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Extrait

Université de Montréal
Une méthode d’inférence bayésienne pour les modèles espace-état affines
faiblement identifiés appliquée à une stratégie d’arbitrage statistique de la
dynamique de la structure à terme des taux d’intérêt.
par
Sébastien Blais
Département de sciences économiques
Faculté des arts et des sciences
Thèse présentée à la Faculté des études supérieures
en vue de l’obtention du grade de Philosophiæ Doctor (Ph.D.)
en sciences économiques
Avril, 2009
c Sébastien Blais, 2009.Université de Montréal
Faculté des études supérieures
Cette thèse intitulée:
Une méthode d’inférence bayésienne pour les modèles espace-état affines
faiblement identifiés appliquée à une stratégie d’arbitrage statistique de la
dynamique de la structure à terme des taux d’intérêt.
présentée par:
Sébastien Blais
a été évaluée par un jury composé des personnes suivantes:
Marc Henry, président-rapporteur
William J. McCausland, directeur de recherche
Jean-Marie Dufour , membre du jury
Éric Jacquier, examinateur externe
Onur Özgür, représentant de l’examinateur externe
Martin Bilodeau , représentant du doyen de la FES
Thèse acceptée le 7 septembre 2009.RÉSUMÉ
Cette thèse porte sur l’inférence bayésienne pour les modèles affines de la structure
à terme des taux d’intérêt. En particulier, elle met en évidence l’importance de la
normalisation de l’espace des paramètres sur la qualité des prévisions générées par un
espace-état linéraire gaussien. Puisque la vraisemblance de ces modèles est invariante
par rapport à certaines transformations des paramètres, l’estimateur du maximum
de vraisemblance des paramètres n’est pas unique. On normalise habituellement le
modèle en considérant un sous-espace de l’espace des paramètres. Lorsque cette
normalisation n’apporte pas l’identification globale des paramètres, elle est susceptible
d’introduire des problèmes d’identification faible se traduisant par un estimateur
ponctuel fortement biaisé. En comparaison, une densité prédictive bayésienne ne repose
sur aucun estimateur ponctuel de paramètres, ce qui lui confère une certaine robustesse
au problème d’identification faible. D’un point de vue méthodologique, je propose un
nouvel échantillonneur de Monte Carlo par chaîne de Markov.
De plus, je démontre l’importance de la spécification des erreurs observationnelles sur
l’inférence pour ces modèles. Je montre qu’une spécification courante où la matrice
de covariance des erreurs n’est pas de plein rang peut produire des résidus fortement
auto-corrélées. Au delà de ce cas particulier, je présente une analyse empirique de
plusieurs autres restrictions imposées à la matrice de covariance des erreurs et je propose
une nouvelle loi a priori pour cette matrice. Cette loi a priori permet de spécifier des
restrictions souples sur un continuum entre des erreurs de matrice de covariance arbi-
traire et des erreurs indépendamment et identiquement distributées. J’évalue finalement
l’utilité des modèles affines de la structure à terme dans un contexte de construction de
stratégie d’arbitrage statistique. L’arbitrage statistique consiste à miser sur les déviations
temporaires des valeurs de marchés par rapport à celles données par un modèle. Afin de
neutraliser le risque par rapport aux facteurs communs, je construits des portefeuilles
dont la valeur est approximativement non corrélée aux facteurs. Malgré un problème
de spécification évident, la loi prédictive générée par le modèle permet de choisir des
portefeuilles générant des gains économiquement significatifs.
Mots clés: modèles de la structure à terme, filtre de Kalman, prévisions bayé-
siennes, identification faible, sous-identification empirique, normalisation.ABSTRACT
The suject of this is thesis is Bayesian inference for affine models of the term structure
of interest rates. In particular, it highlights the critical role of normalization for the
forecasting performance of Gaussian linear state-space models. Because the likelihood
function of these models is invariant with respect to certain transformations of the
parameter vector, the maximum likelihood parameter point estimator is not well defined.
In general, one addresses transformation invariance by normalizing the parameter
space. When this normalization does not provide global parameter identification, it can
introduce weak identification problems, which can produce severely biased parameter
point estimators. In contrast, Bayesian predictive densities do not rely on parameter
point estimators. From a methodological point of view, I propose a novel MCMC
sampler.
The thesis also demonstrates how observational error specification affects infer-
ence in these models. I show that one popular specification where the error covariance
matrix does not have full rank can yield highly persistent residuals. Beyond that extreme
particular case, I provide an empirical analysis of other strict restrictions on the covari-
ance matrix and I propose a novel prior distribution for error covariance matrices. This
prior allows the econometrician to specify soft restrictions on error cross-correlations
and heteroscedasticity on a continuum between arbitrary and restricted covariance
matrices.
Finally, I evaluate empirically the usefulness of affine term structure models for
statistical arbitrage strategy construction. Statistical arbitrage exploits temporary
deviations between market prices and fundamental values given by an economic model.
In order to bet on temporary market price deviations from those implied by this model,
I consider portfolios that are first-order hedged with respect to latent factors. In spite
of obvious misspecification problems, I find that maximizing expected gains can be a
profitable strategy for large institutional investors.
Keywords: dynamic term-structure models, Kalman filter, Bayesian forecasts,
weak identification, empirical under-identification, normalization.TABLE DES MATIÈRES
RÉSUMÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
ABSTRACT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
TABLE DES MATIÈRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
LISTE DES TABLEAUX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
LISTE DES FIGURES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
LISTE DES SIGLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
CHAPITRE 1 : INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CHAPITRE 2 : FORECASTING WITH WEAKLY IDENTIFIED LINEAR
STATE-SPACE MODELS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Weak identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 What is normalization? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Is normalization necessary? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.3 What are the costs and benefits of normalization? . . . . . . . . 19
2.2.4 Are the potential benefits of normalization always achievable? . 20
2.2.5 How best to normalize? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Normalization of LSSMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.1 Primitive transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2 Breaking rotation invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.3 Breaking scale invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.4 Breaking permutation invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.5 Breaking reflection invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.6 Root cancelation in the ARMA representation . . . . . . . . . . 36
2.4 Prior Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.1 Permutation- and reflection-invariant priors . . . . . . . . . . . 39vi
2.4.2 Normalization, parameterization, conditional conjugacy and
prior information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.3 Priors forF,ξ andQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
2.4.4 Priors forγ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 Posterior Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5.1 Posterior simulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.2 Metropolis-Hastings-within-Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.3 Mixture sampler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6 Simulations Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7 Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.8 Appendix A - Invariance to