Correspondance entre l'analyse binaire classique et l'analyse de Benzécri - article ; n°1 ; vol.77, pg 149-160

Faverge

Description

L'année psychologique - Année 1977 - Volume 77 - Numéro 1 - Pages 149-160
Summary
Gorrespondence between classical two-mode analysis and Benzecri's analysis
Classical two-mode analysis of a table of data is based on quadratic distance; Benzecri's analysis of a table of frequencies is based on the Benzecri distance, also called χ² distance. It is shown that a Benzecri analysis can be associated to any classical analysis of data which are defined on an interval scale, so that the representation space of Benzecri's analysis is a central projection of the representation space of classical analysis.
Benzecri's method plays for the classical method a role similar to Thurstonc's method of extended vectors for factor analysis. An illustration is given.
Résumé
Correspondance entre l'analyse binaire classique et l'analyse de Benzécri
L'analyse binaire classique d'un tableau de valeurs utilise la distance quadratique ; l'analyse de Benzécri d'un tableau d'effectifs utilise la distance de Benzécri, dite aussi distance de χ². On montre qu'à toute analyse classique de valeurs définies sur une échelle d'intervalles on peut associer une analyse de Benzécri et réciproquement, de sorte que l'espace de représentation de l'analyse de Benzécri soit une projection centrale de l'espace de représentation de l'analyse classique. Ainsi la méthode de Benzécri joue pour la méthode classique un rôle semblable à la méthode des vecteurs étendus de Thurstone pour l'analyse factorielle. Une illustration est donnée.
12 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.

Informations

• Publié par: L-annee-psychologique
• Publié le: 01 janvier 1977
• Nombre de lectures: 24
• Langue: Français

Extrait

J.-M. Faverge
Correspondance entre l'analyse binaire classique et l'analyse de
Benzécri
In: L'année psychologique. 1977 vol. 77, n°1. pp. 149-160.
Abstract
Summary
Gorrespondence between classical two-mode analysis and Benzecri's analysis
Classical two-mode analysis of a table of data is based on quadratic distance; Benzecri's analysis of a table of frequencies is
based on the Benzecri distance, also called χ² distance. It is shown that a Benzecri analysis can be associated to any classical
analysis of data which are defined on an interval scale, so that the representation space of Benzecri's analysis is a central
projection of the representation space of classical analysis.
Benzecri's method plays for the classical method a role similar to Thurstonc's method of extended vectors for factor analysis. An
illustration is given.
Résumé
Correspondance entre l'analyse binaire classique et l'analyse de Benzécri
L'analyse binaire classique d'un tableau de valeurs utilise la distance quadratique ; l'analyse de Benzécri d'un tableau d'effectifs
utilise la distance de Benzécri, dite aussi distance de χ². On montre qu'à toute analyse classique de valeurs définies sur une
échelle d'intervalles on peut associer une analyse de Benzécri et réciproquement, de sorte que l'espace de représentation de
l'analyse de Benzécri soit une projection centrale de l'espace de représentation de l'analyse classique. Ainsi la méthode de
Benzécri joue pour la méthode classique un rôle semblable à la méthode des vecteurs étendus de Thurstone pour l'analyse
factorielle. Une illustration est donnée.
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Faverge J.-M. Correspondance entre l'analyse binaire classique et l'analyse de Benzécri. In: L'année psychologique. 1977 vol.
77, n°1. pp. 149-160.
doi : 10.3406/psy.1977.28185
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/psy_0003-5033_1977_num_77_1_28185Année psychol.
1977, 77, 149-160
NOTE
CORRESPONDANCE
ENTRE L'ANALYSE BINAIRE CLASSIQUE
ET DE BENZÉCRI
par J.-M. Faverge
Faculté des Sciences psychologiques et pédagogiques1
Université Libre de Bruxelles
SUMMARY
Correspondence between classical two-mode analysis
and Benzécri's analysis
Classical two-mode analysis of a table of data is based on quadratic
distance; BenzècrVs of a of frequencies is based on the
Benzécri distance, also called x2 distance. It is shown that a Benzécri
analysis can be associated to any classical analysis of data which are
defined on an interval scale, so that the representation space of 's is a central projection of the of classical
analysis.
BenzècrVs method plays for the classical method a role similar to
Thurstonc's of extended vectors for factor analysis. An illustration
is given.
Etant donné un tableau de correspondance d'éléments z^ entre
lignes i et colonnes /, on développe des méthodes permettant de repré
senter ces lignes et colonnes par des points images Mj et Nj dans le
1. 44, avenue Jeanne, B 1050 Bruxelles. 150 NOTE
même espace de façon que les distances d^, entre deux images lignes
(ou images colonnes) soient données par
ou
où Zi est le total de la ligne i, zj le total de la colonne /', z le total de tous
les éléments du tableau (Faverge, 1975). Dans le premier cas, nous avons
appelé la méthode « Analyse binaire classique » en raison du fait qu'elle
introduit la distance quadratique qui est à la base de toute la statistique
classique à commencer par la notion de variance.
Dans le deuxième cas, il s'agit de la méthode appelée par Benzécri
« Analyse factorielle des correspondances » partant d'une distance qui
s'impose logiquement lorsque le tableau est un tableau d'effectifs
(Benzécri, 1973).
En général, dans la pratique, on ne reproduit qu'approximativement
les distances en réduisant le nombre de dimensions de l'espace de
représentation.
A priori, on ne devrait utiliser la méthode de Benzécri que lorsque
le tableau de correspondance est un tableau d'effectifs ; dans le cas où
le est un tableau de valeurs d'une variable, il faudrait choisir
la méthode binaire classique, d'autant plus intéressante qu'elle autorise
un groupement préalable des lignes (ou colonnes) par les méthodes
typologiques classiques (supposant prise la distance quadratique) et
qu'elle s'applique au tableau des images des colonnes (au sens de
Guttman, obtenues par la technique des moindres carrés), tableau dont
l'analyse est plus économique en terme de la dimension de l'approximat
ion retenue parce que la soustraction de l'anti-image a un résultat
semblable à la soustraction de la partie spécifique dans le cas de l'analyse
factorielle (Faverge, 1975 b).
Cependant, en pratique, on constate que les deux méthodes donnent
souvent des résultats voisins ; ils sont même identiques lorsque le tableau
a ses totaux de lignes et colonnes égalisés, car alors les z$ étant égaux
ainsi que les z'j, la distance de Benzécri est la distance quadratique (à
un facteur constant près). Comme il y a des raisons d'égaliser les totaux
par addition d'une ligne et d'une colonne que j'ai appelés Terre dans
mon livre (Faverge, 1975, a), on se trouve souvent dans le cas où les
deux méthodes sont équivalentes.
Je me propose, dans les lignes qui suivent, d'examiner la correspon
dance existant entre analyse classique et analyse de Benzécri et d'en
déduire une procédure unique d'analyse. J.-M. FAVERGE 151
PASSAGE D'UNE ANALYSE DE BENZÉCRI
A UNE ANALYSE CLASSIQUE ET RÉCIPROQUE
Soit ny- un élément d'un tableau de correspondance à l'intersection
de la ligne i et de la colonne /, soit n^ le total des éléments de la ligne i
et n'j le total des éléments de la colonne /. On sait que la méthode de
Benzécri consiste essentiellement à résoudre le système
où X et Y sont des vecteurs et p un nombre non négatif. Ce système
s'écrit :
J~ P \
= S/i^. où n = Hn'j
Sous cette forme, on voit que cette résolution est celle du système
fondamental d'une analyse classique appliquée au tableau d'élément
général
_ nij
zij / 7 (1)
V
Cette , analyse aura pour vecteurs correspondants les /y /— n X et
— Y et mêmes nombres p (mêmes racines latentes p2) ; pour être
n
précisés ces vecteurs (dits latents) sont supposés normes.
Ainsi une analyse de Benzécri est une analyse classique appliquée
au tableau correspondant Zy.
Puisque les racines latentes sont les mêmes, l'obtention des points
images à partir des vecteurs latents relève de la même transformation
dans les deux analyses, de sorte que
»- lit,* r .
OMf = V /— n OM? 152 NOTE
où M*, N^ sont les points images dans l'analyse de Benzécri et Mf, NJ
les points images correspondants classique.
Les espaces de représentation ont même dimension r ; cepen
dant, on sait que dans l'analyse de Benzécri, il y a toujours une solu
tion X$ = cte, Yy = cte, p = 1 ; ainsi les points M$ et N* sont dans un
hyperplan de dimension r — 1 et l'on peut dire qu'ils sont projections
centrales (de centre 0) des points Mf et Nj ; dans la figure 1, on a sup
posé r = 3.
Réciproque :
a) Le passage explicite des z^ aux n^ demande la résolution des le
équations (1) aux inconnues n^ (l nombre de lignes, c nombre de
colonnes).
On écrit :
et en sommant
En divisant par ^, on a : J.-M. FAVERGE 153
et de même :
V /- n = ^ y V h n
Ces équations expriment que l'analyse classique de zy- doit avoir la
racine latente 1 et que les vecteurs latents associés sont
Ainsi, pour que les équations (1) soient résolubles en ny il est néces
saire que l 'analyse classique du tableau donné des zy- ait la racine latente 1
et que les vecteurs latents associés aient des coordonnées toutes positives
ou nulles.
S'il en est ainsi, cette analyse donne :
ni n,n* _ n ni:
-1 = X?, - = Yj et -5 = a« Xf Y,. n n 3 n ' 3
Ainsi, la condition précédente est aussi suffisante.
b) Cependant, une condition supplémentaire sur le tableau des z^
doit être introduite pour que le tableau des solutions n^ soit traitable
par la méthode de Benzécri. Les n^ doivent être positifs ou nuls, donc
aussi les z^.
Retenons maintenant uniquement cette condition Zy- ^ 0.
Faisons déjà appel au théorème de Per