MTH2302B plan de cours automme 2006

Bernard Clément

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1 Département de mathématiques et de génie industriel MTH 2302B – Probabilités et statistique TD-9: échantillonnage / estimation DATE vendredi 26 mars 2010 - 12h45 / 13h45 LOCAL L-6611 Julien Hackenbeck LAMBERT remarque changement de local (salle informatique) PROBLÈME A DISTRIBUTION DE LA MOYENNE : théorème central limite But : vérification expérimentale par simulation du théorème central limite Logiciel : STATISTICA Fichier à employer : distribution_moyenne.sta disponible à l’adresse : http://www.cours.polymtl.ca/mth6301/mth2302/ Description Le fichier distribution moyenne.sta contient 1000 lignes. Chaque ligne peut être considérée comme:  un échantillon de taille 30 (les 30 premières colonnes) d’une loi Exponentielle (lambda = 1). Voir les colonnes x1, x2,…, x30.  la moyenne échantillonnale, notée Xbar, est calculée à partir des n premières observations, où n = 1, 3, 10 et 30. Cela revient à considérer successivement le cas de la moyenne pour un échantillon de taille 1, 3, 10 et 30. Voir les colonnes Xbar (n=1), Xbar (n=3), Xbar (n=10) et Xbar (n=30). Considérons le cas de la moyenne Xbar avec n = 3. Sur chaque ligne se trouve un échantillon de taille 3 si on prend les 3 premières colonnes. La moyenne Xbar a été calculée. On a ligne x1 x2 x3 Xbar (n = 3) 1 1.47 0.33 2.29 1.361 2 0.40 0.36 0.25 0.336 3 0.06 0.56 0.23 0.285 4 0.64 0.97 1.16 0.922 . . . . . 1000 0.06 1.02 0.37 0.483 ...

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1 Département de mathématiques et de génie industriel MTH 2302B–Probabilités et statistique TD9: échantillonnage / estimation DATE vendredi26 mars 2010 12h45/ 13h45 LOCALL6611 JulienHackenbeck LAMBERT remarquechangement de local (salle informatique) PROBLÈME AD ISTRIBUTION DE LA MOYENNE :théorème central limite But : vérification expérimentale par simulation du théorème central limite Logiciel :STATISTICA Fichier à employer :distribution_moyenne.sta dis onibleà l’adresse:htt ://www.cours. ol mtl.ca/mth6301/mth2302/ Description Le fichierdistribution moyenne.stacontient 1000 lignes.Chaque lignepeutêtreconsidérée comme: (les 30 premières colonnes)un échantillon de taille 30d’une loi Exponentielle (lambda = 1). Voir les colonnes x1,x2,…,x30. la moyenne échantillonnale, notée Xbar,estcalculée à partir des npremières observations, où n= 1, 3, 10 et 30. Cela revient à considérer successivement le cas de la moyenne pour un échantillon de taille 1, 3, 10 et 30. Voir les colonnes Xbar (n=1), Xbar (n=3), Xbar (n=10) et Xbar (n=30). Considérons le cas de la moyenne Xbaravec n= 3. Sur chaque ligne se trouve un échantillon de taille 3 si on prend les 3 premières colonnes. La moyenne Xbar a été calculée. On a ligne x1x2 x3 Xbar (n = 3) 1 1.470.33 2.291.361 2 0.400.36 0.250.336 3 0.060.56 0.230.285 4 0.640.97 1.160.922 . . .. . 1000 0.061.02 0.370.483 On a ainsi un total de 1000 échantillons de taille n = 3. Cela donne 1000 valeurs (observations) de la moyenne Xbar. On peut donc ainsi étudier la distribution de la moyenne Xbar pour différentes valeurs de n en prenant le nombre de colonnes correspondantes. On peut ainsi calculer la moyenne Xbar pour chaque taille d’échantillon considéréen, soit= 1, 3, 10, 30 Question A1 analyser la distribution de Xbar : statistiques descriptives, histogramme, diagramme de normalité. Aide surSTATISTICA employerle moduleBasic Statistics/Tables  ainsique les fonctions graphiques :Graph…2D….Histogram….Box Plots… Normal Probability Plots…QuantileQuantile Plots  QuestionA2 : vérifierque la formule suivante est vérifiée approximativement : Var(Xbar) = Var(X) / n

PROBLÈMES Bet CS IMULATION INTERVALLES DE CONFIANCE But : vérification expérimentale par simulation et interprétation des intervalles de confiance  Logiciel:STATISTICA Fichier à employer :intervalle_confiance.sta disponible à l’adresse:http://www.cours.polymtl.ca/mth6301/mth2302 2 B L’intervalle de confiancepour la moyenneμd’une populationnormaleN(μ , σ)avecσ inconnu et uncoefficient de confiance 1–α basé sur unéchantillon de taille nx ,x,…, x est : 1 2n

2

(*) oùx =(1 / n) ∑ x i est la moyenne de l’échantillonx 1 , x 2 ,…, x n t n–1, 1 (2α /) 1 (est leα /2)percentile d n –’une loi de Student avec1 degrésde liberté 2 0.5 [1/(n1)s = ∑ (x i  x) ]estl’écart typedel’échantillonx 1 , x 2 ,…, x n Posons n= 10et 1αDéterminez la valeur de= 0,95 t 9, 0,975 provenant de la table loi Student. B1Complétez le fichierintervalle_confiance.sta(le fichierinitial contient 50 lignes) 2 étape B11:simulez1000échantillons de taillen =10pour unepopulation normaleN(μ= 2,σ= 4) remarque : ajouter 950 lignes au fichier pour obtenir 1000 lignes étape B12:calculez pour chaque échantillon,l’intervalle de confiance(*). étape B13:calculez la proportion d’échantillons (parmi les 1000intervalles simulés) pour lesquels l’intervallede confiance estime correctement (contient) la moyenne de la population. Question B1: interprétez le résultat obtenu àl’étapeB13. B2Choisissezau hasardl’undes 1000 intervalles de confiance simulés enB12 Question B2 :intervalle estil une bonne estimation pour la moyenne de la population? cet Commentez. B3Recommencez lesétapes B1–32, B11, B1 maiscette fois on utilisera unepopulation (distribution)exponentielleExp( 0,5 ) deparamètre lambda= λ = 0,5 . Notez que la moyenne de cette population est 2 et que la variance est4 (manuelp. 137). Question B3:interprétez le résultat obtenu àl’étapeB13 C  Considéronsl’intervalle de confiance approximatif avec coefficient de confiance 1–α pour 2 estimer la moyenned’une population dont la varianceσestinconnue, à partir d’un échantillon de taille n,où nest grand(disons≥30) est : (**) 2 1 (α /2)percentile d’une loinormale centréeréduiteN (μ= 0,σ= 1)où z 1 (α /2) le est 5 Déterminezla valeur de z 0, 975 la table de la loi normale.provenant dePosons 1–α = 0,9 C1Pour une population exponentielleExp(0,5) (lambda= 0,5) Étape C11 :simulez1000échantillons de taillen=30. Étape C12:calculez pour chaque échantillon l’intervalle(**). étape C13:calculez la proportion d’échantillons (parmi les 1000 simulés) pour lesquels l’intervallede confiance estime correctement (contient) la moyenne de la population.  QuestionC1:interprétez le résultat obtenul’étapeC1 3. C2Recommencez lesétapes C11, C12, C13comme dans la questionC1mais cette foisavecn = 100 Question C2:comparer le résultat obtenu avec celui de la questioncommentez etC1