programme-cours-GEO-M2

Description

M2 Lyon – Cours de G´eom´etrie 2010 9 Groupes et alg`ebres de Lie 429.1 Groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429.2 Sous-groupes et espaces homog`enes . . . . . . . . . . . . 429.3 Champs de vecteurs invariants et alg`ebre de Lie . . . . . 42Table des mati`eres9.4 Application exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 429.5 Actions adjointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 Action et ´equations d’Euler-Lagrange 39.6 Formes diff´erentielles invariantes . . . . . . . . . . . . . 431.1 Espace des configurations, espace des vitesses et espace9.7 M´etrique invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43des phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Principe de moindre action et ´equation du mouvement . 310 Action d’un groupe de Lie sur une variet´e 451.3 Lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310.1 Action d’un groupe de Lie sur une variet´e . . . . . . . . 45´1.4 Equation d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 410.2 Espace des orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45´1.5 (*) Equations d’Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . 410.3 Orbites des actions libres . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.6 Exemples d’´equations d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . 510.4 Applications G-´equivariantes . . . . . . . . . . . . . . . 4610.5 Champs de vecteurs et formes G-´equivariantes . . . . . . 462 Variet´es diff´erentiables 72.1 (*) Rappels de topologie . . . ...

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M2Lyon–CoursdeGe´ome´trie2010 latebe`gorG9sepu42sdreieeL 9.1 Groupesde Lie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 9.2Sousgroupesetespaceshomog`enes............42 Tabledesmati`eres 9.3Champsdevecteursinvariantsetalge`bredeLie.....42 9.4 Applicationexponentielle .. . . . . . . . . . . . . . . .42 9.5 Actionsadjointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 1Actionete´quationsd’EulerLagrange3 9.6Formesdiffe´rentiellesinvariantes.............43 1.1 Espacedes configurations, espace des vitesses et espace 9.7M´etriqueinvariante.....................43 des phases .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.2Principedemoindreactionete´quationdumouvement.3 10Actiond’ungroupedeLiesurunevariet´e45 1.3 Lagrangien .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 ´ 10.1Actiond’ungroupedeLiesurunevariet´e........45 1.4 Equationd’EulerLagrange .. . . . . . . . . . . . . . .4 ´ 10.2Espace des orbites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 1.5 (*)Equations d’HamiltonJacobi. . . . . . . . . . . . .4 10.3 Orbitesdes actions libres. . . . . . . . . . . . . . . . .45 1.6Exemplesd’´equationsd’EulerLagrange.........5 10.4 ApplicationsGvirae´uqse..aitn.........46.... 10.5 Champsde vecteurs et formesG´qe64.....s.teanrivaui 2Variete´sdiffe´rentiables7 2.1 (*)Rappels de topologie. . . . . . . . . . . . . . . . . .7 11Fibre´sprincipauxetconnexions47 2.2Variet´esdiffe´rentiables...................7 11.1Fibre´principaldegroupeG47. . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Exempleset exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 11.2 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 2.4Applicationsdiff´erentiablesetdiff´eomorphismes.....9 11.3 Fonctionsde transition .. . . . . . . . . . . . . . . . . .48 2.5Fonctionsre´ellessurunevariete´..............9 11.4 Espacesde sections .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 2.6Courbesparametre´essurunevariete´...........10 11.5 Groupede jauge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 2.7 Espacetangent .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 11.6Re´ductiondugroupestructural..............49 2.8Vecteurstangentsetde´rivations..............11 11.7Connexionssurunfibr´eprincipal.............49 2.9Diff´erentielled’uneapplication..............12 11.8 Courbure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 2.10Immersions,plongementsetsousvariete´s........13 2.11Submersionsetfibre´s....................13 12Fibre´sassocie´s`aunfibre´principaletconnexions50 12.1Fibr´eassoci´e`aunfibre´principal.............50 3Fibre´svectorielsetespacesdesections14 12.2 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 3.1Fibre´svectoriels......................14 12.3 Espacesde sections .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 3.2 Sections. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 12.4 Groupede jauge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 3.3Morphismesentrefibr´essurlameˆmevariet´e.......16 12.5 Connexions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 3.4 Fonctionsde transition et groupe structural. . . . . . .17 12.6 Courbure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 3.5 (*)Tenseurs de type (p, q17) . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6Alg`ebrelin´eaireaveclesfibr´esvectoriels.........18 Re´ferences51 4 Champsde vecteurs20 4.1Fibre´tangent........................20 4.2 Champsde vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 4.3Transportd’unchampparundiffe´omorphisme.....21 4.4Courbesint´egralesetflots.................22 4.5(*)De´rive´edeLiedeschampsdevecteurs........22 Attention :op1cf,tis`miouaje2rlrgoremmadnoninfie 5Formesdiff´erentielles23 tobre 2010. Les chapitres 8, 11 et 12 ne sont pas complets. 5.1Fibr´ecotangent.......................23 5.2Formesdiffe´rentielles....................23 5.3 Transportd’une forme par une application .. . . . . . .24 5.4 (*)Contraction de formes par un champ de vecteur .. .24 5.5(*)De´riv´eedeLiedesformesdiff´erentielles.......25 5.6Diff´erentielleext´erieureoudedeRham..........25 5.7CohomologiededeRham,LemmedePoincare´.....26 5.8Formesdiffe´rentielles`avaleurdansunfibr´e.......26 Planning :2semsur1s,prainesedtuosrsne´siepeclvo´eir de4a`6pagesparsemaine. 6Variete´sorientablesetinte´gration27 6.1Variet´esorientables.....................27 6.2Partitiondel’unit´e.....................27 6.3 Formevolume et orientation .. . . . . . . . . . . . . . .27 6.4Inte´grationdesformesdiff´erentielles...........28 6.5Variete´sa`bord.......................29 6.6The´or`emedeStokes....................29 7Connexionssurfibre´svectoriels30 7.1Relevementhorizontalsurunfibr´e............30 7.2Connexionettransportparall`elesurunfibr´evectoriel.33 7.3D´eriv´eeetdiffe´rentiellecovariante............35 7.4 Courbured’une connexion. . . . . . . . . . . . . . . . .35 7.5Identit´edeBianchienversioncovariante.........37 8Variete´s(pseudo)riemanniennesetconnexiondeLevi Civita 39 8.1 Champsde tenseurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 8.2(*)Espacevectorielme´trique...............39 8.3Variete´savecme´trique...................39 8.4Isom´etries..........................40 8.5 Longueurdes courbes, forme volume. . . . . . . . . . .40 8.6Op´erateurdeHodge....................41 8.7Dualit´edePoincar´e.....................41 8.8 Connexionde LeviCivita. . . . . . . . . . . . . . . . .41 8.9 Torsion .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 8.10 Courbure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41