These : Mathematiques pures Courbes algebriques en caracteristique p> 0 munies d’un gros p

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oN d’ordre : 3656
THESE
presentee a
L’UNIVERSITE BORDEAUX 1
Ecole doctorale de mathematiques et d’informatique
par Melle Magali Rocher
pour obtenir le grade de
DOCTEUR
Specialite : Mathematiques pures
Courbes algebriques en caracteristique p> 0 munies d’un gros p-groupe
d’automorphismes.
Soutenue publiquement le 14 novembre 2008,
Apres avis de
MM. Chinburg Ted, professeur, Rapporteur
Universite de Pennsylvanie
Kontogeorgis Aristides, professeur, Rapporteur
Universite d’Athenes.
Devant la commission d’examen formee de
MM Debes Pierre, professeur, President
Universite de Lille 1
Kontogeorgis Aristides, professeur, Rapporteur
Universite d’Athenes
Liu Qing, professeur Examinateur
Universite de Bordeaux 1
Matignon Michel, professeur, Directeur
Universite de Bordeaux 1
Mme. Mezard Ariane, professeur, Examinatrice
Universite de Versailles-Saint-Quentin
M Ritzenthaler Christophe, ma^ tre de conferences , Examinateur.
Universite de Marseille 2Resume en fran cais :
Soit k un corps algebriquement clos de caracteristique p> 0. Soit C=k une courbe algebrique, propre, lisse
2p
et de genre g > 1, munie d’un p-groupe G d’automorphismes tel quejGj> g. Un tel couple (C;G) estp 1
appele une grosse action. Sous ces hypotheses,C!C=G est un rev^etement etale de la droite a ne Spec k[X],
completement ramie a l’in ni. Apres avoir precise certaines proprietes du deuxieme groupe de rami cation
G de G a l’in ni, on donne des exemples de telles actions avec G abelien d’exposant quelconque. Ces2 2
exemples trouvent leur source dans la construction, via les corps de classes de rayon, de courbes algebriques
sur un corps ni possedant beaucoup de points rationnels. On se concentre ensuite sur le cas ou G est un2
p-groupe abelien elementaire. En considerant une ltration d’anneau de k[X] liee aux polynom^ es additifs, on
obtient un theoreme de structure pour les fonctions parametrant le rev^etement d’Artin-Schreier C!C=G .2
On exhibe alors des familles universelles et on discute de l’espace de deformation correspondant lorsque
p = 5. On deduit des resultats precedents une classi cation et une parametrisation de telles actions
jGj 4 .2 2 2g (p 1)
Mots-clefs :
Automorphismes, courbes, p-groupes, corps de classe de rayons, theorie d’Artin-Schreier-Witt, polyn^ omes
additifs.
English title : Smooth curves having a large automorphim p-group in characteristic p> 0. summary :
Let k be an algebraically closed eld of characteristic p > 0 and C a connected nonsingular projective
curve over k with genus g > 1. We de ne a big action as a pair (C;G) where G is a p-subgroup of the
2p
k-automorphism group of C such thatjGj > g. Then, C ! C=G is an etale cover of the a ne linep 1
Speck[X] totally rami ed at in nity. We rst give necessary conditions on the second rami cation G of2
G at in nity for ( C;G) to be a big action. We also display realizations of such actions with G abelian of2
exponent as large as we want. Our main source of examples comes from the construction of curves with many
rational points using ray class eld theory for global function elds. Then we focus on the case where G is2
p-elementary abelian. In particular, considering additive polynomials of k[X], we obtain a structure theorem
for the functions parametrizing the Artin-Schreier cover C!C=G . Then we display universal families and2
discuss the corresponding deformation space for p = 5. All these results lead to the classi cation and the
jGj 4parametrization of big actions for .2 2 2g (p 1)
Keywords :
Automorphisms, curves, p-groups, ray class elds, Artin-Schreier-Witt theory, additive polynomials.
Cette these a ete preparee au sein du laboratoire :
IMB Institut de Mathematiques de Bordeaux, UMR 5251,
Universite de Bordeaux 1
351, cours de la Liberation - F 33405 TALENCE cedex
1Remerciements.
L’aventure (mathematique, mais aussi humaine) de ces trois annees de these n’aurait pu debuter sans la
con ance qu’a su placer en moi celui qui, apres avoir ete mon enseignant durant mon annee de preparation
a l’agregation, a accepte de devenir mon directeur de these. Je remercie Michel Matignon pour la con ance
qu’il m’a accordee, mais aussi pour sa disponibilite sans faille, sa patience rare, son immense generosite et sa
bonne humeur inconditionnelle qui ont su rendre moins fastidieux de longues journees et de longs week-end
de travail. Sur une route jallonnee de moments de doute et de decouragement, son dynamisme et son entrain
si communicatifs ont toujours su remotiver mon ardeur au travail. Je dois en n confesser mon admiration et
mon respect pour son inepuisable culture mathematique nourrie d’une profonde passion de la recherche et
d’une insatiable curiosite intellectuelle.
Mes remerciements vont ensuite a Ted Chinburg et Aristides Kontogeorgis qui, malgre leur charge de tra-
vail et leurs obligations respectives, ont bien voulu ^etre les rapporteurs de cette these. Je remercie egalement
Pierre Debes, Qing Liu, Ariane Mezard et Christophe Ritzenthaler qui m’ont fait l’honneur d’accepter d’^etre
membre de mon jury.
Je voudrais exprimer ma reconnaissance a Sylvain Maugeais et Matthieu Romagny pour leur relecture
attentive de mon manuscrit et les precieux conseils qu’ils m’ont prodigues durant la redaction du chapitre
introductif, chapitre qui a fait prendre conscience a la novice que je suis l’etendue des connaissances et
des techniques qu’il me reste encore a decouvrir. Neanmoins, face au sphinx mathematique, je sais que je
pourrais trouver parmi les personnes citees plus haut, des allies precieux toujours pr^ets a nouer le dialogue
et a m’o rir leurs lumieres. A tous ces interlocuteurs, auxquels je me dois de rajouter Irene Bouw et Stefan
Wewers, je voudrais exprimer ma gratitude pour leur patience et leur attention.
Sur la route qui m’a conduite a cette these, il faudrait sans doute chercher en amont tous les professeurs
de sciences, de lettres ou autres, qui, du plus loin qu’il m’en souvienne, ont su cultiver en moi le gout^ -
presque esthetique, presque mystique- de la connaissance et de la re exion, la curiosite du savoir et des
choses de l’esprit, tout cela conjugue avec un plaisir du travail, ce travail qui, loin de l’instrument de tor-
ture cache derriere son etymologie, m’est apparu comme l’une des clefs de la satisfaction personnelle et de
l’epanouissement de l’esprit. Pour citer Mazarine Pingeot, "etais-je vraiment en train de passer a c^ote de ma
vie, ou de forer d’autres profondeurs, d’explorer d’autres mondes qui n’etaient qu’un detour pour mieux y
revenir, a cette vie ?"
Si la genese de cette these tient a des rencontres mathematiques et intellectuelles, elle trouve aussi son
origine en un lieu, le laboratoire de l’I.M.B., qui pendant quatre annees, m’a o ert des conditions de travail
particulierement agreables et propices, depuis un bureau confortable, douillet, lumineux, jusqu’ a un parc,
paisible "trou de verdure" silencieux au sein duquel je prenais plaisir a laisser vagabonder mes pensees.
Mon sejour au sein du laboratoire me laissera ainsi le souvenir d’une aventure forte et enrichissante dans bien
des domaines de l’esprit. Ces murs auront ete pour moi le the^atre de rencontres singulieres, lesquelles auront
incontestablement transforme ma maniere d’envisager l’enseignement, la recherche, mais aussi bien d’autres
champs de la pensee. Je remercie ainsi tous les membres du laboratoire, professeurs et doctorants, avec les-
quels j’ai pu partager des discussions cocasses, lorsque, apres des heures de dur labeur, devenait pressant le
besoin de se detendre, mais aussi a l’occasion des discussions plus profondes sur des sujets mathematiques,
litteraires, sociaux ou psychologiques.
Parmi tous mes anciens professeurs, je tiens a rendre un hommage appuye et chaleureux a Jean Fresnel
dont il convient de saluer la remarquable generosite a l’egard des etudiants et des collegues, chacun pouvant
venir a toute heure le consulter sans jamais craindre de le lasser ni de le trouver a court d’idees. Sa culture
mais aussi sa bonne humeur et son humour en font un interlocuteur aussi precieux qu’agreable.
Un grand merci a l’equipe des ingenieurs informatiques qui m’a toujours accueillie avec le sourire et dont
l’aide fut precieuse face aux imprevisbles faceties des outils modernes. Une pensee egalement pour un service
de secretariat a able et e cace, en particulier pour Madame Bergerot dont la gentillesse ne s’est jamais
dementie depuis le temps ou je l’ai connue etudiante.
Merci en n a mes etudiants qui ont entretenu mon gout^ pour l’enseignement. S’ils auront, je l’espere, un
peu appris tandis que je m’evertuais craie en main, pour moi tout du moins ce contact n’aura pas ete vain,
puisqu’il m’a donne l’occasion de re echir sur ma discipline, ma maniere de l’apprehender et ma capacite a
2la restituer. Que vaudrait un savoir que l’on ne pourrait pas transmettre, quel prix aurait une connaissance
que l’on n’aurait nul plaisir a partager ?
Mes pensees vont en n a ma famille : mes parents, mon frere, ma grand-mere, a tous mes amis, sans
oublier ceux qui ne sont plus parmi nous mais dont le souvenir demeure toujours aussi vivace dans mon
coeur. Merci a chacun d’eux pour m’avoir permis de grandir dans un foyer heureux, insouciant et paisible,
pour avoir facilite mes conditions de vie et de travail, pour m’avoir entoure de leur amour et de leur attention,