Cours-FI-II

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Chapitre 2Processus aleatoires discrets2.1 IntroductionLa notion de processus aleatoire est l’une des notions les plus fructueuses de la theoriede probabilites. Ces modeles apparaissent des que l’on etudie des phenomenes evoluantaleatoirement au l du temps : dynamiques de populations en biologie, ou de particuleselementaires en physique, processus de ruine dans des jeux de hasard, evolution de lesd’attentes dans des reseaux de communication, etc.Nous avons dej a rencontre de tels phenomenes dans les sections precedentes. En e et, touteexperience aleatoire formee d’une succession d’epreuves elementaires, peut s’interpreter commeun processus aleatoire. Ainsi, les lancers de pieces de monnaie, ou encore les selections de boulesdans une urne, peuvent s’interpreter sequentiellement, comme une succession d’experienceselementaires se deroulant dans le temps. Le resultat de telles experiences s’exprime comme unevenement elementaire dans un espace produitn+1! = (! ; : : :; ! )2 = E : : : E = E0 n n | {z }(n+1) termesou ! represente le resultat de l’experience initiale, et chaque composante ! re ete le resultat0 pde la p-ieme epreuve. Dans le jeu de pile ou face, ces aleas ! 2 E = f0; 1g representent lepresultat du p-ieme lancer; ! = 0, si le resultat est pile, et ! = 1, si le resultat est face.p pNous etudierons dans ce chapitre les di erents modes de realisation d’un processus aleatoire.La ...

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Chapitre 2

Processus aleatoires discrets

2.1 Introduction La notion de processus aleatoire est l’une des notions les plus fructueuses de la theorie de probabilites. Ces modeles apparaissent des que l’on etudie des phenomenes evoluant aleatoirementauldutemps:dynamiquesdepopulationsenbiologie,oudeparticules elementaires en physique, processus de ruine dans des jeux de hasard, evolution de les d’attentesdansdesreseauxdecommunication,etc. Nousavonsdejarencontredetelsphenomenesdanslessectionsprecedentes.Eneet,toute experience aleatoire formee d’une succession d’epreuves elementaires, peut s’interpreter comme un processus aleatoire. Ainsi, les lancers de pieces de monnaie, ou encore les selections de boules dansuneurne,peuvents’interpretersequentiellement,commeunesuccessiond’experiences elementaires se deroulant dans le temps. Le resultat de telles experiences s’exprime comme un evenement elementaire dans un espace produit ω= (ω 0 , . . . , ω n )∈ n =E. { . .E } =E n+1 (n+1)   termes ouω 0 represente le resultat de l’experience initiale, et chaque composanteω p  le resultatre ete de lap-ieme epreuve. Dans le jeu de pile ou face, ces aleasω p ∈E={0,1}tleesenetnrper resultat dup ;-ieme lancerω p = 0, si le resultat est pile, etω p = 1, si le resultat est face. Nous etudierons dans ce chapitre les di erents modes de realisation d’un processus aleatoire. La premiere section ore un expose sur les interpretations de processus en terme d’arbres d’epreuves. Ces modeles graphiques permettent de visualiser la realisation d’un processus a chaque etape de son evolution. Nous examinerons separement les cas ou les transitions elementaires du processus dependent ou non du point de depart. La seconde section concerne l’etude de l’information portee par un processus aleatoire au cours de son evolution. Dans un premier temps, nous examinerons en detail deux types de realisations de marches aleatoires sur la droite reelle. Cette exemple nous permettra de visualisergraphiquementl’informationdecriteparl’evolutionduprocessus.Parlasuite,nous examinerons les notions plus generales d’evenements cylindriques, et de ltrations d’algebres sur des espaces d’aleas. Ces modeles ensemblistes nous permettront de decrire de facon 47

48  EATOIRES  DISCRETS PROCESSUS ALCHAPITRE 2. generale et abstraite des evolutions d’environnements aleatoires complexes. Dans le cadre desmathematiquesnancieres,cesenvironnementsaleatoirescorrespondentadesevolutions deprixd’actions,desstrategiesdenancementsdeportefeuillesd’agents,desvariationsde tauxd’interˆetsd’empruntsoudeplacement,desevolutionsdeconjonctureseconomiques ougeopolitiquesnationales,ouinternationales.Danscecontexte,cesltrationscroissantes d’algebrescorrespondentauxinformationspercuesparunobservateurdumarchenancier,et des conjonctures internationales. La troisieme partie de ce chapitre concerne les decompositions canoniques de processus aleatoires sur la base d’une ltration croissante d’algebres evenementielles. Les decompositions presentees dans cette section re  etent les tendances locales, previsibles ou non, d’un processus aleatoire donne, par rapport aux informations recues au cours du temps. Les quatrieme et cinquieme sections sont consacrees a l’etude des martingales. Ces processus representent en quelque sorte des processus aleatoires imprevisibles par rapport a une sequence d’observationsdonnee.Lapremierepartieoreunexposesynthetiquesurlesprincipales proprietes de ces processus. Dans la seconde partie, nous examinerons les applications de la theorie des martingales a la theorie des jeux aleatoires. Nous presenterons notamment des strategies de jeux equitables et aleatoires permettant de gagner la mise sur des evenements tresprobables.Enn,nouspresenteronsunetechniquedesimulationd’unemartingalea conditionsterminalesxees.Cetalgorithmeserautilisedanslechapitresuivant,concernant les mathematiques nanci eres, pour simuler une option, et decrire le portefeuille de couverture associe.

2.2 Arbres et chaˆnes de Markov L’evolution temporelle de ces phenomenes aleatoires peut s’interpreter comme l’exploration aleatoire d’un arbre deterministe representant toutes les realisations possibles de l’experience en question.



Laconstructionnaturelledecetarbreconsisteatracerpasapas,etdepuisun noeudoriginel,touslescheminsconduisantauxresultatsenvisageables(deuxadeux incompatibles avec les premieres epreuves). Chaque evenement elementaire ω= (ω 0 , . . . , ω n )∈ n =E n correspondainsiaunchemin,ouaunebranche,allantdunoeudinitialal’un des noeuds terminaux. Il est important de noter que l’instantneloˆrelicieuoj bien particulier d’horizon terminal du processus. En d’autres termes, le parametre ncorrespond a la hauteur de l’arbre des epreuves. On aecte ensuite a chacun des chemins elementaires, leurs probabilites de realisation respectives. La probabilite de suivre un chemin donne au cours de l’experience, n’est autre que le produit des probabilites elementaires le long du chemin. La probabilite d’un evenement aleatoire forme de plusieurs chemins est la somme des probabilites des chemins.



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ˆ 2.2. ARBRES ET CHAINES DE MARKOV 2.2.1 Feuillages de Bernoulli Les processus aleatoires les plus elementaires sont formes densuccessions d’evenements elementairesindependants,etavaleursdansdesespacesreduitsadeuxpoints.Cesphenomenes aleatoiresbiphasespeuventeˆtrerepresentesmathematiquementpardessequencesdev.a. independantes k , de lois de Bernoulli

 k (u) = k 1 1 (u) + (1  k ) 1 0 (u) avec k ∈[0,1],et 0kn

Le couple de symboles{0,1}peut representer tout type de phenomene biophysiques, tel le jeu dupileouface,l’ouvertureoulafermetured’uninterrupteurelectrique,oul’echecoulesucces d’une experience. Ces processus s’expriment de facon naturelle sur l’espace produit

n ={ω:ω= (ω 0 , . . . , ω n )∈E n+1 }=E n+1 avecE={0,1}

muni de la mesure de probabilite produit

n P n (ω 0 , . . . , ω n ) = Y ( k 1 1 (ω k ) + (1    k ) 1 0 (ω k )) k=0 Plus precisement, si l’on considere les v.a. canoniques

( 0 , . . . ,  n ) :ω∈ n 7→ω= (ω 0 , . . . , ω n )∈E n+1

onverieaisementquepourtoutesequence(u 0 , . . . , u n )∈E n+1 , on a

( 0 , . . . ,  n )  1 ({(u 0 , . . . , u n )}) ={(u 0 , . . . , u n )}

(2.1)

Parconsequent,etpardenitiondesloisdeprobabilitesdev.a.,lasequence( 0 , . . . ,  n ) est distribuees selon la loi trajectorielle denie par la mesure produit

P ( 0 ,..., n ) (u 0 , . . . , u n ) =P n (( 0 , . . . ,  n )  1 ({(u 0 , . . . , u n )})) n =P n (u 0 , . . . , u n ) = Y ( k 1 1 (u k ) + (1    k ) 1 0 (u k )) k=0 La gure suivante represente l’arbre des epreuves associe a ce modele de Bernoulli lorsquen= 2.

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CHAPITRE 2. PROCESSUS AL  EATOIRES  DISCRETS 0 w^1=(0,0,0) 1−a2 0 1−a1 a2 1  w^2=(0,0,1) 0 0 w^3=(0,1,0) 1−a2 a1 1−a0 1 1 a2 w^4=(0,1,1) 1−a2 w^5=(1,0,0)  n=2 0 Omega_n={w^i : i=1,...,8} 1−a2 a0 a2  1  w^6=(1,0,1) 1 1−a2  w^7=(1,1,0) a1 0 1 a2 1 w^8=(1,1,1)

k= k=1 k=2 Fig.2.1 – Arbre de Bernoulli

Exemple 2.2.1ndpoesrrneautanisseccusednoLamesureedrpbobalitieocnenceeripxes aleatoireshomogenesentemps,etavaleursdans{0,1}stdo,etuiodprerusemalrapeenn 1 P n (ω) =P n ((ω 1 , . . . , ω n )) =p ω 1 (1   p) 1   ω . . .p ω n (1   p) 1   ω n avecp∈[0,1] Danscecontexte,l’evenementA k roercadtnpsnoakcucs..e(ies P i n =1 ω i =k), est forme des cheminsω= (ω 1 , . . . , ω n )∈ {0,1} n contenant exactementkfois1ucahcedetilibabendL.orpa sescheminsestdonneepar P n (ω) =P n ((ω 1 , . . . , ω n )) =p P i n =1 ω i (1   p) n   P k i=1 ω i =p k (1   p) n   k Comme il y aC k n chemins possibles contenant exactementk efois le chir1babiaproedelitl, l’evenementenquestionestdonneeparlaloibinomiale P(A k ) =C k n p k (1   p) n   k 2.2.2 Feuillages chaotiques Commenousl’avonssoulignedansl’introduction,unesuitedev.a.independantes ( 0 ,  1 , . . . ,  n ) arbitraires, de lois respectives 0 , . . . ,  n sur un espace niE, peu s’interpreter comme un processusaleatoireevoluantchaotiquementdansE. Ce processus elementaire prend a chaque

ˆ 2.2. ARBRES ET CHAINES DE MARKOV51 instantkraeualevun,elaeotri k , independante des etats passes de l’evolution 0 , . . . ,  k   1 . La sequence de v.a. de Bernoulli examinee precedemment est un cas particulier de tels processus.Lestrajectoiresaleatoiresdecemodeleprobabilistepeuventanouveauˆetredecrites canoniquement sur l’espace produit

n ={ω:ω= (ω 0 , . . . , ω n )∈E n+1 }=E n+1

munidelamesuredeprobabilite

P n (ω 0 , . . . , ω n ) = 0 (ω 0 ). . .  n (ω n )

Parunraisonnementanalogueaceluiutilisedanslecadredesv.a.deBernoulli,onveriesans trop de peine que les variables aleatoires trajectorielles canoniques

( 0 , . . . ,  n ) :ω∈ n =E n+1 7→ω∈E n+1

sont distribuees selon la mesure produit

P ( 0 ,..., n ) (u 0 , . . . , u n ) = 0 (u 0 ).  n (u n ) . .

Ce processus elementaire, lorsqueE={0,1,2}arbreentparl’repeneseu,pertsitammeuqsretehc des epreuves decrit dans la gure suivante. Compte tenu de l’explosion combinatoire, pour simplierlapresentation,certainesbranchesonteteomises,etseuleunepartiedestransitions sontspeciees.