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Contribution à l'étude numérique du comportement du béton et des structures en béton armé soumises

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sAnnexe B Méthode de régularisationANNEXE BMETHODE DE REGULARISATION(HILLERBORG 1976)Comme on a vu au chapitre II le comportement du matériau est modélisé selon une approchede fissuration répartie Sm" eared Crack" formulée dans le cadre de la théorie de la plasticitécouplée à l’endommagement. Le matériau fissuré est toujours considéré comme un milieucontinu pour lequel les notions de contrainte et de déformation restent applicables. Lematériau réel fissuré est modélisé par un matériau homogène équivalent dans lequell’ouverture de fissure est assimilée à une distribution de la déformation plastique.Ce type de représentation de la fissuration est schématisé à la figure B.1 présentant le milieuréel fissuré et le milieu homogène équivalent. Sur cette figure, l désigne la longueur ducvolume élémentaire considéré comme représentatif, mesurée perpendiculairement au plan defissure.pessssulcFigure B.1 :Représentation d’une fissure disrète parune fissuration répartie (Meftah 1997)L’énergie dissipée par unité de surface G (x=t pour la traction et x=c pour laxcompression) pour ouvrir une fissure dépend de l’amplitude du déplacement des lèvres de lafissure :urG = du (B.1)x0où u est le déplacement d’ouverture de fissure (figure B.1) 195 òŁòt¥çkæ÷łöAnnexe B ...

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Annexe BMéthode de régularisation
ANNEXE B METHODE DE REGULARISATION (HILLERBORG 1976)
Comme on a vu au chapitre II le comportement du matériau est modélisé selon une approche de fissuration répartie "Smeared Crack" formulée dans le cadre de la théorie de la plasticité couplée à l’endommagement. Le matériau fissuré est toujours considéré comme un milieu continu pour lequel les notions de contrainte et de déformation restent applicables. Le matériau réel fissuré est modélisé par un matériau homogène équivalent dans lequel l’ouverture de fissure est assimilée à une distribution de la déformation plastique.
Ce type de représentation de la fissuration est schématisé à la figure B.1 présentant le milieu réel fissuré et le milieu homogène équivalent. Sur cette figure,l désignela longueur du c volume élémentaire considéré comme représentatif, mesurée perpendiculairement au plan de fissure.
s
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p e
u lc Figure B.1 :Représentation d’une fissure discrète par une fissuration répartie (Meftah 1997)
s
L’énergie dissipée par unité de surfaceG (x1tla traction et pourx1cla pour x compression) pour ouvrir une fissure dépend de l’amplitude du déplacement des lèvres de la fissure : u r G1sdu(B.1) ò x 0 uest le déplacement d’ouverture de fissure (figure B.1)
-195-
Annexe BMéthode de régularisation
Dans le milieu homogène équivalent, la densité d’énergie dissipée par unité de volume s’exprime par : ¥ g1tdk(B.2) ò x 0 En utilisant l’expression (II.30) de la loi uniaxiale, on trouve : f0æax xö g11#(B.3) xç ÷ b2 xè ø
fest la contrainte limite d’élasticité fonction de la température (f1fpour la traction x0t0t etf10.3fpour la compression),(a,b!sont les paramètres du modèle. Par définition, le c0c milieu homogène équivalent dissipe la même quantité d’énergie que le milieu réel. On peut donc établir la relation :
¥ G1ltdk1lg ò x cc x 0
(B.4)
Que l’on peut également écrire sous la forme: G x g1 (B.5) x l c Nous sommes maintenant amenés à définir une condition d’applicabilité de cette méthode. En effet, lorsque la longueurl dépasseune certaine valeur, le matériau développe un c comportement fragile conduisant à une instabilité du processus d’intégration des équations constitutives (Rots 1988). Cette instabilité est liée à l’interprétation dans le cas d’un matériau à écrouissage négatif des critères de charge et de décharge définis en plasticité par les conditions de Kuhn-Tucker (II.87). Il est alors nécessaire d’imposer une condition sur la pente de la courbe d’adoucissementt(k,q!:
Dans le cas d’une seule surface active, la condition de consistance s’exprime dans l’espace des contraintes effectives par :
F ~ T  F1ns #hk#q10 q
-196-
(B.6)
Annexe BMéthode de régularisation
FF n1;h1 ~ ¶s ¶k
(B.7)
En combinant cette condition avec les relations (B.6, II.11, II29 et II.91), on peut exprimer le taux de multiplicateur sous la forme: Tqtm TF e%e %e# n E0( !n E0q q l1(B.8) T n Em#Lh 0 G m1;k1Ll(B.9) ~ ¶s La condition de charge (II.87) peut alors s’écrire:
Tqtm TF n E(e%e %e!#n Eq 0 0 q ³0 T n Em#Lh 0
Selon la condition (II.87), un point est considéré en décharge élastique lorsque :
(B.10)
F ~  T F1ns #hk#q00 (B.11) q De plus, on a dans ce cas: p e 1k10 (B.12) ~En introduisant l’expression desà l’équation (II.11) et la relation (B.12) dans la définie relation (B.11), cette condition de décharge s’exprime: F Tqtm T (%!# 0 n E0e%een E0q0 (B.13) q
On définit par opposition la condition de charge:
F Tqtm T n E0(eee!n E00 % %#q³ q
La condition (B.10) se ramène alors à la relation: T n Em#Lh³0 0 Dans le cas d’un écoulement associé la relation (B.15) devient :
-197-
(B.14)
(B.15)
Annexe BMéthode de régularisation
E³ %h(B.16) 0 En utilisant la loi uniaxiale définie par l’équation (II.30). On montre aisément que la valeur de la pente d’adoucissementhest donnée par la relation: x
æcö æcö fìç1%÷ ç2%÷ü x x x0 h1 %(1#a!(b%c![exp(%bk!]èxø%a(2b%c![exp(%bk!]èxø(B.17) b b xíx xx xx xx xx xý (1%>! î þ
La pente maximum post-pic à la fin de l’écoulement plastique est donnée lorsquekatteint sa valeur ultimek. En combinant la relation (B.17) et (B.5), on trouve : u
æcö æcö bGìç1%÷ ç2%÷ü x x x x h1 %(1#a!(b%c![exp(%bk!]èxø%a(2b%c![exp(%bk!]èxø b b maxíx xx xu xx xx uý æaö xî þ (1%>!lç1# ÷ c è2ø (B.18)
La condition d’applicabilité s’exprime alors :
T n Em 0 l£(B.19) c æcö æcö bGìç1%÷ ç2%÷ü x x x x ( !(![(k!](( !kè ø í1#a b%cexp%bèxø%a2b%c[exp%b!]xý b b x xx xu xx xx u æaö xî þ (1%>!Lç1# ÷ è2ø
Dans le cadre de la méthode des éléments finis, le volume élémentaire représentatif du milieu fissuré défini précédemment est assimilé à un élément du maillage. Lors du calcul d’une structure quelconque pour laquelle on ne connaît pas a priori le faciès de rupture, la détermination de la longueur caractéristique est délicate. En effet cette longueur se mesurant perpendiculairement au plan de fissure, il est nécessaire de connaître la position exacte de ce dernier avant le calcul de manière à détecter les éléments candidats à la fissuration. Plusieurs auteurs se sont penchés sur la détermination de cette longueur caractéristique lorsque l’on ne dispose pas de cette information. Dans un calcul par la méthode des éléments finis,l doit c selon la majorité des auteurs être liée à une dimension représentative des éléments (Bazant & Oh 1983, Rots 1988). Elle dépend en toute rigueur du type d’élément, de la taille des éléments, de leurs fonctions de forme et même de la position de l’élément considéré dans le maillage (présence d’une condition au limite en connexion avec l’élément). Une estimation très simple a été proposée par Rots (1988) pour les cas bidimensionnels:
-198-
Annexe BMéthode de régularisation
l1rA c e
(B.20)
A estl’aire de l’élément considéré etrun facteur correcteur égal à 1 pour les est e éléments quadratiques et à2pour les éléments linéaires. En pratique cette estimation convient pour des éléments de forme régulière mais peut s’avérer insuffisante pour des éléments de forme quelconque, de plus en plus répandus dans les maillages non-structurés. Millard (1996) propose une méthode permettant de corriger cette estimation en fonction de la forme de l’élément. Nous nous limitons toutefois ici à l’utilisation de l’estimation proposée par Rots (B.20).
La condition d’applicabilité, interprétée de façon pratique indique que la méthode de conservation de l’énergie de rupture équivalente ne peut être appliquée que pour des éléments dont la taille ne dépasse pas la longueur caractéristique intrinsèque du matériaul corrigée c d’un coefficient tenant compte de la forme et de la nature des éléments en question. Enfin, la longueur caractéristiquelconsidérée ici comme indépendante de la température, est c uniquement liée comme nous l’avons vu à la taille et à la nature des éléments.
-199-