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Extrait

oN d’ordre : 2313
THESE
presentee a
L’UNIVERSITE BORDEAUX 1
ECOLE DOCTORALE DE MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE
par Stephane VINATIER
POUR OBTENIR LE GRADE DE
DOCTEUR
SPECIALITE : MATHEMATIQUES PURES
Arithmetique des extensions
faiblement rami ees
Soutenue le : 18 Decembre 2000
Apres avis de :
MM. J. COUGNARD, Professeur, Universite de Caen Rapporteurs
M.J. TAYLOR, Professor, University of Manchester
Devant la commission d’examen formee de :
M. J. COUGNARD, Professeur, Universite de Caen President
Mme C. BACHOC, Chargee de Recherche, C.N.R.S. Rapporteur
MM. Ph. CASSOU-NOGUES, Professeur, Universite Bordeaux 1 Examinateurs
B. EREZ, Professeur, Universite Bordeaux 1
M.J. TAYLOR, Professor, University of Manchester
{ 2000 {Je voudrais exprimer ici ma gratitude envers les personnes qui ont rendu
possible l’elaboration de ce travail.
Mes remerciements vont en premier lieu a mes deux directeurs de these : Phi-
lippe Cassou-Nogues, dont les encouragements et les explications m’ont constam-
ment pousse de l’avant, et Boas Erez, pour m’avoir con e le sujet qui m’a occupe
pendant plus de trois annees, riche en enseignements et en perspectives.
Je voudrais aussi particulierement remercier Christine Bachoc qui, en plus
de participer a mon jury de these, a donne l’impulsion d’une partie de ce travail
et m’a patiemment initie au maniement des reseaux a l’aide du logiciel Magma.
Martin J. Taylor et Jean Cougnard ont accepte d’^etre les rapporteurs de
cette these et de faire partie de mon jury. Je les remercie vivement pour le
temps qu’ils ont consacre et l’inter^et qu’ils ont apporte a mon travail.
Mes progres ont beaucoup bene cie de l’environnement o ert par l’Institut
de Mathematiques de Bordeaux. Parmi les personnes qui y travaillent et qui
m’ont fait pro ter de leurs competences, j’ai plaisir a citer ici Bill Allombert,
Arnaud Jehanne, Christian Maire, Fransisco Diaz y Diaz et Jacques Martinet.
Je joins Yves Eichenlaub a cette liste, bien qu’il ait quitte Bordeaux apres avoir
e ectue sa these a l’A2X puisque, par le seul biais du courrier electronique, il a
repondu avec une grande precision a mes questions relatives a son domaine de
predilection.
Je ne peux clore cette page sans mentionner notre secretaire d’ecole docto-
rale, Joelle Pargade, dont les competences et la gentillesse ouvrent a tous un
chemin sur^ au travers des diverses embuc^ hes administratives. Je remercie en n
Mauricette Jaubert pour avoir assure l’impression a\ la correzienne" de cette
these.Arithmetique des extensions
faiblement rami ees
Stephane VinatierTable des matieres
Introduction 3
1 Extensions faiblement rami ees 11
1.1 Fondations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1 Decomposition dans une extension galoisienne . . . . . . . 12
1.1.2 Des temoins de la rami cation . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.3 Passage au local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.4 Proprietes locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Premieres consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Proprietes de la rami cation faible . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Caracterisation a l’aide du polyn^ ome minimal . . . . . . . 17
1.3 Etude locale dans le cas abelien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 globale dans le cas C 2oC . . . . . . . . . . . . . . . . . 23pp
1.4.1 Une condition necessaire pour la rami cation faible . . . . 23
1.4.2 Une cns de rami cation faible . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.3 Un exemple d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Exemples 29
2.1 Une liste d’exemples globaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1 Extensions faiblement rami ees . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.2 moderees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Exemples locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1 Quelques extensions localement faiblement rami ees . . . 35
2.2.2 Extensions pures deQ de degre 45 . . . . . . . . . . . . 363
2.3 Une famille in nie d’extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.1 Le theoreme d’irreductibilite de Hilbert . . . . . . . . . . 41
p
32.3.2 Comportement de } dans l’extension K( )=K . . . . . 42
p
92.3.3 Rami cation de } dans K( )=K . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.4 Preuve du point (ii) du theoreme 2 . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.5 Les valeurs de v (d ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 R
2.4 Une autre famille in nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.1 Construction des extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.2 Un critere explicite de rami cation . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
12 TABLE DES MATIERES
3 Structure galoisienne : preliminaires 57
3.1 L’ideal racine carree de la codi erente . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.1 Structure d’ideal ambige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1.2 La structure de reseau deA . . . . . . . . . . . . . . 59N=K
3.1.3 Interpretation en terme de structure hermitienne . . . . . 60
3.2 Hom-description du groupe des classes . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.1 Le groupe des classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.2 Hom-description de Fohlicr h . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.3 Un representant semi-local . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.4 Passage du semi-local au local . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.5 Un representant local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3 Etude des sommes de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.1 La somme de d’un caractere abelien . . . . . . . . 66
3.3.2 Exemple de calcul d’une somme de Gauss . . . . . . . . . 67
3.3.3 Proprietes des sommes de Gauss abeliennes . . . . . . . . 68
3.3.4 Action galoisienne sur la somme de Gauss . . . . . . . . . 71
3.4 Extensions a groupe d’inertie abelien . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4.1 Description des caracteres irreductibles de . . . . . . . . 73
3.4.2 Une expression simple pour la somme de Gauss . . . . . . 74
4 Structure galoisienne : resultats 77
4.1 Adaptation de resultats existants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2 Extensions abeliennes aux places sauvages . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.1 Le dernier facteur des places moderees . . . . . . . . . . . 80
4.2.2 Les places sauvages (cas absolu) . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.3 L’extension pure decomposee . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.4 Toutes les extensions pures . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3 Majoration dans les p-extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.1 Etude de la somme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3.2 de la resolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.3 Fin de la preuve du theoreme 4 . . . . . . . . . . . . . . . 90
5 Calculs de reseaux 91
5.1 La famille d’extensions de la partie 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2 Une autre famille d’extensions faiblement rami ees . . . . . . . . 94
5.3 Calcul dans des extensions moderees . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.4 L’algorithme utilise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Bibliographie 99Introduction
La question de l’existence d’une base normale pour l’anneau des entiers d’une
extension galoisienne nie de Q a suscite de nombreuses recherches en theorie
algebrique des nombres. En terme de structure galoisienne, l’existence d’une
telle base equivaut a la liberte de l’anneau d’entiers comme module sur la Z-
algebre du groupe de Galois G de l’extension. Le theoreme de N ther a rme
que ce module est localement libre si et seulement si l’extension est moderement
rami ee, ce qui donne une condition necessaire a l’existence de la base normale.
Sous cette condition, on associe a l’anneau d’entiers une classe dans le groupe
des classes deZ[G]-modules localement libres. On sait par le theoreme de Taylor
([Tay1]) que cette classe est d’ordre 1 ou 2 et on peut la determiner en fonction
des caracteres irreductibles symplectiques de G. Lorsqu’elle n’est pas triviale,
l’anneau d’entiers ne peut pas posseder de base normale.
La demarche necessaire pour etablir ce resultat comporte plusieurs etapes.
On utilise d’abord la Hom-description de Fohlicr h ([Fo])r du groupe des classes
pour representer la classe de l’anneau d’entiers par certaines fonctions de ca-
racteres. Celles-ci sont fabriquees a l’aide de resolvantes et de sommes de Gauss
locales. Ces dernieres proviennent des constantes locales de l’equation fonction-
nelle des fonctions L de corps de nombres et sont donc de nature analytique,
tandis que les resolvantes sont des objets algebriques. Le point crucial est alors
de pouvoir etablir des relations entre ces objets de nature di erente. C’est ce
qu’a fait Taylor dans le cas des extensions moderees. On verra qu’un des princi-
paux resultats de cette these est obtenu en trouvant une relation nouvelle entre
ces objets en des places faiblement et sauvagement rami ees.
En e et, toutes les extensions de corps de nombres ne sont pas moderees et
on peut se demander ce qui se passe dans le cas de la rami cation sauvage. En
ce qui concerne l’anneau d’entiers, on sait qu’alors il n’est plus localement libre
en tant que Z[G]-module. Une voie possible pour contourner ce probleme est
d’etudier sa