Systèmes linéaires : algorithmes de résolution

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Introduction conditionnement de matrices Méthodes directesdes itératives Systèmes linéaires Préparation à l’agrégation interne Alaeddine BEN RHOUMA Académie de Guyane Novembre 2014 Alaeddine BEN RHOUMA Systèmes linéaires Introduction conditionnement de matrices Méthodes directesdes itératives Sommaire 1 Introduction 2 conditionnement de matrices 3 Méthodes directes 4 Méthodes itératives Alaeddine BEN RHOUMA Systèmes linéaires Introduction conditionnement de matrices Méthodes directesdes itératives On considère le problème suivant : trouver le vecteur x solution de Ax = b où A est une matrice carrée et b est un vecteur donné à coefficients réels ou complexes. Alaeddine BEN RHOUMA Systèmes linéaires Introduction conditionnement de matrices Méthodes directesdes itératives Théorème de Cramer Soit A2M (K) une matrice inversible.n det(A )i Alors la solution du système Ax = b est donnée par x = ,i det(A) èmepour tout i = 1;:::;n, où A est la matrice A pour laquelle la ii colonne est remplacée par le vecteur b. Alaeddine BEN RHOUMA Systèmes linéaires Introduction conditionnement de matrices Méthodes directesdes itératives Inconvénient de Cramer Nombre d’opérations = n(n +1)!

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Ajouté le 08 mai 2015
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Langue Français
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Introduction
conditionnement de matrices
Méthodes directesdes itératives
Systèmes linéaires
Préparation à l’agrégation interne
Alaeddine BEN RHOUMA
Académie de Guyane
Novembre 2014
Alaeddine BEN RHOUMA Systèmes linéairesIntroduction
conditionnement de matrices
Méthodes directesdes itératives
Sommaire
1 Introduction
2 conditionnement de matrices
3 Méthodes directes
4 Méthodes itératives
Alaeddine BEN RHOUMA Systèmes linéairesIntroduction
conditionnement de matrices
Méthodes directesdes itératives
On considère le problème suivant : trouver le vecteur x solution de
Ax = b
où A est une matrice carrée et b est un vecteur donné à coefficients
réels ou complexes.
Alaeddine BEN RHOUMA Systèmes linéairesIntroduction
conditionnement de matrices
Méthodes directesdes itératives
Théorème de Cramer
Soit A2M (K) une matrice inversible.n
det(A )i
Alors la solution du système Ax = b est donnée par x = ,i
det(A)
èmepour tout i = 1;:::;n, où A est la matrice A pour laquelle la ii
colonne est remplacée par le vecteur b.
Alaeddine BEN RHOUMA Systèmes linéairesIntroduction
conditionnement de matrices
Méthodes directesdes itératives
Inconvénient de Cramer
Nombre d’opérations = n(n +1)! 1
12Pour un ordinateur qui effectue 10 opérations par seconde :
taille de la matrice durée approximative de calcul
10 0,00003628799 s
20 1 an et demi
138100 310 siècles
Alaeddine BEN RHOUMA Systèmes linéairesIntroduction
conditionnement de matrices
Méthodes directesdes itératives
Inconvénient de Cramer
Nombre d’opérations = n(n +1)! 1
12Pour un ordinateur qui effectue 10 opérations par seconde :
taille de la matrice durée approximative de calcul
10 0,00003628799 s
20 1 an et demi
138100 310 siècles
Alaeddine BEN RHOUMA Systèmes linéairesIntroduction
conditionnement de matrices
Méthodes directesdes itératives
Inconvénient de Cramer
Nombre d’opérations = n(n +1)! 1
12Pour un ordinateur qui effectue 10 opérations par seconde :
taille de la matrice durée approximative de calcul
10 0,00003628799 s
20 1 an et demi
138100 310 siècles
Alaeddine BEN RHOUMA Systèmes linéairesIntroduction
conditionnement de matrices
Méthodes directesdes itératives
Inconvénient de Cramer
Nombre d’opérations = n(n +1)! 1
12Pour un ordinateur qui effectue 10 opérations par seconde :
taille de la matrice durée approximative de calcul
10 0,00003628799 s
20 1 an et demi
138100 310 siècles
Alaeddine BEN RHOUMA Systèmes linéairesIntroduction
conditionnement de matrices
Méthodes directesdes itératives
Quelles alternatives?
Métodes directes : algorithmes de résolution exacte de
complexité moindre.
Méthodes itératives : construction d’une suite de valeurs
approchées qui converge vers la solution exacte.
Alaeddine BEN RHOUMA Systèmes linéairesIntroduction
conditionnement de matrices
Méthodes directesdes itératives
Quelles alternatives?
Métodes directes : algorithmes de résolution exacte de
complexité moindre.
Méthodes itératives : construction d’une suite de valeurs
approchées qui converge vers la solution exacte.
Alaeddine BEN RHOUMA Systèmes linéaires