cours EDP diffusion [Mode de compatibilité]

Winckelmans

Description

L’équation de la DIFFUSION • Solution en domaine semi-infini 1D avec valeur imposée à llaa paroi•Solution en domaine semi-infini 1D avec fluctuation sinusoïdale imposée à la paroi• Solution en domaine fini 1D et 2D par séparation des variables:solution  de régime transitoire• Solution en domaine infini 1D, 2D et 3D par fonction de GreenEquation de diffusion en 1D2uu1 problème 1-D pour u(x,t):  2 tx•barreau isolé sur son pourtour (voir Fig.)• milieu de largeur infinie (e.g., un mur)On ffiournittlacon ditioniiinititiale (CI) et une condition limite (CL)sur chaque bord.Page 1Solution en domaine semiSolution en domaine semi- -infini 1D avec infini 1D avec valeur imposée à la paroiProblème 1-D : T (x,t)CI : Tx(,0) T1CL : Tt(0, ) T0 T00 xSoit: u(x,t) = T(x,t)-T1CI : ux(,0) 0CL : ut(0, ) uTT0012uu1 Transformation dede lEl’EDPDP 2 txx en une EDO, par changement de variable: tcar c’est le seul groupement adimensionnel possible2uu1 2 tx udu 1dutxxdd22ud1utxd u du x du dutt22t tdd d2 1du dut 2 2 t d d 2 du du 02 2 d d Page 2du dw 2  /4On pose w   w  0wded  2d  2s /4ude dsp0uu(0) pu00CL  1dulimu( )  0 0   /22212sv/4uu() 1edsu1edvue1rf(/2)uerfc( /2)00xux(,t)u1erf( )02 t22x xudu ck44ttqx(,t)kc c ueue00xdxttExemple: Mise en contact de deux milieux semi-infinis initialement à ...

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• Langue: Français

Extrait

L équation de la DIFFUSION ’

• Solution en domaine semi-infini 1D avec valeur     •Solution en domaine semi-infini 1D avec fluctuation sinusoïdale imposée à la paroi • Solution en domaine fini 1D et 2D par séparation des variables: solution  de ré ime  transitoire • Solution en domaine infini 1D, 2D et 3D par fonction de Green

Equation de diffusion en 1D

problème 1-D pour u(x,t):  2 u  1  u

•barreau isolé sur son pourtour (voir Fig.) • milieu de largeur infinie (e.g., un mur)

n ourn a con on n a e e une con on m e sur chaque bord.

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x

S o l u t i o n  e n d o m a i n e s e m i -i n f i n i  1 D a v e c   valeur imposée à la paroi Problème 1-D : T (x,t) CI : T ( x ,0) T 1   , 0 T 0 Soit: u(x,t) = T(x,t)-T 1 0 CI : u ( x ,0)  0 CL : u (0, t ) u 0  T 0  T 1 ’  2 u 1  u      2  t en une EDO, par changement de variable:  t car c’est le seul groupement adimensionnel possible

 2 u  1  u  x 2   t  u  du   1 du

 2 u  1 d 2 u  x 2  t d  2  u  du     x du     du  t d  t 2 t  t d  2 t d  1 d 2 u   du  t d  2 2  t d d d 2  u 2  2 d du   0

Page 2

On pose w  d du d d w   2 w  0  w  d e  2 / 4  u  d  0 e  s 2 / 4 ds  p   u (0)  u 0  p  u 0   lim  u  (  )  0  d   u 0    u (  )  u 0     1  1   0  e  s 2 / 4 ds      u 0     1  2   0  / 2 e  v 2 dv      u 0 1  erf (  / 2)  u 0 erfc (  / 2)

2 2     x  ck  x        q ( x , t ) k  x u  c  d du   x  c  t u 0 e 4 t  t u 0 e 4  t

Exemple: Mise en contact de deux milieux semi-infinis initialement à température T 1 et T 2

 . ’ détermine la température d’interface:

  1 c 1 k 1    T 0  T 1       2 c 2 k 2    T 0  T 2     T  1 c 1 k 1 T 1   2 c 2 k 2 T 2 0  c k   c k 1 1 1 2 2 2

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S o l u t i o n  e n d o m a i n e s e m i -i n f i n i  1 D a v e c   fluctuation sinusoïdale imposée à la paroi

CL: u (0, t )  u 0 cos t u (0, t )  u 0 e  t  solution physique = partie réelle de la solution

Attention: on ne cherche ici que la solution de régime

Méthode

Changement de variable  (car c’est le seul groupement adimensionnel possible) On cherche une solution de la forme: u  f (  ) e t   t u   f (  ) e j t  2 u   d 2 f j t  x 2 d 2  2 u  1  u mis dans  x 2   t

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d d 2  f 2  f  0

Solution : f ( ) C e j j  e j (  / 2  n 2  )  e j  / 4  1 1   e j 5  / 4   1 2 (1  j )

u ( x , t )  u 0 e  2 (1  j ) e j  t  u 0 e  2   x e j ( t  2   x )

Signe –    u ( x , t )  u 0 e 2 x e j ( t 2  x ) Solution = partie réelle  u ( x , t )  u 0 e 2  x cos (  t  2  x )     décroissante à même fréquence avec x et avec déphasage

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Signe +

x u ( x , t )  u 0 e 2  cos (  t  2  x )  amplitude croissante avec x

 solution à rejeter

Exemple

Pénétration dans le sol des fluctuations • journalière • annuelle de température superficielle du sol

Exemple avec coefficient de diffusivité thermique: 0.40 10 -6 m²/s (typique d’un sol sablo-argileux avec 10% d’humidité)

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Fluctuation journalière 2  T 2 T  24 * 3600 s

Atténuation à 5 %  u  2  x  0  2  x  3 

Fluctuation annuelle

 a

Atténuation à 5 %

 x  e  . u 0  x  6.0 m

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 3

.

 0.31 m

 e

Déphasage   cos (  t  2   x )  cos     ( t  2 x  )        ang e e p asage:  2 temps de déphasage:  2 

pour le point d’atténuation à 5% :

2 2 soit environ une demi-période

Solution en domaine fini 1D par séparation des variables

Problème 1-D défini entre x=0 et x=L

•Par exemple un barreau isolé sur son pourtour (voir Fig.)

CI: t  0 : u ( x ,0)  f ( x )

        CL: x 0 et L : k   u x 0 0 , k  u x 0 NB : il n’y a ici ni flux entrant, ni flux sortant. C’est donc un système fermé !

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Objet du problème :  système tout à fait isolé  comment évolue le profil de température ?

Anticipation : la température finale sera uniforme:

l t i  m  u ( x , t )  u 0  1 L  0 L f ( x ) dx

2 u  1  u  x 2   t

u ( x , t ) X ( x ) T ( t )

X X //  1 T T /   l 2 Tendance ex onentielle décroissante  si ne né atif T ( t ) C e  l 2 t

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Équation en x: X //  l 2 X  0

X ( x )  A cos ( l x )  B sin ( l x ) X / (0)  0  B  0 X / ( L )  0   A l sin(l L )  0 A , l  0 et l L  n  , n  N 

X n ( x )  A n cos (l n x ) , l n  n L , n  N 

Cas particulier  = 0 X //  0 X  B 0 x  A 0  B 0  0 et A 0  0 Superposition des solutions propres: u n ( x , t )  A n cos (l n x ) e  l 2 n t 0 , 0

 A    A l x e  l 2 u ( x , t ) 0 n 1 n cos ( n ) n t

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 CI: u ( x ,0)  A 0   A n cos ( l n x )  f ( x ) n  1 C’est un développement en série de Fourier: A n   0 L f ( x ) cos ( n L x ) dx  0 L cos 2 ( n  L x ) dx  2 L  0 ( x ) cos ( n L x ) dx A 0  1 L  0 L f ( x ) dx

La solution représente:

’           

 

 

vers l’état de régime (qui est ici l’état de repos)  solution de régime (SR) SR: A 0  u x t ST: n   1 n ( , ) li t m  S  T  0

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