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Marta

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• Langue: Français

Extrait

G´

eom´

etrie Diff´

erentielle

/

Differential Geometry

Analyse Fonctionnelle

/

Functional Analysis

ISOMORPHISME DE THOM ET FEUILLETAGES PRESQUE SANS HOLONOMIE

Gilbert HECTOR et Marta MACHO-STADLER

Isomorphisme de Thom et feuilletages presque sans holonomie

Resum´

e

.- Grˆace `

a

l

a repr´

esentation du groupo¨

ıde d’holonomie d’un feuilletage presque sans holonomie,

comme graphe de groupes ab´

eliens, on va montrer que ces feuilletages v´

erifient la conjecture de Baum-

Connes dans une version tout `a fait analogue `a celle utilis´

ee par A. Connes pour les actions de

IR

.

Thom isomorphism and almost without holonomy foliations

Abstract

.- We describe the holonomy groupoid of a foliation almost without holonomy as a graph of abelian

groups. As a consequence, we obtain that the Baum-Connes conjecture holds true for these foliations in a

way similar to the one described by A. Connes for

IR

-actions.

1.- Groupo

¨

ıdes et feuilletages

Tout groupo¨

ıde de Lie

G

induit sur son espace d’unit´

es

M

une relation d’´

equivalence ouverte, qui

d´

efinit sur

M

un feuilletage de Stefan. Il est dit

r´

egulier

lorsque ses fibres sont connexes et les

sous-groupo¨

ıdes d’isotropie sont discrets; dans ce cas, le feuilletage induit sur

M

est r´

egulier. Un

groupo¨

ıde r´

egulier

r´

ealise un feuilletage

F

, lorsque ses orbites sont les feuilles de

F

.

U

n groupo¨

ıde

de Lie r´

egulier `

a fibres contractiles est appel´

e

groupo¨

ıde classifiant

: cette appellation est justifi´

ee

par le fait que dans ce cas, le classifiant

BG

de

G

a

l

e

type d’homotopie de

G

(et donc aussi de

M

). Le groupo¨

ıde

G

est

K-orient´

e

,

s

i

l

e groupe structural du fibr´

e

T

(

F

) est r´

eduit `

a

Mln

c

(

IR

) (ou

de fa¸

con ´

equivalente, si le classifiant

BG

de

G

admet une structure

Spin

c

).

On d´

esignera par

C

∗

(

G

)

l

a C*-alg`

ebre r´

eduite du groupo¨

ıde de Lie (ou plus g´

en´

eralement, du

groupo¨

ıde localement compact)

G

. Les notions d’´

equivalence de Morita sont d´

efinies pour les

groupo¨

ıdes (respectivement, les C*-alg`

ebres) dans [2] (respectivement, [9]). Enfin, dans [9], on

montre que les C*-alg`

ebres de groupo¨

ıdes ´

equivalents sont ´

equivalentes.

Si

G

est le groupo¨

ıde d’holonomie de (

M,

F

), il est Morita-´

equivalent (voir [2]) au groupo¨

ıde

d’holonomie transverse

G

T

T

=

{

γ

∈

G

:

α

(

γ

)

,β

(

γ

)

∈

T

}

,

o

`u

T

est une sous-vari´

et´

e transverse

(en g´

en´

eral non connexe). Deux feuilletages sont dits

Morita-´

equivalents

,

s

i leurs groupo¨

ıdes

d’holonomie respectifs le sont. Tout feuilletage est Morita-´

equivalent `

a

u

n feuilletage `

a feuilles

de dimension paire.

2.- Suite exacte en K-th

´

eorie topologique

On transpose `

a

l

a cat´

egorie des groupo¨

ıdes de Lie (puis de leurs C*-alg`

ebres) la construction de la

suite exacte de K-th´

eorie d’une paire (

M,U

), o`u

U

est un ouvert d’une vari´

et´

e

M

,

e

t

o

n obtient: si

G

est un groupo¨

ıde de Lie r´

egulier, on consid`

ere

U

⊂

M

un ouvert satur´

e

(

pour le feuilletage r´

ealis´

e

par

G

sur

M

)

e

t

F

=

M

−

U

. Alors

G

U

est un sous-groupo¨

ıde ouvert plein de

G

,

e

t l’inclusion

naturelle de

G

U

dans

G

induit un homomorphisme injectif de C*-alg`

ebres (l’extension par z´

ero),

e

:

C

∗

(

G

U

)

−→

C

∗

(

G

), dont l’image est un id´

eal ferm´

e

d

e

C

∗

(

G

). On appelle

e

un

morphisme

d’inclusion

entre C*-alg`

ebres. Le sous-groupo¨

ıde ferm´

e

G

F

=

G

−

G

U

n’est pas en g´

en´

eral un

groupo¨

ıde de Lie, mais seulement un groupo¨

ıde localement compact, dont l’inclusion dans

G

est

propre. Cette inclusion induit un

morphisme de restriction

r

:

C

∗

(

G

)

−→

C

∗

(

G

F

). On obtient donc

la suite: 0

→

C

∗

(

G

U

)

e

→

C

∗

(

G

)

r

→

C

∗

(

G

F

)

→

0, o`u, en g´

en´

eral,

Ker

(

r

)

⊂

Im

(

e

). On dit que le

ferm´

e

F

est

permis

, lorsque la suite ci-dessus est exacte: ces ferm´

es permis seront obtenus `a l’aide

de conditions de moyennabilit´

e

(

voir th´

eor`

eme 6). En proc´

edant de fa¸

con tout `

a fait analogue au

cas topologique, on montre [8]:

1

Proposition 1

Avec les notations ci-dessus, si

F

est un ferm´

e

permis, on a la suite exacte longue:

→

K

1

(

C

∗

(

G

U

))

e

∗

→

K

1

(

C

∗

(

G

))

r

∗

→

K

1

(

C

∗

(

G

F

))

∂

→

K

0

(

C

∗

(

G

U

))

e

∗

→

K

0

(

C

∗

(

G

))

r

∗

→

K

0

(

C

∗

(

G

F

))

.

Le morphisme de connexion

∂

est construit par un proc´

ed´

e

e

n tout point semblable `

a celui utilis´

e

dans le cas des espaces localement compacts et C*-alg`

ebres commutatives: c’est donc une composi-

tion de morphismes d’inclusion et de restriction. Il en est ainsi pour tous les morphismes de groupes

qui apparaissent dans la suite exacte longue ci-dessus; ceci servira pour ´

etablir les propri´

et´

es de

fonctorialit´

e

a

u paragraphe 3.

3.- L’homomorphisme de Thom

Si

G

est un groupo¨

ıde K-orient´

e, qui r´

ealise un feuilletage sur

M

`

a feuilles de dimension paire, A.

Connes et G. Skandalis [1] construisent l’

homomorphisme de Thom

µ

:

K

0

(

C

0

(

M

))

−→

K

0

(

C

∗

(

G

)),

qui en fait est induit par la

correspondance fondamentale

(au sens des groupo¨

ıdes, voir [8]) entre le

groupo¨

ıde trivial

M

et le groupo¨

ıde d’holonomie

G

.

I

l

poss`

ede les propri´

et´

es fonctorielles suivantes

(voir [7] et [8]):

Proposition 2

Si le groupo¨

ıde

G

est K-orient´

e

e

t

`a feuilles de dimension paire, alors il en est de

mˆ

eme pour les groupo¨

ıdes

G

U

et

G

F

et on a les diagrammes commutatifs:

K

0

(

C

0

(

U

))

(

e

0

)

∗

−→

K

0

(

C

0

(

M

))

µ

U

↓

↓

µ

K

0

(

C

∗

(

G

U

))

(

e

)

∗

−→

K

0

(

C

∗

(

G

))

et

K

0

(

C

0

(

M

))

(

r

0

)

∗

−→

K

0

(

C

0

(

F

))

µ

↓

↓

µ

F

K

0

(

C

∗

(

G

))

(

r

)

∗

−→

K

0

(

C

∗

(

G

F

))

Th´

eor`

eme 1

[8]

Dans les conditions ci-dessus, si

U

est un ouvert satur´

e

e

t

F

=

M

−

U

un ferm´

e

permis, on a un diagramme commutatif:

K

1

(

C

0

(

U

))

(

e

0

)

∗

→

K

1

(

C

0

(

M

))

(

r

0

)

∗

→

K

1

(

C

0

(

F

))

∂

0

→

K

0

(

C

0

(

U

))

(

e

0

)

∗

→

K

0

(

C

0

(

M

))

(

r

0

)

∗

→

K

0

(

C

0

(

F

))







µ

U

(1)







µ

(2)







µ

F

(3)







µ

U

(4)







µ

(5)







µ

F

K

1

(

C

∗

(

G

U

))

e

∗

→

K

1

(

C

∗

(

G

))

r

∗

→

K

1

(

C

∗

(

G

F

))

∂

→

K

0

(

C

∗

(

G

U

))

(

e

)

∗

→

K

0

(

C

∗

(

G

))

(

r

)

∗

→

K

0

(

C

∗

(

G

F

))

Preuve:

Tous les homomorphismes qui apparaissent ont ´

et´

e obtenus `

a partir de morphismes

d’inclusion ou de restriction, il suffit donc d’utiliser la proposition 2.

4.- Feuilletages presque sans holonomie

On va appliquer les consid´

erations pr´

ec´

edentes `a certains feuilletages

F

de codimension un, de

classe

C

r

(

r

≥

1), transversalement orient´

es par un champ de vecteurs

Y

,

d

e norme finie, sur une

vari´

et´

e riemannienne compl`

ete

M

,

d

e dimension

m

, tangent au bord si

∂

(

M

) =

∅

.

Le feuilletage (

M,

F

) est

presque sans holonomie

([3] et [4]), si l’holonomie de toute feuille non

ferm´

ee est triviale. Si

M

est compacte, on retrouve les feuilletages presque sans holonomie

habituels. Le feuilletage est

de type fini

, s’il ne poss`

ede qu’un nombre fini de feuilles ferm´

ees.

Cette restriction n’est que provisoire; il s’agit plutˆ

ot d’une simplification technique (voir [6]). Dans

la suite, (

M,

F

) sera un feuilletage presque sans holonomie de type fini.

Un

graphe fini de groupes d’hom´

eomorphismes ab´

eliens de type fini de

IR

est d´

efini par les donn´

ees

suivantes:

(i) un graphe Γ = (Γ

0

,

Γ

1

,s,r

) fini et orient´

e,

(ii) pour

s

∈

Γ

0

,

u

n groupe ab´

elien de type fini

G

s

d’hom´

eomorphismes de

IR

, sans point fixe,

2

(iii) pour chaque

a

∈

Γ

1

,

u

n groupe ab´

elien de type fini

H

a

d’hom´

eomorphismes de

IR

, ayant 0

comme unique point fixe,

(iv) pour chaque

a

∈

Γ

1

, deux homomorphismes de groupes:

S

a

:

H

a

−→

G

s

(

a

)

et

R

a

:

H

a

−→

G

r

(

a

)

,

o`u

R

a

(

f

)

=

log

◦

f

◦

exp

et

S

a

(

f

)

=

log

◦

f

◦

−

exp

,

pour

f

∈

H

a

.

G´

eom´

etriquement, le passage de

H

a

`

a

G

r

(

a

)

consiste `a restreindre

f

`

a

(

0

,

∞

), puis reparam´

etrer

pour obtenir un hom´

eomorphisme de la droite, qui ´

evidemment ne poss´

edera plus de point fixe.

La notion d’isomorphisme de deux de tels graphes se d´

efinit de fa¸

con ´

evidente. Il s’agit d’associer

`

a

(

M,

F

)

u

n graphe fini de groupes d’hom´

eomorphismes ab´

eliens de type fini de

IR

:

Th´

eor`

eme 2

[8]

Il existe une transversale totale

T

au feuilletage, qui se plonge de fa¸

con naturelle

dans

M

et qui d´

efinit un graphe fini de groupes d’hom´

eomorphismes ab´

eliens de type fini de

IR

,

Γ(

F

)

.

E

n fait,

Γ(

F

)

,

n’est rien que le groupo¨

ıde transverse de

F

,

relativement `

a

T

.

I

l est appel´

e

le graphe du feuilletage

(

M,

F

)

.

Proposition 3

Le feuilletage

(

M,

F

)

est sans holonomie si et seulement si

Γ(

F

)

est r´

eduit `

a

u

n

unique sommet

s

, dont le groupe

G

s

est le groupe d’holonomie du feuilletage.

Th´

eor`

eme 3

Si

(

M

1

,

F

1

)

et

(

M

2

,

F

2

)

sont deux feuilletages presque sans holonomie de type fini,

ils sont Morita-´

equivalents si et seulement si leurs graphes associ´

es sont isomorphes.

R´

eciproquement, on peut montrer:

Th´

eor`

eme 4

[8]

A

partir d’un graphe fini de groupes d’hom´

eomorphismes ab´

eliens de type fini de

IR

,

Γ

,

o

n

peut construire un feuilletage

(

M

0

,

F

0

)

, qui v´

erifie:

(i)

F

0

est presque sans holonomie, classifiant et `

a feuilles de dimension paire,

(ii) le graphe associ´

e

a

u feuilletage

(

M

0

,

F

0

)

,

Γ(

F

0

)

, est isomorphe `

a

Γ

.

Th´

eor`

eme 5

[8]

Le feuilletage construit dans le th´

eor`

eme 4, est Morita-´

equivalent `

a

(

M,

F

)

.

Si de plus (

M,

F

) est classifiant et

F

est la r´

eunion des feuilles ferm´

ees, alors le groupo¨

ıde

d’holonomie restreint

G

F

co¨

ıncide avec le groupo¨

ıde fondamental, Π

1

(

F

), et on en d´

eduit:

Lemme 1

Si

U

est une composante connexe de

M

−

F

,

o

n

a les isomorphismes de groupes

µ

F

:

K

∗

(

F

)

−→

K

∗

(Π

1

(

F

))

et

µ

U

:

K

∗

(

C

0

(

U

))

−→

K

∗

(

C

∗

((

G

U

))

.

On obtient le r´

esultat essentiel du travail:

Th´

eor`

eme 6

[8]

Si

(

M,

F

)

est un feuilletage presque sans holonomie, de type fini et classifiant,

alors l’homomorphisme de Thom

µ

:

K

∗

(

M

)

−→

K

∗

(

C

∗

((

G

))

est un isomorphisme de groupes, ap-

pel´

e l’isomorphisme de Thom pour

(

M,

F

)

.

Id´

ee de la preuve:

On consid`

ere le ferm´

e

F

r´

eunion des feuilles `

a holonomie non nulle. Les groupes

d’holonomie correspondants sont ab´

eliens, donc moyennables; on en d´

eduit ais´

ement que

F

est un

ferm´

e

permis. On pose

U

=

M

−

F

;

l

e fibr´

e

T

(

F

) est trivial, donc les fibr´

es et les applications

qui apparaissent dans les constructions pr´

ec´

edentes sont ´

evidemment K-orient´

ees. Compte tenu

du lemme 1 et du th´

eor`

eme 1, le lemme des cinq garantit que

µ

est aussi un isomorphisme.

Par ´

equivalence de Morita, on obtient le th´

eor`

eme final, qui g´

en´

eralise les r´

esultats de [10]:

Th´

eor`

eme 7

Si

(

M,

F

)

est un feuilletage presque sans holonomie de type fini sur

M

compacte, il

v´

erifie la conjecture de Baum-Connes.

3

Remarque.-

Dans tout ce qui pr´

ec`

ede, on peut remplacer les C*-alg`

ebres r´

eduites par les C*-

alg`

ebres pleines

C

∗

max

(

G

). Tous les r´

esultats convenablement transpos´

es restent valables, les

preuves sont les mˆ

emes simplifi´

ees car il n’y a plus lieu d’introduire la notion de ferm´

e

permis: en

effet, la suite 0

→

C

∗

max

(

G

U

)

e

→

C

∗

max

(

G

)

r

→

C

∗

max

(

G

F

)

→

0, est toujours exacte (voir [7]).

R

´

ef

´

erences bibliographiques.-

[1]

A. Connes and G. Skandalis

, 1984, The longitudinal index theorem for foliations,

Publ. R.I.M.S.

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G. Hector

, 1972, Sur les feuilletages presque sans holonomie,

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, p.1703-

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[5]

G. Hector

, 1994, Groupo¨

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[6]

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, L’isomorphisme de Thom pour les graphes de groupes ab´

eliens

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a paraˆ

ıtre).

[7]

M. Hilsum et G. Skandalis

, 1987, Morphismes K-orient´

es d’espaces de feuilles et fonctorialit´

e

e

n

th´

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es une conjecture d’A. Connes),

Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. 20

,

p

.

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[8]

M. Macho-Stadler

, 1996,

Isomorphisme de Thom pour les feuilletages presque sans holonomie

,

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[9]

P.S. Mulhy, J. Renault and D.P. Williams

, 1987, Equivalence and isomorphism for groupoid

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[10]

A.M. Torpe

, 1985, K-theory for the leaf space of foliations by Reeb components,

J. of Funct.

Anal. 61

, p.15-71.

G. Hector:

Institut Girard Desargues. Universit´

e Claude Bernard Lyon I. 43, Bd 11 Novembre

1918. 69622 Villeurbanne Cedex, FRANCE.

T´

el.:

04.72.43.15.79.

Fax.:

04.72.43.00.35.

e-mail:

[e-mail]

M. Macho-Stadler:

Departamento de Matem´

aticas, Facultad de Ciencias, Universidad del Pa´

ıs

Vasco, Apartado 644, 48080 Bilbao, ESPAGNE.

T´

el.:

34-4-4647700.

Fax.:

34-4-4858147.

e-mail:

[e-mail]

4