these-bouali

Informations

• Publié par: Mosur
• Nombre de lectures: 77
• Langue: Français

Extrait

TH¨SE de DOCTORAT de L’UNIVERSIT
PARIS VI
SpØcialitØ :
MATH MA TIQUES
PrØsentØe par :
Mohamed BOUALI
pour obtenir le grade de :
DOCTEUR DE L’UNIVERSIT PARIS VI
Sujet :
Analyse Harmonique en dimension in nie
Soutenue le 05/05/2006 devant le jury composØ de
M. Jacques FARAUT Directeur de thŁse
M. Grigori OLSHANSKI Rapporteur
M. Bent ?RSTED
M. Jean-Louis CLERC Examinateur
M. Sami MUSTAPHAREMERCIEMENTS
Je voudrais tout d’abord remercier mon directeur de thŁse Jacques FA-
RAUT, pour ses encouragements constants et ses judicieux conseils. Il a su
me faire dØcouvrir de nombreux domaines passionnants des mathØmatiques
et me guider vers des problŁmes à la fois intØressants et abordables. Sans lui,
cette thŁse n’aurait pas pu s’accomplir dans de si bonnes conditions.
J’exprime ma sincŁre reconnaissance aux rapporteurs, Grigori OLSHANSKI
et Bent ?RSTED, qui ont acceptØ de se lancer dans un travail certainement
ingrat de relecture attentive et critique. Je remercie Øgalement les membres
du jury, Sami MUSTAPHA et Jean-Louis CLERC, qui m’ont fait l’honneur
d’Œtre prØsents lors de la soutenance.
Je remercie Øgalement tout les membres de ma famille : frŁres, soeurs,
beaux frŁres, belles soeurs, neuves, niŁces et qui n’ont pas cessØ a m’encou-
rager pour faire ce travail et surtout deux personnes qui sont trŁs cher pour
moi, mon pŁre et ma mŁre, je pense trŁs fort à eux.
Je remercie Øgalement mes amis ( Walid, Athina, Fathi, Abdel, Anouar,
Nidhal, Fadhel, Mohamed, Nicolas, A c ha, Sana, Syrine, Warda....) et la liste
est longue, je ne peux pas citer tous les noms, dont la prØsence au jour le
jour m’as permis durant ces annØes de thŁse de travailler dans un cadre idØal.
En n l’experience montre que je ne dois surtout pas oublier de souligner
les excellentes ambiances dans les di Øren tes Øquipes qui m’ont accueilli du-
rant ma thŁse et Øgalement je remercie tous les membres de la bibliothŁque
de Chevaleret.Š
«f
£¤

ZjL

@’&“•”ˆ–

VNW

0°

Z_ikOJF

ZR

:

HNF

Z_L

A

A³

HNŠ

}Jf

Z\[^]$F

-

™šx›œž–

A¡”ˆ–

<B6§“¨C
!
HJF
"$#&%('
lmf
"
HNF

cdI
)
/
*,+
±?
-
g”ˆ
.
HN[^u[
/
Xgf

Z_L
01325476,894
oNI

`aQ…I
:;
Ã_tvu‡
<=
cdI
>
/
@?

A
<B4
.
’“ 
/
¢

0@?
4
I
.
qxf
/
Z_ikOJI
4
`aI

Z_ikOJF
:
q†f
<B
bNp
DC
K,L
EGF
-
HJI
™6­“
K,L
’&“¯
HNMPOJQSR
£¤
TUI
@’&“²
VNW
/
XYR
E
OJI
Xgf
Z\[^]$I
Zº[^]$I
Z_L
bNF
`aI
HJMOJQnI
bJF
`aQ»[s€@p
cdQeF
oNI
Xgf
cvI
hjikTUI
À_Á
VNW
ZjL
cdI
XI
lmikOJI
K,f
ZjL
HNI
`aQnI
W
oJI
Z‘‡
Z\p
.
qsr

I
—J˜
Z_ikOJF
5
Xgf
Ÿj?
ZjikOJI

oJF
<B
HJQ
@?
I
—J˜
oNI
£¤¢
Zjtvuw[x]$I
’“@œ¥6§¦m
ZjikOJF
™
XgL
©
cdMPTUI
VNW
ZjikOJF
`aQep
XgtyuzI
ZjL
{NF
`aQªI
HNI
K,f
Z|[
HJF
}~
bJI
I
ZjikTUI
h,[s€@F
XI
`aI
Xzp
VNW
ZjL
HJMƒ‚
`aQSI
Z\I
«¬
„JQ…p
Zjf
q†f
X­L
Z_L
VNŽOJQˆ‡
HJF

`aQSI
0®
h,I
.
lmf

bJF

`aI
£¤¢
oNQˆ‡
:
‰
™
f
@?
Z\[x]$I
5´
VNW

HJŠ
µœJ“¨C
‹_I
I
bJF
HN¶¸·¹F
cdF
VNW
Xgf
}Nf
Z|I
VNW
{NF
‹_I
HNI
cvF
Z\ŒF
ZºF
cdI
bJMƒ‚
Z_L
cdF
HJQSp
q†f
q†f
cdMPOJQ‘I
ZjL
Z¼[
HNF
VNW
`aQS[s€@F
Z@½¾I
`aI
Z¿p
hjtv]$I
VNŽPOJQvÂ
ZjL
‹_I
`aMPƒ‚
HJF
ZF
ZjL
HNMPOJI
oJI
Z\p
HJI
q†f
K,f
VNŽPOJI

lmLTable des matiŁres
0.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 Analyse harmonique sur l’espace V =Herm(n;F) 9n
1.1 Rappels et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 SØrie de Taylor sphØrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 SØrie de Taylor double . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Projection des mesures orbitales . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Mesures de probabilitØ et transformation de Fourier . . . . . . 23
2 Convergence des mesures orbitales, mØthode utilisant les thØo-
rŁmes de PoincarØ et de Minlos 29
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 ThØorŁme de PoincarØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 de Minlos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 DØmonstration de la proposition 2.1 . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Convergence des mesures orbitales, mØthode de Olshanski et
Vershik : DØveloppement en sØries de polyn mes sphØriques 48
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Fonction de P ly a-DØ nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Convergence des mesures orbitales . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Points extrØmaux de M et P . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4 ThØorŁme de Bochner invariant 64
4.1 ThØorŁme de Bochner invariant : . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2 ComplØments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.1 Fonctions de type positif K -invariantes sur l’espace1
2V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651
4.2.2 Mesures de probabilitØ invariantes concentrØes sur le
+c ne V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691
45 Fonctions continues de type nØgatif K -invariantes sur l’es-1
2pace V 751
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Formule de LØvy-Khinchine des fonctions continues de type
2nØgatif et K -invariantes sur l’espace V . . . . . . . . . . . . 761 1
RØfØrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87INTRODUCTION 6
0.1 INTRODUCTION
Cette thŁse est une contribution à l’analyse harmonique en dimension
in nie. Nous y Øtudions l’analyse de Fourier sur l’espace V des matrices1
hermitiennes de dimension in nie à coe cien ts dans R, C ou H, le corps des
quaternions.
La transformØe de Fourier d’une mesure de probabilitØ sur V est une1
fonction continue de type positif sur l’espaceV (1) des matrices hermitiennes
in nies n’ayant qu’un nombre ni de coe cien ts non nuls :
1[
V (1) = Herm(n;F):
n=1
Cet espace est muni de la topologie de limite inductive. Sur les espaces V1
et V (1) nous considØrons l’action par conjugaison du groupe
1[
K = U(n;F):1
n=1
Si F = R, le groupeK est le groupe orthogonal in ni O(1), si F = C, c’est1
le groupe unitaire in ni U(1), et si F = H le groupe K est isomorphe au1
groupe symplectique in ni Sp(1).
Notons M l’ensemble des mesures de probabilitØ sur V qui sont inva-1
riantes par K . C’est un ensemble convexe dont les points extrØmaux sont1
les mesures ergodiques relativement à l’action de K . Notons aussi P l’en-1
semble des fonctions continues de type positif’ surV (1) qui sont invariantes
par K , normalisØes par la condition ’(0) = 1. Cet ensemble est convexe1
et ses points extrØmaux sont les fonctions sphØriques relativement à la paire
sphØrique (K nV ;K ). La transformation de Fourier Øtablit une bijection1 1 1
de M sur P, et par suite de l’ensemble des mesures ergodiques sur V sur1
l’ensemble des fonctions sphØriques sur V (1).
Dans leur article fondamental [22] Olshanski et Vershik dØterminent les
fonctions sphØriques dans le cas oø F = C. Leur dØmonstration utilise de
fa on essentielle des dØveloppements en sØries de fonctions de Schur. Dans le
cas gØnØral que nous considØrons ils sont remplacØs par des dØveloppements
en sØries de polyn mes sphØriques. Les formules que nous utilisons sont de ce
fait moins explicites, et pour cette raison nous devons davantage faire appel
à l’analyse fonctionnelle et à l’analyse complexe pour Øtablir les estimations
et la convergence de ces sØries.
Au chapitre 1 nous Øtablissons des rØsultats de l’analyse harmonique sur
l’espace de dimension nie V = Herm(n;F) dont nous aurons besoin dansn