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Extrait

These presentee pour obtenir le titre de
DOCTEUR DE L’ECOLE NATIONALE DES
PONTS ET CHAUSSEES
Specialite : Mathematiques appliquees
par
Aurelien ALFONSI
Modelisation en risque de credit.
Calibration et discretisation de
modeles nanciers.
These soutenue le 27 juin 2006 devant le jury compose de :
Mireille BOSSY Examinateur
Damiano BRIGO
Nicole EL KAROUI Rapporteur
Benjamin JOURDAIN Directeur de these
Damien LAMBERTON President
Marek RUTKOWSKI Rapporteur23
Resume
Le premier volet de cette these traite du marche du risque de credit. Apres un bref
chapitre introductif a ce marche et a sa modelisation, nous introduisons un modele a
intensite de defaut baptise SSRD pour Shifted Square-Root Di usion. Ce modele a pour
qualite principale de pouvoir ^etre automatiquement calibre aux prix des Credit Default
Swaps observes sur le marche. En outre, il permet d’avoir une intensite de defaut et un taux
d’inter^et dependants entre eux. Ensuite, nous presentons une nouvelle classe de fonctions
copules appelees \copules periodiques" car leur construction est basee sur des
periodiques. Les copules interviennent en risque de credit dans la modelisation jointe de
plusieurs instants de defaut. Les copules periodiques permettent de balayer un large spectre
+ ?de dependances, de C a C en passant par C dans le cas bivarie, et s’etend facilement
au cas multivarie. En outre, la simulation de ces copules est aisee.
Ensuite nous nous interessons a la discretisation de l’equation di erentielle stochastique
de Cox-Ingersoll-Ross qui intervient dans le modele SSRD. Nous presentons de nouveaux
schemas, implicites et explicites, et etudions leurs convergences forte et faible. On regarde
egalement numeriquement le comportement de ces schemas et les comparons aux schemas
dej a proposes par Deelstra et Delbaen [27] et par Diop [28]. Cette etude permet d’identi er
un schema qui reunit, a priori, le plus de proprietes de convergence desirables.
La derniere partie de cette these concerne le marche action. Il est desormais bien connu
que l’on peut, dans un modele a volatilite locale, trouver un pro l de volatilites qui ca-
libre exactement les prix des options europeennes observes. On s’interesse ici au probleme
analogue pour les options americaines : peut-on trouver un pro l de volatilites qui donne
exactement les prix des options americaines? Pour attaquer ce probleme, nous considerons
le cas des options americaines perpetuelles et d’une fonction de volatilite locale homogene
en temps. Nous mettons alors en evidence une relation de dualite Call-Put qui permet
d’interpreter le prix d’un call comme le prix d’un put ou le strike et la valeur actuelle de
l’action sont intervertis. Par le biais de cette dualite, on montre qu’ a un pro l de volatilite
correspond de maniere univoque l’ensemble des prix des calls et puts americains, ce qui
apporte une premiere reponse positive au probleme de calibration.45
Abstract
The rst part of this thesis deals with credit risk. After a short introduction (in French)
to this market and its modelling, we present a reduced-form model for the default time
called SSRD (Shifted Square-Root Di usion). One interesting feature of this model is
that it can be automatically calibrated to the Credit Default Swap prices that come from
the market. Moreover, it leaves the possibility to have dependence between the default
intensity and the interest short rate. Then, we present a new family of copula functions
named \periodic copulas" because their construction relies on periodic functions. Copula
functions are used in the credit risk area to model dependence between di eren t default
times. Periodic copulas allow to explore a large range of dependence and can also be
extended to the multivariate case. Furthermore, they can be easily sampled.
Then, we focus on the discretization schemes for the stochastic di eren tial equation of
Cox-Ingersoll-Ross which is used in the SSRD model. We present several discretization
schemes of both the implicit and explicit types. We study their strong and weak conver-
gence. We also examine numerically their behaviour and compare them to the schemes
already proposed by Deelstra and Delbaen [27] and Diop [28]. Gathering all the results
obtained, we recommend, in the standard case, the use of one of our explicit schemes.
In the last part we turn to the equity market. It is well known that it is possible, in a
local volatility function model, to grab from the European option prices a volatility function
which is consistent with. We consider here the analogous problem for American options:
can we nd a volatility function that explains all the American option prices observed?
To tackle this problem, we consider perpetual American options and time-homogeneous
local volatility functions. We put in evidence a relation named Call-Put Duality that
allows to interpret a Put price as a Call price where strike value and spot value have been
interchanged. Thanks to this duality result, we design a theoretical calibration procedure
of the local volatility function from the perpetual Call and Put prices for a xed spot price.6Remerciements
Il va de soi que mes premiers remerciements s’adressent a Benjamin Jourdain pour tout
le temps qu’il m’a consacre au cours de ces trois annees de these. J’ai particulierement
apprecie sa rigueur en matiere de redaction et la qualite de ses relectures. Je le remercie
egalement pour son soutien et ses encouragements, et notamment pour m’avoir incite de
nombreuses fois a presenter mes travaux.
Ringrazio Damiano Brigo di avermi accolto nel ormai mitico Product Development
Group della Banca IMI che saluto anche. In particolare, voglio ringraziarlo di avermi in-
trodotto al rischio di credito e ai problemi concreti della nanza. Ha saputo fare del mio
periodo a Milano un momento di lavoro gradevole e produttivo.
Ensuite, je tiens a remercier Nicole El Karoui d’avoir accepte d’^etre rapporteur sur
ma these. Cela me fait tout particulierement plaisir car c’est a travers son cours que j’ai
decouvert le calcul stochastique et la nance. Je suis tres honore que Marek Rutkowski ait
aussi accepte d’ecrire un rapport sur ma these. Je suis egalement tres heureux que Mireille
Bossy et Damien Lamberton aient bien voulu ^etre membre du jury.
Naturellement, je voudrais saluer tous mes collegues du CERMICS et notamment Ber-
nard, Bouhari, Eric, Jean-Fran cois, Jer^ ome, Julien, Nicola, Simone et Tony avec qui j’ai eu
le plaisir de travailler. Je tiens egalement ici a exprimer ma gratitude envers Mr Wigneron
(et a travers lui plusieurs de mes professeurs de mathematiques) qui a un moment charniere
a, par son enseignement, developpe et renforce mon attrait pour les mathematiques.
E in ne, vurria n sti ringrazi avendu un pensieru pe i cari, famiglia e amici, chi m’anu
sempre datu curagiu e appoghju. A stu puntu di cunclusione di i studii, vogliu appru tt a di
stu spaziu di espressione pe testimuni a ricunnuscenza versu elli. Perche in qualchi manera,
anu scrittu anch’elli un pezzu di sta tesi.
78Table des matieres
Introduction 12
I Risque de credit 31
1 Introduction au risque de credit 33
1.1 Presentation du marche du risque de credit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.1.1 Les produits a un seul sous-jacent (single-name) . . . . . . . . . . . 34
1.1.2 Les produits sur panier (multi-name) . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.2 Modelisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.2.1 Les modeles structurels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.2.2 Les modeles a intensite de defaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.3 Copules et dependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.3.1 De nition et proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.3.2 Mesures de dependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.3.3 Quelques familles de copules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.3.4 Modeles a intensite avec plusieurs defauts . . . . . . . . . . . . . . 52
1.3.5 Interpretation du prix d’un CDO en terme de \base correlation" . . 53
2 Le modele SSRD 55
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2 CDS’s and Implied Hazard Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3 The SSRD intensity and interest rates model . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3.1 CIR++ short-rate model (Brigo and Mercurio (2001)) . . . . . . . 58
2.3.2 intensity model (Brigo and Alfonsi (2003)) . . . . . . . . . 59
2.3.3 Joint SSRD model calibration to CDS: Separability . . . . . . . . . 60
2.3.4 Numerical simulation of the SSRD . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3.5 Gaussian dependence mapping: A tractable approximated SSRD and
numerical tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3.6 The impact of correlation and numerical tests . . . . . . . . . . . . 66
2.4 Examples of pricing with the SSRD model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
910 TABLE DES MATIERES
2.5 Conclusions and further research . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3 Les copules \periodiques" 69
3.1 Introduction and Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Periodic Copulas: The Bivariate Basic Case . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3 A Bivariate Smooth Period