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• Publié par: Phyan
• Nombre de lectures: 25
• Langue: Catalan

Extrait

THÈSE
présentéeenvuedel’obtentiondu
DOCTORATDEL’UNIVERSITÉDETOULOUSEIII
Spécialité:MathématiquesPures
par
CharefBEDDANI
InstitutdeMathématiquesdeToulouse
ÉquipeEmilePICARD
THÉORÈMEDEREESETCOMPARAISONDESVALUATIONS
DIVISORIELLES
Soutenuele18/12/2007,devantlejurycomposéde:
M.Morales Professeur,UniversitédeGrenobleI Rapporteur
M.Lejeune Jalabert DirecteurdeRecherche,UniversitédeVersailles Examinateur
M.Reversat Professeur,UniversitédeToulouseIII Président
M.Spivakovsky DirecteurdeRecherche,UniversitédeToulouseIII Directeur
I.Swanson Professeur,UniversitédePortland(ReedCollege) RapporteurThéorèmedeRees
et
comparaisondesvaluationsdivisorielles
par
CharefBEDDANIAmesparents,
àmessoeursetfrères,
àmonProfesseurMarkSpivakovsky.Tabledesmatières
Introduction 7
1 Préliminaires 15
1.1 Anneauxdevaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Rappelsurlesvaluations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Pseudo valuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Valuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.3 Centred’unevaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.4 Valuationsdivisorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 ValuationsdeRees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1 AlgèbredeRees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.2 ConstructiondesvaluationsdeRees . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.3 Théorèmedeladimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 ThéorèmedevaluationsdeRees 31
2.1 ThéorèmedeValuationsdeRees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 ApplicationsduthéorèmedeRees 41
3.1 ThéorèmedeReesetclôtureintégraledesidéaux . . . . . . . . . . . 41
3.2 LaquestiondeHübletSwanson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Lapropriété(Z ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47k
3.4 Valuations divisorielles centrées dans un anneau analytiquement
irréductible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
54 Comparaisondesvaluationsdivisorielles 61
4.1 Présentationduthéorèmed’Izumi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2 Comparaisondesvaluationsdivisorielles . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.1 Démonstrationduthéorèmed’Izumi . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.2 Lecas(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.3 Lecas(II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5 Valuationsetconnexitéencodimension1 77
5.1 Connexitéencodimensionk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2 Diviseursliéesen1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3.1 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Notation 91
Bibliographie 96Introduction
Les valuations divisorielles sont des objets fondamentaux pour l’étude de la
résolution des singularités. Elles ont été étudiées par Zariski, Abhyankar, Rees,
Swanson et beaucoup d’autres. Plus récemment, une nouvelle approche du pro
blèmederésolutiondessingularitésparl’étudedesvaluationsdivisoriellesaété
proposénotammentparM.Spivakovsky(Cf.[42])etB.Teissier(Cf.[46]).Cetra
vailestconsacréàl’étudedesvaluationsdivisoriellesetàleurscomparaisons.
Le premier chapitre sera essentiellement destiné à rappeler les résultats connus
et à donner les outils nécessaires à la compréhension de ce travail. Nous rappel
lerons tout d’abord les définitions d’anneau de valuation, de pseudo valuation,
de valuation divisorielle et de centre d’une valuation. A la fin de ce chapitre,
nous présenterons une méthode algébrique qui nous permettra de construire les
valuations de Rees associées à un idéal I d’un anneau nœthérien intègre. Nous
utiliserons fréquemment le théorème de la dimension (Cf. Théorème 1.3.7) dans
les démonstrations de nos résultats annonces dans le deuxième et le troisième
chapitre, c’est pourquoi nous rappellerons ce théorème ainsi que sa démonstra
tion.
Dans le deuxième chapitre, nous donnerons une démonstration géométrique du
théorèmedevaluationsdeRees(Cf.Théorème2.1.9)pourlesanneauxdeNagata
(Cf. Définition 1.2.20), ainsi que pour les anneaux analytiquement irréductibles
(Cf.2.1.11).Notredémonstrationdecethéorèmeestbaséesurcertains
résultats de M. Lejeune Jalabert et B. Teissier concernant la clôture intégrale des
idéauxetl’équisingularité(Cf.[13]).
Notons pour tout idéal I d’un anneau nœthérien R et pour tout x appartenant
àR:
(
n n+1n six∈ I −I ,
ν (x)=I s
+∞ si∀s∈N, ona: x∈ I.
78 Introduction
et
n
ν (x )I
ν (x)= lim .I
n→∞ n
AlorslethéorèmedevaluationsdeReess’énoncecommesuit:
Théorème2.1.9(Cf.[38]).SoientRunanneaunœthérienetIunidéaldeR.Ilexisteun
nombre fini de valuations{ν} de R à valeurs dansZ telles que pour tout x non nuli 1≤i≤r
appartenantàR:
ν(x)i
ν (x)= min .I
1≤i≤r
ν(I)i
D’une manière générale, le deuxième chapitre sera consacré à l’étude des valua
tions de Rees associées à un idéal I d’un anneau R de Nagata ou d’un anneau
analytiquement irréductible. Autrement dit, nous donnerons une nouvelle dé
monstrationgéométriqueduthéorèmedevaluationsquinouspermettradetrou
verlesvaluationsdeReesennormalisantl’éclatementdeSpec RlelongdeI.Plus
précisément,siRestunanneaudeNagataet
M
n
π : Y= Proj I → X= Spec R
n≥0
l’éclatement normalisé de X le long de I, alors toute composante irréductible Ei
de
r[
V(IO ) = EY red i
i=1
définitunevaluationdiscrètedeK(R).Nousobtenonsainsirvaluationsdiscrètes
ν ,...,ν deK(R)tellesquepourtoutxnonnulappartenantàR:1 r
ν(x)i
ν (x)= min .I
1≤i≤r ν(I)i
Ainsi,nousdémontreronslerésultatsuivant:
Théorème 2.1.8. Soient R un anneau de Nagata intègre et I un idéal de R. Alors il
existe un nombre fini de valuations discrètesν ,ν ,...,ν telles que pour tout x non nul1 2 r
appartenantàR:
ν(x)i
ν (x)= min .I
1≤i≤r
ν(I)i
De plus, si l’anneau R est universellement caténaire, les valuations ν ,ν ,...,ν sont1 2 r
divisorielles.C’est à dire,pourtouti ∈{1,2,...,r}:
deg.tr. k = htp −1,
ν ik(p ) ii