numérique :Réduction significative du temps de conception et de déve-loppementReproduction de conditions non-faisables expérimentalementFourniture d’informations plus détaillées et plus précisesMeilleure rentabilité et plus économique que l’expérienceDes expériences de référence sont cependant nécessairesà la validation initiale des calculs.H. Meftah - ENSA d’Agadir - hmeftah@gmail.com 3 / 57Introduction - GénéralitésTraditionnellement, pour concevoir un fuselage d’avion deligne, Boeing effectuait une vingtaine d’expérience en souf-flerie.A présent, avec l’utilisation du calcul numérique, seules deuxou trois campagnes expérimentales sont nécessaires.Dans les souffleries, des informations globales sont obte-nues : la traînée, la portance, la distribution de pression encertains points.Le calcul numérique permet d’obtenir en plus le champ devitesse et de pression autour de la carlingue (ce que l’ex-périence peut faire mais pour un coût énorme).H. Meftah - ENSA d’Agadir - hmeftah@gmail.
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ANALYSE NUMERIQUE
INTRODUCTION AUX EDP, DIFFÉRENCES FINIES
Hicham Meftah
eme3 année GP - 2010/2011
H. Meftah - ENSA d’Agadir - hmeftah@gmail.com 1 / 57Introduction - Généralités
Le calcul numérique est devenu l’un des éléments essen-
tiels de tout programme de recherche et de développement.
H. Meftah - ENSA d’Agadir - hmeftah@gmail.com 2 / 57Introduction - Généralités
Avantages majeurs du calcul numérique :
Réduction significative du temps de conception et de déve-
loppement
Reproduction de conditions non-faisables expérimentalement
Fourniture d’informations plus détaillées et plus précises
Meilleure rentabilité et plus économique que l’expérience
Des expériences de référence sont cependant nécessaires
à la validation initiale des calculs.
H. Meftah - ENSA d’Agadir - hmeftah@gmail.com 3 / 57Introduction - Généralités
Traditionnellement, pour concevoir un fuselage d’avion de
ligne, Boeing effectuait une vingtaine d’expérience en souf-
flerie.
A présent, avec l’utilisation du calcul numérique, seules deux
ou trois campagnes expérimentales sont nécessaires.
Dans les souffleries, des informations globales sont obte-
nues : la traînée, la portance, la distribution de pression en
certains points.
Le calcul numérique permet d’obtenir en plus le champ de
vitesse et de pression autour de la carlingue (ce que l’ex-
périence peut faire mais pour un coût énorme).
H. Meftah - ENSA d’Agadir - hmeftah@gmail.com 4 / 57Introduction - Structures des équations
Le principe du calcul numérique est de résoudre des équa-
tions différentielles décrivant l’évolution de variables phy-
siques dans l’espace et le temps.
Les difficultés de résolution du problème sont généralement
liées à deux éléments principaux :
La complexité de la géométrie étudiée.
La complexité des couplages entre les différents phénomènes
physiques
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Exemple Numéro 1 : Simulation météorologique.
Géométrie sphérique “simple” à grande échelle mais très
grande (et donc coûteuse en mémoire et en temps).
De plus, les interactions entre l’atmosphère, les océans, les
surfaces émergées, les échanges thermiques, les réactions
chimiques à échelles variables, les rapports d’échelle, etc.
Font de ce problème l’un des plus complexes qui soit.
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Exemple Numéro 2 : Voilier.
Géométrie complexe et particulièrement “fine”
Interactions fluide/structure : solveurs multiples avec cou-
plages entre les deux.
Calcul de la prise au vent de la voile, de la déformation du
mat et des efforts sur la coque.
Calcul de l’aérodynamique, de l’équilibrage de la quille, etc.
Les échelles de longueur sont plus à “taille humaine” mais
les calculs peuvent être très complexes.
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Application : Oscillateur Harmonique
Nous allons prendre, comme premier exemple, un modèle
mécanique pour un oscillateur harmonique. Par exemple,
une masse attachée à l’extrémité d’un ressort.
VF
k raideur du ressort masse m
x
Exercice : Etablire l’équation de mouvement de l’oscillateur
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Application : Oscillateur Harmonique
L’équation du mouvement est donnée par :
2d x
m =−kx
2dt
Et la solution de cette équation est de la forme :
x = Acos(!t+)
Avec A et des constantes dépendantes des conditions auxp
limites et ! = (k=m), la pulsation de l’oscillateur.
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Application : Oscillateur Harmonique
Ce modèle peut être affiné et plus proche de la réalité, en
ajoutant deux forces
1. Une force de contrôle de la pulsation ! imposée par l’opé-c
rateur. Elle est de la forme Fcos(! t)c
2. Une force de résistanceau mouvement−f(dx=dt)
La première correspond à une oscillation de l’axe de l’expé-
rience et la seconde aux frottements appliqués à la masse.
L’équation du mouvement (qui a une solution analytique)
s’écrit alors :
2d x dx
m + f + kx = Fcos(! t)c2dt dt
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