X - STATISTIQUE DES ETOILES NAINES BLANCHES

Kessal

Description

= 90XI - STATISTIQUE DES ETOILES NAINES BLANCHES Historiquement, c’est la première utilisation de la statistique de Fermi-Dirac (1926) . En astrophysique, une règle empirique est que la brillance d’une étoile est proportionnelle à sa couleur (longueur d’onde prédominante) : une étoile de couleur rouge n’est pas brillante, tandis qu’une étoile blanche est brillante ( voir le diagramme de Hertzsprung – Russel ci-dessous ). Les géantes rouges et les naines blanches constituent des exceptions à cette règle générale. La raison de cet état de fait est : i)Les géantes rouges sont des étoiles relativement jeunes, dont le constituant est principalement de l’hydrogène ; les réactions thermonucléaires se font à grande vitesse, ce qui donne une grande brillance. ii)Les naines blanches sont de vieilles étoiles, constituées principalement d’hélium ; les réactions thermonucléaires se font à faible vitesse, ce qui donne une étoile de faible brillance. Brillance Géantes rouges Séquence principale Naines blanches rouge blanche couleur Diagramme de Hertzsprung-Russel Une étoile naine blanche, dans un modèle simplifié, est représentée par une masse 30 30M ≈10 Kg d’hélium (pour comparaison, la masse du soleil es M = 210 Kg ), dans S10 3 7une sphère de haute densité ρ ≈10 Kg/m à une température centrale T ≈10 °K . A cette température, l’énergie d’agitation thermique est de l’ordre de 1 KeV . Cette énergie est nettement plus élevée que l’énergie ...

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 90 XI  STATISTIQUE DES ETOILES NAINES BLANCHES Historiquement, c’est la première utilisation de lastatistique de FermiDirac (1926) . En astrophysique, une règle empirique est que la brillance d’une étoile est proportionnelle à sa couleur (longueur d’onde prédominante) : une étoile de couleur rouge n’est pas brillante, tandis qu’une étoile blanche est brillante( voir le diagramme de Hertzsprung – Russel ci dessous ). Les géantes rougeset les naines blanches constituent des exceptions à cette règle générale. La raison de cet état de fait est : i)Les géantes rouges sont des étoiles relativement jeunes, dont le constituant est principalement de l’hydrogène ; les réactions thermonucléaires se font à grande vitesse, ce qui donne une grande brillance. ii)Les naines blanches sont de vieilles étoiles, constituées principalement d’hélium; les réactions thermonucléaires se font à faible vitesse, ce qui donne une étoile de faible brillance.

Brillance

Naines blanches

Séquence principale

Géantes rouges

rouge couleu r

Diagramme de HertzsprungRussel

Une étoile naine blanche, dans un modèle simplifié, est représentée par une masse 30 30 M≈10Kg  d’hélium(pour comparaison, la masse du soleil es M=2 10Kg ), dans S 10 3 7 une sphère de haute densité ρ≈10Kg/m une température centrale à T≈10°K . A cette température, l’énergie d’agitation thermique est de l’ordre de 1 Ke . Cette énergie est nettement plus élevée que l’énergie d’ionisation de l’atome d’hélium , de l’ordre de 28 eV; on considérera donc que tout l’hélium de l’étoile est ionisé. L’étoile est ainsi composée de électrons libres, et de N/ 2 noyaux d ‘hélium. La masse de l’étoile est : M N ( m2m ) ≈2Nm p p où m est la masse d’un électron et m la masse d’un proton. p La densité d’électrons est : Nρ 37 3 n= =≈10e/m V2m p L’énergie de Fermi de ce système vaut : 2 / 3 2 2 ⎛ ⎞ 6πn = 6 ⎜ ⎟ ε= ≈10eV F ⎜ ⎟ g2m ⎝ ⎠ Cette valeur est plus grande que l’énergie de masse de l’électron ( 0.511MeV) ; ceci entraîne que la dynamique des électrons est relativiste.

 91 La température de Fermi vaut : ε F 10 T= ≈10°K F k T −3 On a ainsi: ≈10 . Le gaz de fermions est, statistiquement, dans un état de T F dégénérescence complète. La pression cinétique des noyaux d’hélium et la pression de radiation ( beaucoup plus faibles que la pression cinétique des électrons ) seront négligées. Nous négligerons aussi la variation spatiale de la densité électronique. Bien que nous ayons fait beaucoup de simplifications, nous obtenons des résultats qui sont en accord avec l’expérience, au moins qualitativement.  Legaz étant macroscopique, les niveaux d’énergie sont très serrés ; nous utiliserons 3 l’approximation de statistique classique : nous avons un état par volume h de l’espace des phases : P F 8πV 2 8πV 3 N=p dp=p 3 ∫ 3 F h h 0 L’impulsion de Fermi p est donnée par: F 1/ 3 ⎛ 3n ⎞ p ⎟ = ⎜ h F ⎝ 8π ⎠ L’énergie cinétique d’une particule relativiste d’impulsionet de masse au repos m est : 1/ 2 2 ⎡ 2 ⎤ ε=mc ( 1+ ( p/mc ) ) −1 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ La vitesse d’une particule est telle que : dεp/mc v= =c 1/ 2 dp 2 [1+ ( p/mc ) ] L’énergie cinétique totale du gaz est donnée par la relation : p F 1/ 2 π 8V 2 ⎡ 2 ⎤ 2 E=mc ( 1+ ( p/mc ) ) −1p dp 3 ∫ ⎢ ⎥ 0 ⎣ ⎦ h 0 La pression cinétique du gaz d’électrons est : p F 2 1 N 8π ( p/mc ) 2 2 P =pv=mc pdp ∫ 0 3 1/2 3 V 2 h 1p/mc 0 + ( ) ] Introduisons la variable sans dimensions θ  telleque : p mcsh ( θ ) On a ainsi : 2 ε=mc [ chθ ) −1 ]  et v=c th ( ) Nous avons alors : 3 3 8πVm c 3 N=sh ( θ ) F 3 3h 4 5 F π 8Vm c 2 E= ( ch ( θ ) −1 ) sh ( θ ) ch ( θ ) dθ 3 ∫ 0 h 0 4 5 F 8πVm c 4 P=sh ( θ ) dθ 3 ∫ 0 3h 0

 92 p F En posant x = sh( θ ) = , nous avons : F mc 3 3 8πVm c 3 N=x 3 3h 4 5 π Vm c E=B ( x ) 0 3 h 4 5 πVm c P=A ( x ) 0 3 3h Les fonctions A ( x ) et B ( x ) sont telles que : 1 /2 2 2−1 A ( x ) =x ( x+1 ) 2x−3 ) +3sh ( x ) 1 /2 3 ⎧ 2 ⎫ ( ) = ( + ) − ( ) B x 8 x ⎨ x 1 1 ⎬ −A x ⎩ ⎭ Les fonctions A ( x ) et B ( x ) sont déterminées numériquement pour n’importe quelle valeur de ;des comportements asymptotiques sont parfois utiles : ⎧ 8 5 A ( x ) ≈x 4 2 ⎪ ⎧ ⎪ A ( x ) ≈2 x −2 x 5 ⇒x≺≺1 ⎨ x;;1⇒ ⎨ 4 2 12 5 ⎪ B ( x ) ≈6x−8x ⎪ B ( x ) ≈x ⎩ ⎩ 5

0 ,7

0 ,6

0 ,5

0 ,4

0 ,3 0

3

P V A ( x ) 0 Nous avons : = E B ( x ) 0

6 9  X

1 2

1 5

 93 Ce rapport tend vers la valeur 2 / 3  lorsque →0  (casnon relativiste); il tend vers la valeur 1/ 3  lorsque → ∞ : photons). Il varie uniformément de la(cas relativiste extrême valeur 2 / 3 à la valeur 1/ 3 , comme le montre la figure précédente. Considérons maintenant la stabilité d’une naine blanche.Le gaz de l’étoile est soumis principalement à deux effets antagonistes : une agitation thermique ou pression cinétique qui le pousse vers l’extension, et une attraction gravitationnelle qui a tendance à le comprimer. On a supposé que le gaz est distribué avec une densité constante n une sphère de dans rayon R . Quand le rayon varie de la quantité dR : 2 cinétique du gaz varie de la quantité l’énergie dE= −P dV= −P ( R ) 4πR dR C0 0 2 GM  l’énergiepotentielle gravitationnelle varie de : dE=αdR g 2 R où estla constante gravitationnelle, M la masse de l’étoile, α est un paramètre, proche de l’unité, ajustable pour tenir compte de la non uniformité de la densité de l’étoile. Quand l’étoile est en équilibre, la variation d’énergie totale et nulle : dE+dE0 C g ce qui entraîne : 2 αGM P ( R ) = 0 4 4π R En écrivant la variablesous la forme : 1 / 3 1 / 3 ⎛ ⎞ ⎛ 3 n ⎞ h 9π M =/ mc ⎜ ⎟ x = ⎜⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 8π ⎠ mc8m R p ⎝ ⎠ En utilisant l’expression de A ( x ) , nous avons : 1 / 3 ⎧ ⎫ 3 2 ⎛ ⎞ ⎪ 9πM=/mc ⎪ ⎛ =/mc ⎞ GM/R ⎜ ⎟ =πα A ⎨ ⎬ 6 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎪⎝ 8m ⎠ R ⎪ R ⎠ c p m ⎩ ⎭ Cette égalité est la relation masserayon. Elle est obtenue par une combinaison de mécanique quantique, de relativité et de gravitation. Elle utilise des paramètres sans dimension qui sont des rapports de : masse de l’étoile à la masse du proton, la rayon de l’étoile à la longueur d’onde Compton de l’électron, le gravitationnelle de l’étoile à l’énergie de masse au repos de l’électron. l’énergie Au vu de la complexité de cette relation, nous voyons que nous ne pouvons pas exprimer le rayon de l’étoile comme fonction explicite de sa masse, sauf dans les cas extrêmes. 30 6 Sachant que M≈10Kg , estde l’ordre de l’unité lorsque R≈10m. Les cas extrêmes sont définis de la manière suivante : 8 6 5 a) R ;; 10m . On a ≺≺1 et donc : A ( x ) ≈x ce qui entraîne : 5 2 / 3 2−1 / 3 3 ( 9 π ) =M R≈ 5 / 3 40α Gmm p 6 4 2 b) R ≺≺ 10m  soit ;;1 . On a : A ( x ) ≈2x−2x . Ceci entraîne : 1 / 3 2 / 3 1 / 3 ⎧ ⎫ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ( 9 π ) h M ⎪ M ⎪ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ R ⎨ ≈ 1 ⎬ ⎜ ⎟ 2mc mM ⎝ 0 ⎠ ⎝ p ⎪⎠ ⎪ ⎩ ⎭

 94 1 /2 3 / 2 9 ⎛ 3π ⎞ ( =c/G ) avec : M= ⎜ ⎟ 0 3 2 64 ⎝ α ⎠ m p Nous voyons que plus la masse de l’étoile est grande , plus le rayon sera petit. Et surtout, il existe une masse limite M  pourlaquelle le rayon de l’étoile est nul. La relation 0 masse – rayon n’a pas de solution pour M≥M . Nous en concluons que toutes les étoiles 0 naines blanches ont une masse inférieure à M : ce fait est vérifié par l’expérience. Ceci 0 s’explique par le fait que, audessus d’une certainemasse, la pression du gaz est insuffisante pour résister à l’effondrement gravifique . La masse limite M est appelée limite 0 de Chandrasekhar. Des études détaillées ont conduit à la limite: M=1.44M 0S 30 où M est la masse du Soleil ( M=2×10Kg ) . S S