Comportement Asymptotique d’Equations à Derivees Partielles Stochastiques

Informations

• Publié par: Jitap
• Nombre de lectures: 41
• Langue: English

Extrait

´ ` ´UNIVERSITE DE GENEVE FACULTE DES SCIENCES
Section de Physique Professeur J. P. ECKMANN
´Comportement Asymptotique d’Equations
a` Deri´ vees´ Partielles Stochastiques
`THESE
present´ ee´ a` la Faculte´ des Sciences
de l’Universite´ de Genev` e
pour obtenir le grade de Docteur es` Sciences,
mention physique
par
Martin HAIRER
Autriche
These` No 3XXX
`GENEVE
Atelier de reproduction de la Section de Physique
2001Remerciements
Lorsqu’arrive le moment de tirer un bilan de trois annees´ passees´ a` travailler sur une these,`
il convient de s’interroger sur les personnes qui nous ont aidees´ directement ou indirecement
dans ce parcours. Une telle demarche´ comporte toujours le risque d’un oubli involontaire et je
ne ferai certainement pas exception a` cette regle.` Je demande donc en tout premier lieu aux
personnes que j’aurai oublie´ de citer de bien vouloir me pardonner et de mettre un tel oubli sur
le compte des erreurs humaines.
´ ˆ ´La personne qui a sans conteste joue le role majeur dans l’elaboration de ce travail est mon
directeur de these,` Jean Pierre Eckmann. Il a su rester disponible a` tout moment et a toujours
pleinement assume´ les diverses fonctions de son roleˆ avec competence´ et serieux,´ mais non
sans humour. Son approche tres` directe de la science et son aptitude a` saisir l’essentiel d’un
probleme` auront, je l’espere,` une influence durable sur mon travail.
Parmi toutes les autres personnes qui ont accepte´ de partager avec moi leurs connaissances
et leur vision de la science, je voudrais citer Mathieu Baillif, Dirk Blomk¨ er, Stella Brassesco,
Sandra Cerrai, David Cimasoni, Pierre Collet, Thierry Gallay, Tarik Garidi, Ernst Hairer, Andre´
Henriques, Markus Kunze, Olivier Lev´ eque,ˆ Xue Mei Li, Daniel Matthey, Jonathan Matting
ly, Marius Mantoiu, Nicolas Musolino, Claude Alain Pillet, Luc Rey Bellet, Marco Romito,
Jacques Rougemont, Alain Schenkel, Armen Shirikyan, Andre´ Stefanov, Larry Thomas, Guil
laume van Baalen, Gerhard Wanner, Peter Wittwer, Lai Sang Young et Emmanuel Zabey.
Un travail de these` ne se resume´ jamais a` la seule demarche´ scientifique. C’est pourquoi je
voudrais eg´ alement remercier ici ma famille ainsi que mes amis. J’espere` qu’ils se reconnaˆıtront
tous sans que je doive les citer individuellement par peur d’une omission inevitable.´
n Ao dJe remercie aussi D al K ut et Leslie Lamport pour avoir dev´ eloppe´ T X et LT X res n h E E
pectivement. Je ne sais pas ou` j’en serais dans la redaction´ de ce travail sans ces outils aussi
o tindispensables que r b s s.u e
´Enfin, je voudrais exprimer ma gratitude aux membres du jury, Gerard Ben Arous, David
Elworthy et Peter Wittwer d’avoir accepte´ d’endosser cette responsabilite.´`Table des Matieres
I Introduction 1
1 Presentation´ du Modele` et Formulation du Probleme` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Unicite´ de la Mesure Invariante – Techniques de Demonstration´ . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 La methode´ de la dissipativite´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 La m´ du recouvrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 La methode´ du couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Unicite´ de la Mesure Invariante – Resultats´ Obtenus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1 Methode´ du recouvrement pour des situations deg´ en´ er´ ees´ . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Gen´ eralisation´ de la methode´ du couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Conclusions et Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
II Invariant Measures for Stochastic PDE’s in Unbounded Domains 15
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1 Definitions and notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 The Stochastic Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Factorization of the stochastic convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Estimate on the processY (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21L,δ
3 Existence of the Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Analyticity of the . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Existence of an Invariant Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
A Dissipative Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
III Uniqueness of the Invariant Measure for a Stochastic PDE
Driven by Degenerate Noise 35
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 Some Preliminaries on the Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Controllability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1 The combinatorics for the complex Ginzburg Landau equation . . . . . . . . . . . 42
4 Strong Feller Property and Proof of Theorem 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Regularity of the Cutoff Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1 Splitting and interpolation spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Proof of Theorem 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3 Smoothing properties of the transition semigroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6 Malliavin Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.1 The construction ofv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7 The Partial Malliavin Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.1 Finite dimensional case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.2 Infinite case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
¨7.3 The restricted Hormander condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.4 Estimates on the low frequency derivatives (Proof of Proposition 5.3) . . . . . . . . 64
8 Existence Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.1 The noise term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.2 A deterministic problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.3 Stochastic differential equations in Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.4 Bounds on the cutoff dynamics (Proof of Proposition 5.1) . . . . . . . . . . . . . . 72
8.5 on the off diagonal terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.6 Proof of Proposition 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
IV Exponential Mixing for a Stochastic PDE Driven by Degenerate Noise 77
1 Model and Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2 A Variant of the Perron Frobenius Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3 Contraction Properties of the Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4 Strong Feller Chains and Small Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1 Existence of accessible small sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
V Exponential Mixing Properties of Stochastic PDEs Through Asymptotic Coupling 87
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.1 A toy model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2 The Coupling Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.2 Definition of coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.3 The binding construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3 Assumptions on the Coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.1 Lyapunov structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2 Binding property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4 An Exponential Mixing Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5 Application to Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.1 The Ginzburg Landau equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.2 A reaction diffusion system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.3 A chain with nearest neighbour interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Ref´ er´ ences 121I. Introduction
Ce memoire´ est consacre´ a` l’etude´ asymptotique (a` grand temps) des solutions d’equations´
` ´ ´ ´ ´ `a deri