Structures algébriques - Etude du groupe symétrique

Description

6[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD Enoncés 1Etude du groupe symétrique Exercice 7 [ 02230 ] [correction]Soit n> 5. 0 0 0a b c a b cMontrer que si et sont deux cycles d’ordre 3 deS ,nExercice 1 [ 02224 ] [correction]2 alors il existe une permutation σ, paire, telle que Soient n un entier supérieur à 2, (i,j)∈{1,2,...,n} tel que i =j et σ∈S .n −1 0 0 0σ◦ a b c ◦σ = a b c .Montrer que σ et τ = i j commutent si, et seulement si,{i,j} est stable parσ.Exercice 8 [ 02231 ] [correction]Soit n> 2 et c la permutation circulaire c = ( 1 2 ... n−1 n ).Exercice 2 [ 02225 ] [correction]Déterminer toutes les permutations σ deS qui commutent avec c.nDansS avec n> 2, on considère une permutation σ et un p-cycle :n c = a a ... a .1 2 p−1Observer que la permutation σ◦c◦σ est un p-cycle qu’on précisera.Exercice 3 [ 02226 ] [correction]Déterminer la signature de : 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8a) σ = b) σ = .3 5 4 8 7 6 2 1 1 3 2 7 4 8 5 6Exercice 4 [ 02227 ] [correction]?Soit n∈N . Déterminer la signature de la permutation suivante : 1 2 ··· n−1 na) σ = .n n−1 ··· 2 1 1 2 3 ... n n+1 n+2 ... 2n−1 2nb) σ = .1 3 5 ... 2n−1 2 4 ... 2n−2 2nExercice 5 [ 02228 ] [correction]Soit n> 2 et τ une transposition deS .na) Montrer que l’application σ7→τ◦σ est une bijection deS versS .n nb) En déduire le cardinal de l’ensembleA formé des permutations paires deS .n nExercice 6 [ 02229 ] [correction]Dans (S ,◦) on considère les permutationsn τ = 1 2 et ...

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Etude du groupe symétrique

Enoncés

Exercice 1 [ 02224 ] [correction] 2 Soientnun entier supérieur à 2,(i, j)∈ {1,2, . . . , n}tel quei6=jetσ∈S n .   Montrer queσetτ= i j commutent si, et seulement si,{i, j}est stable par σ.

Exercice 2 [ 02225 ] [correction] DansS n avecn>2, on considère une permutationσet unp-cycle :   c= a 1 a 2 . . .a p . −1 Observer que la permutationσ◦c◦σest unp-cycle qu’on précisera.

Exercice 3 [ 02226 ] [correction] Déterminer la signature de :    1 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 a)σ=b)σ=. 3 5 4 8 7 6 2 11 3 2 7 4 8 5 6

Exercice 4 [ 02227 ] [correction] ? Soitn∈N. Déterminer la signature de la permutation suivante :   1 2∙ ∙ ∙n−1n a)σ=. n n−1∙ ∙ ∙2 1   1 2 3. . .n n+ 1n+ 2. . .2n−1 2n b)σ=. 1 3 5. . .2n−41 2. . .2n−2 2n

Exercice 5 [ 02228 ] [correction] Soitn>2etτune transposition deS n . a) Montrer que l’applicationσ7→τ◦σest une bijection deS n versS n . b) En déduire le cardinal de l’ensembleA n formé des permutations paires deS n .

Exercice 6 [ 02229 ] [correction] Dans(S,◦)on considère les permutations n    τ = 12 etσ = 12. . .n k−k a) Calculerσ◦τ◦σpour06k6n−2. b) En déduire que tout élément deS n peut s’écrire comme un produit deσet de τ.

Exercice 7 [ 02230 ] [correction] Soitn>5.    0 0 0 Montrer que si a b c et a b c sont deux cycles d’ordre 3 deS n , alors il existe une permutationσ, paire, telle que    −1 0 0 0 σ◦ a b c ◦σ= a b c .

Exercice 8 [ 02231 ] [correction] Soitn>2etcla permutation circulairec 1 2 = ( n. . .−1n ). Déterminer toutes les permutationsσdeS n qui commutent avecc.

1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé] Si{i, j}est stable parσalors{σ(i), σ(j)}={i, j}. ∀x /∈ {i, j},(σ◦τ)(x) =σ(x) = (τ◦σ)(x). Pourx=ialors(σ◦τ)(i) =σ(j) = (τ◦σ)(i)et pourx=j, (σ◦τ)(j) =σ(i) = (τ◦σ)(j). Par suiteσ◦τ=τ◦σ. Inversement, siσ◦τ=τ◦σalorsσ(i) = (σ◦τ)(j) = (τ◦σ)(j) =τ(σ(j)). Puisqueτ(σ(j))6=σ(j)on aσ(j)∈ {i, j}. De mmeσ(i)∈ {i, j}et donc{i, j} stable parσ.

Exercice 2 :[énoncé] −1 Pourx=σ(a i ), on a(σ◦c◦σ)(x) =σ(a i+1 )(en posanta p+1 =a 1 ). −1−1 Pourx /∈ {σ(a 1 ), . . . , σ(a p )}, on a(σ◦c◦σ)(x) =σ◦σ(x) =xcar −1−1−1 c(σ(x)) =σ(x)puisqueσ(x)∈/{a 1 , . . . , a p }. Ainsi   −1 σ◦c◦σ= σ(a 1 )σ(a 2 ). . .σ(a p ) .

Exercice 3 :[énoncé] a)I(σ) = 2 + 3 + 2 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 17doncε(σ) =−1. b)I(σ) = 0 + 1 + 0 + 3 + 0 + 2 + 0 + 0 = 6doncε(σ) = 1.

Exercice 4 :[énoncé] n(n−1) n(n−1) a)I(σ) = (n−1) + (n−2) +∙ ∙ ∙+ 1 + 0 =doncε(σ) = (−1). 2 2 n(n−1) n(n−1) b)I(σ) = 0 + 1 + 2 +∙ ∙ ∙+ (n−1) + 0 +∙ ∙ ∙+ 0 =doncε(σ) = (−1). 2 2

Exercice 5 :[énoncé] a) L’applicationσ7→τ◦σest involutive, donc bijective. b) L’applicationσ7→τ◦σtransformeA n enS n \A n donc CardA n =CardS n \A n , orS n est la réunion disjointe deA n et deS n \A n donc suite 1n! CardA n =CardS n =. 2 2

Exercice 6 :[énoncé]    −1 2−2 a)σ◦τ◦σ 3= 2 ,σ◦τ◦σ = 34 ,...,   k−k σ◦τ◦σ= k+ 1k+ 2 .

2

b) Il est « connu »que toute permutation deS n peut s’écrire comme produit de   transpositions de la forme k k+ 1 . Ces dernières peuvent s’écrire comme −1n−1n−1 produit deσ, deτ, et deσ. Orσ=Id et doncσ=σet par conséquent, −1 σpeut s’écrire comme produit deσ.

Exercice 7 :[énoncé]    −1 Notons queσ◦ a b c ◦σ= σ(a)σ(b)σ(c) . 0 00 Soitσ:N n →N n une permutation définie par :σ(a) =a ,σ(b) =betσ(c) =c. Siσest paire alors le problème est résolu.   Siσest impaire alors soitc6=d∈N n \ {a, b, c}etτ= c d . σ◦τest une permutation paire satisfaisante.

Exercice 8 :[énoncé] k−1 Pour commencer, notons que, pour toutk∈ {1, . . . , n}c(1) =ket par −(k−1) conséquentc(k) = 1. Soitσune permutation commutant avecc n . −(k−1) Posonsk=σ(1)∈ {1,2, ..., n}ets=c◦σde sorte ques(1) = 1. Commeσetccommutent,setccommutent aussi et on a pour tout26i6n, (i−1)−(i−1) s=c◦s◦cd’où (i−1)−(i−1) (i−1) (i−1)−(i−1) s(i) =c◦s◦c(i) =σ◦s(1) =σ(1) =icarc(i) = 1. k Par conséquents=Id puisσ=c. k Inversement les permutations de la formecavec16k6ncommutent avecc.