PAC Programme Argumente du CAPES - Partie XXXIX - Etude locale des  fonctions
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PAC Programme Argumente du CAPES - Partie XXXIX - Etude locale des fonctions

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Programme Argumenté du CAPESPartie XXXIXEtude locale des fonctionsDany-Jack MercierIUFM de Guadeloupe, Morne Ferret,BP399, Pointe-à -Pitre cedex 97159, Francedany-jack.mercier@univ-ag.fr24 juin 2002IntroductionCe travail se veut une aide à la préparation de l’écrit du CAPES. Il devraitfaciliter une lecture approfondie du programme. Les exposés de la série PAC(Programme Argumenté du CAPES) débutent toujours par le rappel d’unepartie du programme o¢ciel du concours tel que publié au BOEN (BulletinO¢ciel de l’Education Nationale), puis reprennent chacun des items en lesdétaillant.±1 Programme du BO Spécial n 8 du 24 mai 2001 (Spécial)II. Fonctions d’une variable réelle ; calcul di¤érentiel et intégral(...)2. Etude locale des fonctionsa) Développements limités, opérations sur les développements limités.b) Exemples simples de développements asymptotiques.Intégration des relations de comparaison au voisinage d’un point entre des fonctions con-tinues ; intégration des développements limités. Théorè me de Taylor-Young (existencepd’un développement limité d’ordre p pour une fonction de classe C ).0[cdev0002] v1.01¯ http://perso.wanadoo.fr/megamaths°c 2002, D.-J. Mercier. Vous pouvez faire une copie de ces notes pour votre usage personnel.12 Comparaison des fonctions¹ ¹Soit A une partie non vide de R, A son adhérence R, a 2 A, et F l’ensemble des fonctionsde R dans R dont l’ensemble de dé…nition contient A. dans la suite, nous énonceronsles dé…nitions ...

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Programme Argumenté du CAPES
Partie XXXIX
Etude locale des fonctions
Dany-Jack Mercier
IUFM de Guadeloupe, Morne Ferret,
BP399, Pointe-à -Pitre cedex 97159, France
dany-jack.mercier@univ-ag.fr
24 juin 2002
Introduction
Ce travail se veut une aide à la préparation de l’écrit du CAPES. Il devrait
faciliter une lecture approfondie du programme. Les exposés de la série PAC
(Programme Argumenté du CAPES) débutent toujours par le rappel d’une
partie du programme o¢ciel du concours tel que publié au BOEN (Bulletin
O¢ciel de l’Education Nationale), puis reprennent chacun des items en les
détaillant.
±1 Programme du BO Spécial n 8 du 24 mai 2001 (Spécial)
II. Fonctions d’une variable réelle ; calcul di¤érentiel et intégral
(...)
2. Etude locale des fonctions
a) Développements limités, opérations sur les développements limités.
b) Exemples simples de développements asymptotiques.
Intégration des relations de comparaison au voisinage d’un point entre des fonctions con-
tinues ; intégration des développements limités. Théorè me de Taylor-Young (existence
pd’un développement limité d’ordre p pour une fonction de classe C ).
0[cdev0002] v1.01¯ http://perso.wanadoo.fr/megamaths
°c 2002, D.-J. Mercier. Vous pouvez faire une copie de ces notes pour votre usage personnel.
12 Comparaison des fonctions
¹ ¹Soit A une partie non vide de R, A son adhérence R, a 2 A, et F l’ensemble des fonctions
de R dans R dont l’ensemble de dé…nition contient A. dans la suite, nous énoncerons
les dé…nitions en supposant que a 2 R. Dans le cas où a = §1 il su¢ra de remplacer
l’assertion ”jt ¡ aj < ´ ” par l’une des assertions ”t > ´ ” ou ”t < ¡ ´ ” suivant le cas.
2.1 Domination
Dé… nition 1 Soient f;g 2 F. On dit que f est dominée par g, ou que g domine f,
au voisinage de a, si
¤9M 2 R 9´ 2 R jt ¡ aj < ´ et t 2 A ) jf (t)j · M jg (t)j:+
On note alors f ¹g (notation de Hardy) ou f = O (g) (notation de Landau).
Remarques : 1) Si g ne s’annule pas sur un voisinage de a, alors f = O (g) si, et seulement
fsi, est bornée au voisinage de a (dans A).g
2) f = O (1) si, et seulement si, f est bornée au voisinage de a.
3) Si f = O (g) il existe un voisinage de a dans A tel que, sur ce voisinage, tout zéro de
g soit un zéro de f.
4) La relation de domination est une relation de préordre (elle est ré‡exive et transitive).
Elle n’est pas antisymétrique puisque t = O (3t) et 3t = O (t) sans que t soit égale à 3t.
Théorème 1 Si f; g; h 2 F et si ¸ 2 R, alors
(f = O (h) et g = O (h)) ) f + ¸g = O (h):
En particulier l’ensemble des applications de A dans R dominées par une même fonction
Ah forme un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel R des applications de A àvaleurs
dans R.
Théorème 2 Si f; f ;g;g 2 F, alors1 1
(f = O (f ) et g = O (g )) ) fg = O (f g ):1 1 1 1
2.2 Prépondérance
Dé… nition 2 Soient f; g 2 F. On dit que f est négligeable devant g, ou que g est
prépondérante devant f, au voisinage de a, si
¤ ¤8" 2 R 9´ 2 R jt ¡ aj < ´ et t 2 A ) jf (t)j · "jg (t)j :+ +
On note alors f ¿ g (notation de Hardy) ou f = o(g) (notation de Landau).
Remarques : 1) On note parfois f = o(g) pour rappeler que l’on se place au voisinage
a
du point a.
2) f = o (1) si et seulement si lim f = 0.t!a;t2A
f3) Si g ne s’annule pas sur un voisinage de a, alors f = o(g) équivaut à lim = 0.t!a;t2A g
4) En…n la relation de prépondérance est transitive, mais non ré‡exive.
¡ ¢
¯ ® ® ¯Exemple : Si ® < ¯ alors t = o (t ) et t = o t .
0 +1
2Théorème 3 f = o(g) si et seulement si il existe une application " : R ! R telle que
8t 2 A f (t) = "(t):g (t) et lim "(t) = 0:
t!a
Preuve : La condition est clairement su¢sante. Montrons qu’elle est nécessaire. Si
f = o(g), alors
8" > 0 9´ > 0 jt ¡ aj < ´ et t 2 A ) jf (t)j · "jg (t)j:
Posons
(
f(t)"(t) = si t 2 A et g (t) = 0;g(t)
"(t) = 0 sinon.
On constate que f (t) = "(t):g (t) pour tout t 2 A et que lim "(t) = 0.
t!a
Théorème 4 Si f; g; h;l 2 F et ¸ 2 R, alors
1) f = o(g) ) f = O (g);
2) f = o(g) et g = O (h) ) f = o(h);
3) f = O (g) et g = o(h) ) f = o(h);
4) f = o(h) et g = o(h) ) f + ¸g = o(h);
5) f = o(h) et g = O (l) ) fg = o(hl):
2.3 Equivalence
2.3.1 Dé… nition et propriétés
Dé… nition 3 Deux fonctions f et g de F sont équivalentes au voisinage de a si
f ¡ g = o(g). On note alors f » g ou simplement f » g si aucune confusion n’est à
a
craindre.
Théorème 5 La relation »est une relation d’équivalence dans F.
Preuve : ²Ré‡exivité : f ¡ f = 0 = o(f).
²Symétrie : Si f ¡ g = o(g), il existe ´ > 0 tel que jt ¡ aj < ´ et t 2 A entraîne
1 1jf (t) ¡ g (t)j · jg (t)j, soit à fortiori jjf (t)j ¡ jg (t)jj · jg (t)j, puis2 2
1 3
jg (t)j · jf (t)j · jg (t)j :
2 2
Cela prouve que f = O (g) et g = O (f). Pour conlure, il su¢t alors de voir que
½
f ¡ g = o(g)
) f ¡ g = o(f) , g ¡ f = o(f):
g = O (f)
Une autre solution consiste à écrire
8" > 0 9´ > 0 jt ¡ aj < ´ et t 2 A ) jf (t) ¡ g (t)j · "jg (t)j:
3
6Si jt ¡ aj < ´ ; t 2 A et 0 < " < 1,
"
jf (t) ¡ g (t)j · "(jg (t) ¡ f (t)j + jf (t)j) ) jf (t) ¡ g (t)j · jf (t)j :
1 ¡ "
" 0Comme lim = 0, et si " > 0 est donné à l’avance, il existera " 2]0;1[ tel que"!0 1¡"
" 0 0< " , d’où jf (t) ¡ g (t)j · " jf (t)j dè s que jt ¡ aj < ´ .1¡"
²Transitivité : Si f ¡ g = o(g) et g ¡ h = o(h), alors
f ¡ h = f ¡ g + g ¡ h = o(g) + o(h) (¤)
On a vu ci-dessus que g ¡ h = o(h) entraîne g = O (h), de sorte que toute fonction
négligeable devant g le soit aussi devant h. L’égalité (¤) entraîne alors f ¡ h = o(h).
Théorème 6 f »g si, et seulement si, il existe une application " : R ! R telle que
8t 2 A f (t) = (1 + "(t)) g (t) et lim "(t) = 0:
t!a
Preuve : Simple conséquence du Théorè me 3.
Théorème 7 Si g ne s’annule pas sur un voisinage de a, alors
f (t)
f »g , lim = 1
a t!a g (t)
t2A
Preuve : Immédiat d’aprè s la Dé…nition.
Exemples :
x 2e ¡ 1 3t + 2t + 4 3
sinx »x; »1; ln(1 + x) »x; » :30 x 0 0 5t + 8 +1 5t
Ces deux caractérisations de l’équivalence entre fonctions permettent de démontrer facile-
ment les résultats suivants :
Corollaire 1 Si f »g il existe un voisinage V de a dans A sur lequel f et g ont mêmes
a
zéros et même signe. De plus si l 2 R,
lim g (t) = l ) lim f (t) = l:
t!a;t2A t!a;t2A
Preuve : Il existe un voisinage V de a dans A tel que f (t) = (1 + "(t)) g (t) pour tout
1t 2 V , avec j"(t)j · . L’expression 1 + "(t) est strictement positive sur V donc pour2
t 2 V ,
f (t) = 0 , g (t) = 0
et les signes de f (t) et g (t) sont identiques. On a aussi
lim g (t) = l ) lim f (t) = lim (1 + "(t))g (t) = l:
t!a;t2A t!a;t2A t!a;t2A
4Corollaire 2 - Compatibilité avec le produit -
½
f »f1 ) fg »f g :1 1
g »g1
Corollaire 3 - Puissance -
Si f et g sont strictement positives et si ® 2 R,
® ®f »g ) f »g :
a a
Corollaire 4 - Compatibilité avec l’inverse
1 11) Si f »g et si g ne s’annule pas au voisinage de a , alors f non plus et » :f ga a
2) Si f »f , si g »g et si g ne s’annule pas au voisinage de a , alors g non plus et1 1 1
a a
f f1
» :
ag g1
Théorème 8 Dans les relations de domination, de prépondérance ou d’équivalence on
peut remplacer une fonction par une fonction équivalente.
2.3.2 Quelques précautions
1) Cas de la somme : f »f , si g »g n’entraînent pas f + g »f + g mê me si g1 1 1 1
a a a
et g représentent la mê me constante k. En e¤et,1
( 2 2t » t + t
+1 et 0 n’est pas équivalente à t au voisinage de + 1.2 2¡ t » ¡ t
+1
2 2On a encore 1 +t »1+ t bien que t ne soit pas équivalente à t au voisinage de 0. Voilà
0
cependant un cas favorable :
Théorème 9 Si f et g sont positives au voisinage de a, alors1 1
(
f »f1
a ) f + g »f + g :1 1g »g a1
a
Preuve : On a f (t) = (1 + "(t)) f (t) et g (t) = (1 + ¿(t)) g (t) où les fonctions "(t) et1 1
¿(t) véri…ent lim "(t) = lim ¿(t) = 0, d’où
t!a t!a
f (t) + g (t) = f (t) + g (t) + "(t):f (t) + ¿(t):g (t)1 1 1 1
= f (t) + g (t) + '(t)(f (t) + g (t))1 1 1 1
si l’on pose '(t) = 0 si f (t) = g (t) = 0, et1 1
"(t)f (t) + ¿(t)g (t)1 1
'(t) =
f (t) + g (t)1 1
5sinon. Comme f (t) et g (t) sont positifs lorsqu’ils sont voisins de a,1 1
j"(t)jf (t) + j¿(t)jg (t)1 1
j'(t)j · · j"(t)j + j¿(t)j
f (t) + g (t)1 1
et cette derniè re majoration, vraie pour tout t voisin de a, montre que la limite de '(t)
est 0 quand t tend vers a.
f g2) Cas de l’exponentielle : f » g n’entraîne pas e » e comme le montre le
2 2contre-exemple a = +1; f = t + t et g = t . Cependant
Théorème 10
f ge »e , lim (f ¡ g) = 0:
t!a
Preuve :
fef g f¡ge »e , lim = 1 , lim e = 1 , lim (f ¡ g) = 0:gt!a t!a t!ae
3) Cas du logarithme : 1 » 1 + t et pourtant ln1 » ln(1 + t), mais l’on peut
0 0
énoncer
Théorème 11 Si f et g sont strictement positives au voisinage de a et si l’on suppose
lim g = l 2 Rnf1g, alors
t!a
f »g ) lnf »lng:
a a
Dans la pratique cette propriété est surtout utilisée lorsque l = 0 ou +1.
Preuve : Comme lim g = l = 1, il existe un voisinage V de a sur lequel g ne prend pas
t!a
lnf(t)la valeur 1, et tout revient à montrer que lim = 1. Sur V ,lng(t)t!a
f(t)lnlnf (t) lnf (t) ¡ lng (t) g(t)
= + 1 = 1 + "(t) où "(t) = :
lng (t) lng (t) lng (t)
f(t)
f »g donc ln tend vers 0 quand t tend vers a. Comme le dénominateur lng (t) de "(t)g(t)a
tend vers une limite …nie si l 2 Rnf1g, in…nie si l = +1, on obtient toujours lim "(t) = 1
t!a
et le Théorè me est démontré. Notons que la condition sur g peut ê tre remplacée par
la condition moins restrictive mais plus di¢cile à montrée : ”Il existe m > 0 tel que
jlng (t)j ¸m pour tout t 2 V ”.
6
662.4 Intégration des relations de comparaison
Le Théorè me suivant précise ce que devient une relation de comparaison entre fonctions
aprè s intégration. Une preuve de ce résultat pourra être trouvée au § 7.2.4 de l’ouvrage
de E. Ramis, C. Deschamps, J.Odoux, Cours de Mathématiques Spéciales, Volume 3,
Topologie et Eléments d’Analyse, Masson, 1989.
Théorème 12 Soient E un Banach, f : [a;b[! E et ' : [a;b[! R deux applications+
localement intégrables sur [a; b[. Les comparaisons de fonctions suivantes seront faites au
voisinage de b.
Rb
1) Si '(t) dt converge,a
µ ¶Z Zb b
f = O (') ) f = O ' ;
x x
µ ¶Z Zb b
f = o(') ) f = o ' ;
x x
Z Zb b
f » ¸' ) f »¸ ' où ¸ 2 Enf0g:
x x
Rb
2) Si '(t) dt diverge,a
µ ¶Z Zx x
f = O (') ) f = O ' ;
a aµ ¶Z Zx x
f = o (') ) f = o ' ;
a aZ Zx x
f » ¸' ) f »¸ ' où ¸ 2 Enf0g:
a a
Le Théorè me précédent entraîne le Corollaire suivant concernant les développements lim-
ités. Les développements limités feront l’objet de la Section 3 et le Corollaire sera démontré
de façon indépendante au Théorè me 19.
Corollaire 5 Soit f : I ! E localement intégrable de l’intervalle I dans un Banach E.
Soit x 2 I. Si f admet un développement limité en x àl’orde n de la forme0 0
n nf (x) = a + a (x ¡ x ) + ::: + a (x ¡ x ) + o((x ¡ x ) )0 1 0 n 0 0
Rx
alors l’application x ! f (x) dx admet un développement limité en x àl’orde n + 10x0
de la forme
Z x 2 n+1 ³ ´(x ¡ x ) (x ¡ x )0 0 n+1f (x) dx = a (x ¡ x ) + a + ::: + a + o (x ¡ x )0 0 1 n 02 n + 1x0
7
72.5 Applications
2.5.1 Recherche de limites
0L’équivalence des fonctions permet de traiter un bon nombre de formes indéterminées ,0
1 ou 0 £ 1. Par exemple, cherchons la limite de la fonction1
xxx lnx
f (x) = :xx ¡ 1
x xlnxlorsque x tend vers 0. La fonction x = e tend vers 1 quand x tend vers 0, de sorte que
x xx x lnxx = e tende vers 0 et que le numérateur soit déjà une forme indéterminée 0 £ 1.
x xlnxOn a x ¡ 1 = e ¡ 1 »xlnx, d’où
xxx lnx xx ¡1f (x) » = x ;
xlnx
0et l’on obtient une forme indéterminée 0 . Levons l’indétermination en écrivant
xx ¡1 x 2lnx = (x ¡ 1)lnx »xln x:
x2 x ¡1Comme lim x ln x = 0, on déduit lim f (x) = lim x = 1.x!0 x!0 x!0
2.5.2 Convergence de séries et d’intégrales
On démontre les rè gles de comparaison :
Théorème 13 Soient (u ) et (v ) deux suites de nombres réels positifs.n nP P
1) Si u = O (v ) et si v converge, alors u converge,n n n nP P
2) Si u = O (v ) et si u diverge, alors v diverge,n n n nP P
3) Si u »v , alors les séries u et v sont de même nature.n n n n
Théorème 14 Soient f et g deux fonctions localement intégrables de [A; +1[ dans R .+R R+1 +1
1) Si f = O (g) et si g converge, alors f converge,A AR R+1 +1
2) Si f = O (g) et si f diverge, alors g diverge,A A R R+1 +13) Si f » g, alors les intégrales généralisées f et g sont de même nature.A A+1
P+1 1Exemple 1 : Convergence de la série de Riemann lorsque ® > 1.®n=1 n
Posons
1 1
a = ¡n ®¡1®¡1n (n + 1)
P PN 1La série a converge puisque a = 1 ¡ tend vers 1 lorsque N tend versn n ®¡1n=1 (N+1)
+1: On a
à ! à !µ ¶1¡®
1 1 ¡ 1 1
a = 1 ¡ = 1 + ¡ 1 :¡ ¢n ®¡1 ®¡1 ®¡11n n n1 + n
8Comme
µ ¶ µ ¶1¡®
11 1 1 ¡ ®(1¡®)ln(1+ )n1 + ¡ 1 = e ¡ 1 » (1 ¡ ® )ln 1 + »
+1 +1n n n
P P®¡1 ®¡1 1on trouve a » . La série , et par suite la série (® > 1), convergera tout® ® ®n n n n+1 P
comme la série a .n
R1 lnxpExemple 2 : Quelle est la nature de l’intégrale I = ?1
x(1¡x)2
2.5.3 Développement asymptotique relativement à une échelle de comparai-
son
Une fois la relation de prépondérance et celle d’équivalence de fonction au voisinage d’un
point a introduites, il semble naturel de vouloir comparer une fonction donnée à des fonc-
tions parfaitement connues regoupées au sein de ce que l’on appelle une ”échelle de com-
paraison”. Une échelle de comparaison est une famille f' g de fonctions dé…nies¸ ¸2¤
sur un voisinage de a dans A, qui véri…e :
(E1) 8¸ 2 ¤ 8V voisinage de a dans A 9t 2 V ' (t) = 0;¸¡ ¢
(E2) 8¸; ¹ 2 ¤ ' = o ' ou ' = o(' ):¸ ¹ ¹ ¸
Voici quelques échelles de comparaison possible :n o n o
k k ®- Au voisinage de a : (t ¡ a) ; (t ¡ a) ; fjt ¡ aj g ...®2R
k2N k2Z© ª © ª © ª © ª¯ °k k ® ® ® ¯t- Au voisinage de +1 : t ; t ; ft g ; t ln t ; t e ln t ...®2Rk2N k2Z ®;¯2R ®;¯;°2R
On dit alors qu’une fonction f admet un développement asymptotique relativement
à l’échelle f' g s’il existe une famille presque nulle fa g de réels telle que¸¸ ¸2¤ ¸2¤
X
f = a ' + o (' )¸ ¸ º
¸·º
où ¸ · º signi…e ¸ = º ou ' = o(' ).º ¸
kSi l’échelle de comparaison est formée des fonctions polynô miales (t ¡ a) , k 2 N, notre
développement asymptotique est appelé développement limité (ou encore développe-
ment limité polynomial) si a 2 R, et développement asymptotique si a 2 f§1g.
Au voisinage de 0, un développement limité de f à l’ordre n s’écrit donc
2 n nf (x) = a + a x + a x + ::: + a x + o(x ):0 1 2 n
Toujours au voisinage de 0, une écriture de la forme
¡ ¢1 2 n nf (x) = a + a x + a x + ::: + a x + o(x )0 1 2 nmx
où m 2 N, sera appelée développement limité généralisé de f en 0.
9
63 Développements limités
3.1 Dé… nitions
¹ ¹Soit A une partie non vide de R, A son adhérence R, a 2 A, et F l’ensemble des fonctions
de R dans R dont l’ensemble de dé…nition contient A. On suppose connues les dé…nitions
et propriétés des relations de domination, de prépondérance et d’équivalence entre des
fonctions de F au voisinage de a et pour t 2 A.
Dé… nition 4 Soit a 2 R. On dit qu’une fonction f de F admet un développement
limité (dl) àl’ordre n 2 N en a suivant A s’il existe un polynôme P de degré · n tel quen
nf (x) = P (x) + o((x ¡ a) ) au voisinage de a et pour x 2 A.n
Remarques : 1) S’il n’y a pas d’ambiguïté, on ne précise plus de quelle partie A il s’agit.
Lorsque A est de la forme ]a; a + ®[ ou ]a ¡ ®; a[ on parle de développements limités à
droite ou à gauche au voisinage de a.
2) Le changement de variable x ! t = x ¡ a permet de ramener l’étude de f au
voisinage de a à celle de g (t) = f (a + t) au voisinage de 0. C’est pour cette raison que
nous n’envisagerons et ne mémoriserons par la suite que des développements limités au
voisinage de 0.
Dé… nition 5 Soit a 2 R. On dit qu’une fonction f de F admet un développement
limité au sens fort àl’ordre n 2 N en a suivant A s’il existe un polynôme P de degrén³ ´
n+1· n tel que f (x) = P (x) + O (x ¡ a) au voisinage de a et pour x 2 A.n
n+1
Comme une fonction dominée par (x ¡ a) est à fortiori une fonction négligeable devant
n(x ¡ a) , tout développement limité au sens fort en un point est aussi un développement
limité standard.
Dé… nition 6 Soit a = §1 2 R. On dit que f 2 F admet un développement limité à
l’ordre n 2 N en a s’il existe un polynôme P de degré · n tel quen
µ ¶ µ ¶
1 1
f (x) = P + on nx x
au voisinage de a.
¡ ¢
1 1Au voisinage de +1 le changement de variable x ! t = permet d’écrire f (x) = fx t¡ ¢1et ramè ne encore l’étude de f au voisinage de +1 à celle de g (t) = f au voisinaget
de 0 . A partir de maintenant on se placera toujours au voisinage de a = 0.+
Théorème 15 Unicité d’un dl
n nSi f (x) = P (x) + o (x ) = Q (x) + o(x ) où P (x) et Q (x) sont des polynômes den n n n
degrés · n, alors P (x) = Q (x).n n
nPreuve : On obtient P (x) ¡ Q (x) = o(x ) de sorte que tout revienne à prouvern n
l’implication suivante :
n na + ::: + a x = o(x ) ) a = ::: = a = 0:0 n 0 n
10
77

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