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ThØorie homotopique des SchØmasMlle. AZI KhadijaTable des matiŁres1 GØnØralitØs sur les schØmas 21.1 Spectre d’un anneau : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1 DØ…nition ensembliste : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Topologie de Zariski sur SpecA : . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 PropriØtØs topologiques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.4 Applications continues : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 SchØma a¢ ne : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 PrØfaisceau :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Faisceau : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 Faisceau structural : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.4 SchØma a¢ ne : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Topologie de Zariski dans le cas projectif 72.0.5 DØ…nitions : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.0.6 Ensembles algØbriques projectifs : . . . . . . . . . . . . . . . . 72.0.7 IdØal d’un ensemble algØbrique projectif : . . . . . . . . . . . 92.0.8 Nullstellensatz projectif :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.0.9 Anneau graduØ associØ à un ensemble algØbrique : . . . . . . 92.0.10 Les ouverts : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Topologie de Grothendieck 113.1 PrØtopologie de Grothendieck : . . . . . . . . . . . . ...

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Extrait

Théorie

homotopique

Mlle.

AZI

des

Khadija

Schémas

Table des matières

1 Généralités sur les schémas 1.1 Spectre dun anneau : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Dénition ensembliste : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Topologie de Zariski sur SpecA : . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Propriétés topologiques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Applications continues : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Schéma a¢ ne : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Préfaisceau : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Faisceau : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Faisceau structural : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Schéma a¢ ne : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Topologie de Zariski dans le cas projectif 2.0.5 Dénitions : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.0.6 Ensembles algébriques projectifs : . . . . . . . . . . . . . . . . 2.0.7 Idéal dun ensemble algébrique projectif : . . . . . . . . . . . 2.0.8 Nullstellensatz projectif : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.0.9 Anneau gradué associé à un ensemble algébrique : . . . . . . 2.0.10 Les ouverts : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Topologie de Grothendieck 3.1 Prétopologie de Grothendieck : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 2 2 2 4 5 6 6 6 6 6 7 7 7 9 9 9 10 11 11

Résumé

Chapitre 1

Généralités sur les schémas

1.1 Spectre dun anneau : 1.1.1 Dénition ensembliste : Dénition 1.1 Le spectre dun anneau commutatif unitare A est lensemble de ses idéaux premiers, on le note SpecA: Exemple 1.1

1) Si A est un anneau principal : i) Spec Z correspond à lensemble des nombres premiers et 0 . Les nombres premiers sont en correspondance avec les idéaux premiers p Z et 0 corres- pond à lidéal nul. ii) Spec R [ X ] contient 0 (lidéal nul), R car chaque réel r correspond à lidéal premier ( X  r ) R [ X ] et les couples des nombres complexes conjugués ( z; z 0 ) correspondant à lidéal ( X  z )( X  z 0 ) R [ X ] : 2) Si A est un corps : Dans ce cas SpecA contient seulement lidéal nul.

1.1.2 Topologie de Zariski sur SpecA : Les fermés : Dénition 1.2 A tout idéal a de A on associe lensemble V ( a ) = f p idéal premier tel que a v p g : Proposition 1.1 1) Si a et b sont deux idéaux de A alors V ( a ) [ V ( b ) = V ( ab ) : 2) Si f a i g i est une famille didéaux de A alors T V ( a i ) = V ( P a i ) : Preuve.

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1.1. SPECTRE DUN ANNEAU :

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1) Montrons que V ( a ) [ V ( b ) = V ( ab ) On procède par souble inclusion : i) V ( a ) [ V ( b )  V ( ab ) : Soit p 2 V ( a ) [ V ( b ) : Donc p 2 V ( a ) ou p 2 V ( b ) : = ) a v p ou b v p: = ) ab v p: = ) p 2 V ( ab ) : Doù V ( a ) [ V ( b )  V ( ab ) : ii) V ( ab )  V ( a ) [ V ( b ) : Soit p 2 V ( ab ) , donc ab v p: Supposons par exemple que b * p Alors il va exister x 2 b tel que x = 2 p Or 8 y 2 a on a xy 2 p Comme p est premier et x 2 = p alors forcément y 2 p; doù a v p ce qui établit ii). 2) Montrons que T V ( a i ) = V ( P a i ) : Soit f a i g i est une famille didéaux de A On sait que P a i est le plus petit idéal contenant tous les a i : Donc p 2 V ( P a i ) () P a i v p () a i v p pour tout i () p 2 T V ( a i ) : Remarque 1.1 A présent on peut dénir une topologie sur SpecA: Les fermés sont les ensemble V ( a ) : On note que V ( A ) = ? et V ((0)) = SpecA: On a bien une topologie au sens de la proposition précédente : Lintersection quelconque ainsi que la réunion nie densembles de la forme V ( a ) est encore un ensemble de la forme V ( a ) : Dénition 1.3 Les ensembles V ( a ) forment donc les fermés dune certaine topologie sur SpecA appelée la topologie de Zariski sur SpecA:

Les ouverts fondamentaux : Dénition 1.4 Soit a un idéal quelconque de A: Les ensembles U ( a ) = SpecA r V ( a ) constituent les ouverts de la topologie de Zariski sur SpecA:

Notion de voisinage : Dénition 1.5 Soit W  SpecA: W est un voisinage de a pour la topologie de Zariski si et seulement sil existe I idéal de A tel que a 2 U ( I )  W:

4 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES SCHÉMAS

1.1.3 Propriétés topologiques : Points particuliers : Remarque 1.2 Un point de SpecA est fermé si le singleton correspondant est une partie fermée dans SpecA: Proposition 1.2 Le point déni par un idéal premier est fermé si et seulement si lidéal est maximal. Corollaire 1.1 Si A 6 = f 0 g alors SpecA a toujours des points fermés. Preuve.

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Supposons que SpecA 6 = f 0 g ; alors il existe un idéal premier I 6 = (0) : Donc il va exister un idéal maximal J contenant I: Ainsi J est un point fermé de SpecA: Exemple 1.2 Contrairement à ce qui se passe pour les topologies métriques tous les points ne sont pas fermés en général. En e¤et, dans Spec Z et Spec R [ X ] il existe un idéal premier (lidéal nul) non maximal.

Points génériques : Puisquun point x de SpecA nest pas nécessairement fermé on peut considérer son adhérence dans SpecA pour la topologie de Zariski. Dénition 1.6 On dit quun point est générique sil nappartient à ladhérence daucun autre point. Remarque 1.3 Il est facile de remarquer quun point correspondant à un idéal premier est générique si et seulement si lidéal premier est minimal (cest à dire ne contient aucun autre idéal premier). Exemple 1.3 i) Si A est intègre : Lidéal nul est un idéal premier minimal, il correspond donc à un point générique de SpecA . Cest aussi lunique point générique sur SpecA Ladhérence du point générique est lespace tout entier. ii) i) Si A nest pas intègre : Dans ce cas il peut y avoir plusieurs points génériques. Ladhérence de chacun de ces points est un fermé de SpecA appelé une composante irréductible de SpecA:

1.1. SPECTRE DUN ANNEAU :

Séparation et compacité : Proposition 1.3

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Lespace SpecA est quasi-compact : En e¤et, de tout recouvrement douverts douverts de SpecA on peut extraire un recouvrement ni. Preuve.  Soit f U i g i un recouvrement ouvert de SpecA . On sait daprès la proposition 1.1 que T V ( a i ) = V ( P a i ) est non vide donc P a i = A: Celà implique que lunité 1 de A appartient à la somme dun nombre ni didéaux.. Les ouverts U i correspondant aux complémentaires de ces V ( I i ) recouvrent SpecA:

Proposition 1.4

Lespace SpecA nest pas séparé.

Remarque 1.4

On a vu plus haut quun point déni par un idéal premier nest pas nécessairement fermé donc SpecA nest pas séparé.

1.1.4 Applications continues : Proposition 1.5

Soit h : A ! B un homomorphisme danneaux : Pour tout idéal p lapplication Spec ( h ) : SpecA ! SpecB qui à p associe h  1 ( p ) est continue. Preuve.

 On sait que limage réciproque dun idéal premier est un idéal premier. Dautre part, pour tout idéal J de B on montre que h  1 ( V ( J )) = V ( h  1 ( J )) est un fermé dans SpecA: Doù Spec ( h ) est une application continue.

Exemple 1.4

Pour tout anneau A , il existe un unique homomorphisme danneaux Z ! A: On a donc une application continue SpecA ! Spec Z . Si A est de caractéristique p tel que p positif premier alors limage de cette application est le nombre p Z :

6 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES SCHÉMAS

1.2 Schéma a¢ ne : 1.2.1 Préfaisceau : Dénition 1.7 Soit X un espace topologique. Un préfaisceau densembles F sur X est la donnée de : 1) Pour tout ouvert U de X dun ensemble F ( U ) 2) Pour toute inclusion V  U dune application de restriction  U V : F ( U ) ! F ( V ) vériant : i) F ( ? ) = 0 ii)  U U est lapplication identité F ( U ) ! F ( U ) iii) Si U  V  W trois ouverts de X alors  U W =  V W   U V En langage des catégorie un préfaisceau densembles F sur un espace topologique X est un foncteur contravariant de la catégorie T op ( X ) dans la catégorie des ensembles Ens . Exemple 1.5 Sur une variété di¤érentielle X , la donnée C 1 ( U ) des fonctions réelles de classe C 1 sur un ouvert U de X dénit un préfaisceau sur X: Les applications de restriction sont les restrictions au sens usuel.

1.2.2 Faisceau : Dénition 1.8 Un préfaisceau F est appelé faisceau lorsque, pour tout ouvert V de X , tel que V = S V i et pour toute famille de sections f s i g 2 F ( V i ) s i j V i \ V j = s j j V i \ V j alors 9 ! s 2 F ( U ) tel que s j V i = s i : 1.2.3 Faisceau structural : A isomorphisme près, il existe un faisceau danneaux commutatifs sur lespace topo- logique SpecA dont lanneau des sections est un ouvert de la forme D ( f ) ( où f 2 A ) sidentiant à lanneau local A f : Dénition 1.9 La donnée de lespace topologique SpecA muni de ce faisceau danneaux constitue un espace topologique annelé. Si U est un ouvert de SpecA , lanneau des sections sur U du faisceau structural est appelé anneau des fontions régulières sur U:

1.2.4 Schéma a¢ ne : Dénition 1.10 Pour tout idéal premier p de A , lanneau des germes de fonctions régulières en p 2 SpecA sidentie au localisé A p de A en lidéal premier p: Lespace annelé SpecA est ainsi un espace topologique annelé en anneaux locaux appelé schéma a¢ ne.

Chapitre 2

Topologie de Zariski dans le cas projectif

2.0.5 Dénitions : Soit n 2 N et E lespace vectoriel de dimension n + 1 sur k: On introduit la relation déquivalence < sur E r f 0 g dénie par : x < y ()9  2 k  tel que y = x: La relation < nest autre que la colinéarité des vecteurs, les classes déquivalence pour < sont donc les droites vectorielles de E privées de lorigine. Dénition 2.1 Espace projectif Lespace projectif associé à E quon note P ( E ) est le quotient de E r f 0 g par la relation < : Si on désigne par p la projection canonique k n +1 r f 0 g! P ( k n +1 ) : Pour x = ( x 0 ; :::; x n ) et x 6 = 0 , si  x = p ( x ) on dit que x  est un point de P ( k n +1 ) de coordonnées homogènes ( x 0 ; :::; x n ) : On pose P n = P ( k n +1 ) : On note alors que les x i ne sont pas tous nuls et que si  2 k  alors ( x 0 ; :::; x n ) est un autre système de coordonnées homogènes de x  : Remarque 2.1 1) Lorsque k = R ou C lespace projectif a une topologie naturelle, celle quotient de la topologie de k n +1 r f 0 g : Lespace projectif est donc compacte et connexe. 2) Le fait que lespace projectif associé à k n +1 soit de dimension n correspond au fait que les droites vectorielles y sont contractées en des points.

2.0.6 Ensembles algébriques projectifs : On va travailler sur un corps commutatif k . On désigne par P n lespace projectif de dimension n . On note par ( x 0 ; :::; x n ) les coordonnées dans P n : Soit k [ X 1 ; :::; X n ] lanneau des polynomes . Remarque 2.2

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8 CHAPITRE 2. TOPOLOGIE DE ZARISKI DANS LE CAS PROJECTIF

Parmi les di¤érences avec le cas a¢ ne il convient de préciser que les polynomes F de k [ X 1 ; :::; X n ] ne sont plus des fonctions sur lespace projectif parce que leur valeur en un poi t  dépend du système de coordonnées homogènes. n x On rappelle que si F est homogène de degré d alors F ( x 0 ; :::; x n ) =  d F ( x 0 ; :::; x n ) : Proposition 2.1 Soit F 2 k [ X 1 ; :::; X n ] et  2 P n : x On dit que  x est un zéro de F si F ( x ) = 0 pour tout système de coordonnées homogènes d  : x e x On écrit alors indi¤éremment F ( x ) = 0 ou F ( x ) = 0 : i) Si F est homogène il su¢ t quon ait pour tout système de coordonnées homogènes F ( x ) = 0 : ii) Si F = F 0 + F 1 + ::: + F r où F i sont homogènes de degré i alors F ( x ) = 0 , F i ( x ) = 0 pour tout i 2 f 1 ; :::; r g : Preuve.

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Pour ii) Supposons que F ( x ) =  d F d ( x ) + ::: + F 1 ( x ) + F 0 ( x ) = 0 : Ceci implique F i ( x ) = 0 8 i = 0 ; :::; r: Réciproquement si pour tout i = 0 ; ::; r on a F i ( x ) = 0 alors F ( x ) = F ( x ) = 0 : Dénition 2.2 Ensemble algébrique projectif Soit S  k [ X 1 ; :::; X n ] : On appelle ensemble algébrique projectif un ensemble de la forme : Z p ( S ) = f x 2 P n / 8 F 2 S F ( x ) = 0 g (Au sens de la proposition 2.4 bien en- tendu). Sil ny a pas de confusion on écrit Z ( S ) au lieu de Z p ( S ) : 1) Si I = h S i on a bien Z ( S ) = Z ( h S i ) : 2) Comme k [ X 1 ; :::; X n ] est nothérien il est toujours possible de se ramener au cas où S est ni formé par des polynomes homogènes.

Exemple 2.1 1) Z ( f 0 g ) = P n : 2) Comme dans le cas a¢ ne, les points x = ( x 0 ; :::; x n ) 2 P n sont des ensembles algébriques projectifs.

Remarque 2.3 Similairement au cas a¢ ne on a les propriétés suivantes : i) Lapplication Z p est décroissante . ii) Lintersection quelconque densembles algébriques projectifs ainsi que leur réunion nie sont des ensembles algébriques projectifs. Ce qui munit P n dune topologie dont les fermés seront les Z p : cest la topologie de Zariski. Pour les parties de P n on utilisera la topologie induite (dite encore de Zariski).

2.0.7 Idéal dun ensemble algébrique projectif : Remarque 2.4

Soit V une partie de P n : Lidéal de V est déni par : I p ( V ) = f F 2 k [ X 1 ; :::; X n ] / 8 x 2 V F ( x ) = 0 g Toujours au sens de la proposition 2.4.

Proposition 2.2

1) Lidéal I p ( V ) est homogène et radical. 2) Lapplication I p est décroissante. 3) Pour tout ensemble algébrique projectif V on a Z p ( I p ( V )) = V: 4) Si I est un idéal on a I  I p ( Z p ( I )) : 5) I p ( I ) = (0) et I p ( ? ) = k [ X 1 ; :::; X n ] :

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2.0.8 Nullstellensatz projectif : Dans la suite on supposera que le corps k est algébriquement clos. On a alors une variante du Nullstellensatz a¢ ne énoncée comme suit :

Théorème 2.1 Nullstellensatz projectif

Soit I un idéal homogène de k [ X 1 ; :::; X n ] . i) Z p ( I ) = ? , ( X 1 ; :::; X n ) = k [ X 1 ; :::; X n ]  rac ( I ) : ii) Si Z p ( I ) 6 = ? on a I p ( Z p ( I )) = rac ( I ) :

Remarque 2.5

On obtient ainsi -comme dans le cas a¢ ne- une bijection entre les ensembles algébriques projectifs et les idéaux homogènes radicaux de k [ X 1 ; :::; X n ] :

2.0.9 Anneau gradué associé à un ensemble algébrique : Soit V  P n un ensemble algébrique projectif et I p ( V ) son idéal. Comme I p ( V ) est homogène alors lanneau quotient  p ( V ) = k [ X 1 ; :::; X n ] = I p ( V ) est gradué.

Remarque 2.6

1) Là encore on pourra traduire les propriétés algébriques en propriétés géométriques grâce à la correspondance entre les idéaux homogènes radicaux de  p ( V ) et les ensembles algébriques projectifs inclus dans V: 2) Contrairement au cas a¢ ne les  p ( V ) ne dénissent plus des fonctions sur V , bien que pour un F 2  p ( V ) et x 2 P n le fait que F possède un zéro en x est indépendant du choix du représentant de F: