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Cours - Limite d'une suite

22 pages
rrrrrr7rrrrrrrrrrc Christophe Bertault - MPSILimite d’une suite1 Introduction à l’étude des suites réelles1.1 Premières définitionsDéfinition (Suite réelle) On appelle suite réelle toute application u deN dansR.Dans la plupart des cas, la suite u est notée (u ) ou (u ) . On dit que u est son terme général.n n∈N n n>0 n Explication• C’est avec cette définition que nous allons travailler tout au long de ce chapitre. Cela dit, pour tout N ∈ N fixé, nousappellerons encore suites réelles les applications de JN,∞J dansR. Une telle suite u sera notée (u ) ou (u ) ;n n∈JN,∞J n n>Nson premier terme est u , et non u .N 0N• Avec cette définition, l’ensemble des suites réelles estR .• Dans ce chapitre, nous représenterons graphiquement les suites de plusieurs façons. Voici par exemple comment on peutreprésenter la suite (u ) dont les premiers termes sont :n n∈N1 n→ u(n) =unu = , u =−1, u = 2,0 1 22u u u u3 7 0 6 4u = 4, u = 4, u =− ,3 4 5 u u u u u5 1 ց ↓ 8 2 321 0u = 2, u = , u = 1...6 7 84Définition (Vocabulaire usuel sur les suites) Soit (u ) une suite réelle.n n∈N• On dit que (u ) est constante s’il existe λ∈R tel que : ∀n∈N, u =λ.n n∈N nOn dit que (u ) est stationnaire s’il existe λ∈R et N ∈N tels que : ∀n∈N, n>N =⇒ u =λ.n n∈N n • On dit que (u ) est majorée si u est une partie majorée deR, i.e. si : ∃ M ∈R/ ∀n∈N, u 6 M. Unn n∈N n nn∈Ntel réel M est appelé un majorant de (u ) ; on dit aussi que (u ) est majorée par M ou que M majore (u ...
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Limite d’une suite
1 Introduction à l’étude des suites réelles
1.1 Premières définitions
Définition (Suite réelle) On appelle suite réelle toute application u deN dansR.
Dans la plupart des cas, la suite u est notée (u ) ou (u ) . On dit que u est son terme général.n n∈N n n>0 n
Explication
• C’est avec cette définition que nous allons travailler tout au long de ce chapitre. Cela dit, pour tout N ∈ N fixé, nous
appellerons encore suites réelles les applications de JN,∞J dansR. Une telle suite u sera notée (u ) ou (u ) ;n n∈JN,∞J n n>N
son premier terme est u , et non u .N 0
N• Avec cette définition, l’ensemble des suites réelles estR .
• Dans ce chapitre, nous représenterons graphiquement les suites de plusieurs façons. Voici par exemple comment on peut
représenter la suite (u ) dont les premiers termes sont :n n∈N
1 n→ u(n) =unu = , u =−1, u = 2,0 1 2
2
u u u u3 7 0 6 4
u = 4, u = 4, u =− ,3 4 5 u u u u u5 1 ց ↓ 8 2 32
1 0u = 2, u = , u = 1...6 7 8
4
Définition (Vocabulaire usuel sur les suites) Soit (u ) une suite réelle.n n∈N
• On dit que (u ) est constante s’il existe λ∈R tel que : ∀n∈N, u =λ.n n∈N n
On dit que (u ) est stationnaire s’il existe λ∈R et N ∈N tels que : ∀n∈N, n>N =⇒ u =λ.n n∈N n • On dit que (u ) est majorée si u est une partie majorée deR, i.e. si : ∃ M ∈R/ ∀n∈N, u 6 M. Unn n∈N n n
n∈N
tel réel M est appelé un majorant de (u ) ; on dit aussi que (u ) est majorée par M ou que M majore (u ) .n n∈N n n∈N n n∈N
• On dit que (u ) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée; cela revient à dire qu’il existe K∈R tel que :n n∈N +
∀n∈N, |u |6 K.n
• On dit que (u ) est positive (resp. négative) si elle est minorée (resp. majorée) par 0, i.e. si :n n∈N
∀n∈N, u > 0 (resp. u 6 0).n n
• On dit que (u ) est croissante (resp. strictement croissante) si : ∀n∈N, u 6u (resp. u <u ).n n∈N n n+1 n n+1
On dit que (un) est décroissante (resp. strictement décroissante) si : ∀n∈N, un> un+1 (resp. un >un+1).n∈N
Onditque(u ) est monotone(resp. strictement monotone)sielleestcroissanteoudécroissante(resp.strictementcroissanten n∈N
ou strictement décroissante).
$$$ Attention !
• Une suite (u ) ne possède jamais un seul majorant : par exemple, si M en est un majorant, tout réel plus grand quen n∈N
M en est aussi un. Raisonnement analogue pour les minorants.
• « Minorée » n’est pas le contraire de « majorée », « négative » n’est pas le contraire de « positive », « décroissante »
nn’est pas le contraire de « croissante ». Par exemple, la suite de terme général (−1) n’est ni croissante ni décroissante, ni
positive ni négative.
En pratique Pour montrer qu’une suite (u ) est monotone, deux techniques classiques :n n∈N
• étudier le signe de u −u ;n+1 n
un+1• si u > 0 pour tout n∈N, étudier la position par rapport à 1 de .n
un √
nn n
Quand la définition de (u ) ne fait intervenir que des produits et des quotients — exemple : u = — on préféreran n∈N n ne
souvent la seconde méthode, mais il faut alors bien vérifier le signe de u .n
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Définition (Suite extraite) Soit (u ) une suite. On appelle suite extraite de (u ) toute suite réelle (v ) pourn n∈N n n∈N n n∈N
laquelle il existe une application ϕ strictement croissante deN dansN telle que pour tout n∈N : v =u .n ϕ(n)
Explication L’application ϕ strictement croissante de N dans N n’est jamais qu’une suite strictement croissante
d’entiers naturels; ces entiers naturels vont nous servir d’indices. La suite extraite (v ) est alors simplement la liste desn n∈N
termes de la suite (un) qui sont associés aux indices définis par ϕ.n∈N
Par exemple, si ϕ = (2,4,5,8,24,59,...), la suite (v ) est la suiten n∈N
(u ,u ,u ,u ,u ,u ,...); ceci signifie que :2 4 5 8 24 59 u u6 4
u u u u u u u5 1 7 0 8 2 3
v =u , v =u , v =u , v =u , v =u , v = u ...0 2 1 4 2 5 3 8 4 24 5 59
v v v v2 3 0 1
Exemple √ √
n• Soit (u ) la suite réelle de terme général u = n. Les suites 2 +4n et (n) sont deux suites extraites den n∈N n n∈N
n∈N
n 2(u ) , associées respectivement aux applications n→ 2 +4n et n→ n strictement croissantes deN dansN.n n∈N
n• Les suites constantes égales à 1 et−1 respectivement sont deux suites extraites de la suite réelle de terme général (−1) .
$$$ Attention ! La remarque suivante est vraiment importante. Si (u ) est une suite, on travaille le plus souventn n∈N
avec les suites extraites (u ) et (u ) . Pour tout n ∈ N, le terme qui vient après u dans la suite (u ) est2n n∈N 2n+1 n∈N 2n 2n n∈N
u =u et non pas u ; de même, le terme qui vient après u dans la suite (u ) est u =u et2n+2 2n+1 2n+1 2n+1 n∈N 2n+32(n+1) 2(n+1)+1
non pas u .2n+2
Définition (Opérations sur les suites) Soient (u ) et (v ) deux suites et λ∈R. On appelle :n n∈N n n∈N
• somme de (u ) et (v ) la suite de terme général u +v ;n n∈N n n∈N n n
• produit de (u ) et (v ) la suite de terme général u v ;n n∈N n n∈N n n
• multiplication de (u ) par λ la suite de terme général λu .n n∈N n
Ce qui nous intéresse dans une suite, en général, ce ne sont pas ses premiers termes mais plutôt son comportement « à
l’infini ». Ainsi, si tous les termes d’une suite sont majorés par 1 sauf les 30 premiers, on a bien envie de considérer que les 30
premiers termes ne comptent pas et que grosso modo la suite est majorée par 1. On dira dans ce cas que la suite en question est
majorée par 1 à partir d’un certain rang.
On procède de même avec les autres propriétés usuelles des suites. Ainsi, on l’a vu, une suite (u ) est positive si :n n∈N
∀n ∈ N, u > 0; on dira qu’elle est positive à partir d’un certain rang s’il existe un rang N partir duquel u > 0,n n
autrement dit s’il existe un rang N tel que : ∀n∈N, n> N =⇒ u > 0.n
n10.(−1)
Exemple La suite (u ) ∗ de terme général u = +1 est positive à partir d’un certain rang.n nn∈N n
10∗En effet Pour tout n∈N , u > 1− . Par conséquent u > 0 pour n> 10.n n
n
1.2 Premiers exemples
1.2.1 Suites définies explicitement
Certaines suites (u ) sont définies explicitement par une expression de la forme « u = f(n) », où f est une fonction.n n∈N n
Une telle définition présente un énorme avantage : pour calculer u , pas besoin de calculer u ,u ,u ,...,u ; on peut1000 0 1 2 999
directement calculer u =f(1000).1000
En général, la monotonie d’une suite (u ) définie explicitement au moyen d’une fonction f se lit aisément sur f : si f estn n∈N
croissante, (u ) l’est aussi; si f est strictement croissante, (u ) aussi; si f est majorée, (u ) l’est aussi; etc.n n∈N n n∈N n n∈N
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y =f(x) (u )n n∈N
f est bornée... ...donc (u ) est bornée.n n∈N
1.2.2 Suites définies par une relation de récurrence « u = f(u ) »
n+1 n
D’autres suites (u ) sont définies par récurrence par la donnée de u et d’une relation de la forme « u =f(u ) », où fn n∈N 0 n+1 n
est une fonction. Une telle définition présente un énorme inconvénient : pour calculer u , on est obligé de calculer les uns1000
après les autres u ,u ,u ,...,u ,u ; impossible d’obtenir directement u .0 1 2 999 1000 1000
$$$ Attention ! Si (u ) est une suite récurrente définie au moyen d’une fonction f, la monotonie de f et celle den n∈N
(u ) n’ontengénéral aucunrapport :f peutêtredécroissante et (u ) riendutout,f croissante et (u ) décroissante...n n∈N n n∈N n n∈N
y =x y =x
y =f(x)
y =f(x)
... ...u u u u u u u u u u3 2 1 0 1 3 5 4 2 0
f est croissante, mais (u ) décroissante. f est décroissante et (u ) n’est pas monotone.n n∈N n n∈N
Toute donnée d’une fonction f et d’un terme initial u ne conduit pas à la définition correcte d’une suite (u ) telle que0 n n∈N√
u = f(u ). Par exemple, il n’existe pas de suite (u ) définie par u = 0 et pour tout n ∈ N : u = 1 + 1−u .n+1 n n n∈N 0 n+1 n
Pour le comprendre, essayez de calculer les premiers termes de cette suite.
Définition (Partie stable par une application) Soient E un ensemble, f : E −→ E une application et D une partie de
E. On dit que D est stable par f si f(D)⊆ D, i.e. si : ∀x∈D, f(x)∈D.
Théorème (Existence de suites définies par récurrence) Soient D une partie de R et f une fonction définie sur D à
valeurs dansR telle que f(D)⊆D — bref : D est stable par f.
Pour tout δ∈D, il existe une et une seule suite (u ) telle que u =δ et telle que pour tout n∈N : u =f(u ).n n∈N 0 n+1 n
Cette suite est à valeurs dans D.
Démonstration Fixons δ∈D.
• Existence : Puisque f(D) ⊆ D, on peut composer f avec elle-même autant de fois qu’on veut. Posons
n nalors u =δ et, pour tout n∈N, u =f (u ) — où f =f◦f◦f...◦f (n fois). On a bien :0 n 0
n n+1∀n∈N, f(u ) =f f (u ) =f (u ) =u comme voulu.n 0 0 n+1
En outre, u ∈D pour tout n∈N.n
′ ′• Unicité : Soient (u ) et (u ) deux suites telles que u = u = δ et telles que u = f(u ) etn n∈N n∈N 0 n+1 nn 0
′ ′ ′u =f(u ) pour tout n∈N. Montrons par récurrence que u =u pour tout n∈N.n+1 n n n
′1) Initialisation : Par hypothèse, u =u =δ.0 0
′ ′ ′2) Hérédité : Soit n∈N. On suppose que u =u . Alors u =f(u ) =f(u ) =u . n n+1 nn n n+1
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¯2 Limite d’une suite réelle dans R
2.1 Définition
La notion de voisinage, issue d’une partie des mathématiques appelée « topologie », n’est pas explicitement au programme
de MPSI. Il paraît cependant utile d’y recourir si l’on veut bien comprendre ce que c’est qu’une limite. Je ne vous en donne
ci-dessous qu’une définition simplifiée adaptée à nos besoins.
¯Définition (Voisinage dans R) Soit ℓ∈R. On appelle voisinage de ℓ (dans R) :
• si ℓ∈R, tout intervalle de la forme ]ℓ−ε,ℓ+ε[ avec ε> 0;
• si ℓ =∞, tout intervalle de la forme ]A,∞[ avec A∈R;
• si ℓ =−∞, tout intervalle de la forme ]−∞,A[ avec A∈R.
Explication Un voisinage de ℓ contient tous les réels à proximité immédiate de ℓ.
ε
A Aℓ−∞ ∞ −∞ ∞ −∞ ∞
Voisinage de−∞ Voisinage de ℓ∈R Voisinage de∞
′ ′¯Théorème (On peut distinguer deux points par leurs voisinages) Soient ℓ,ℓ ∈R. Si ℓ = ℓ , il existe un voisinage V
′ ′ ′de ℓ et un voisinage V de ℓ pour lesquelsV∩V =∅.
Démonstration Traitons seulement deux cas caractéristiques : les autres se traitent de la même manière.
′ε ε ′ ℓ −ℓ′ ′ ′ ′ ′ℓ ℓ • Cas où ℓ,ℓ ∈R avec ℓ<ℓ : Posons ε = , puisV = ]ℓ−ε,ℓ+ε[ etV = ]ℓ −ε,ℓ +ε[.−∞ ∞ 3
′ ′ ′ ′AlorsV est un voisinage de ℓ,V un voisinage de ℓ et il est facile de vérifier queV∩V =∅.V V
1 ′ ′ ′ℓ ℓ • Cas où ℓ∈R et ℓ =∞ : PosonsV = ]ℓ−1,ℓ+1[ etV = ]ℓ+2,∞[. AlorsV est un voisinage∞−∞ ′ ′ ′de ℓ,V un voisinage de ℓ et il est facile de vérifier queV∩V =∅. ′V V
La définition suivante est l’objet central de ce chapitre.
¯Définition (Limite d’une suite) Soient (u ) une suite et ℓ∈R.n n∈N
• (Définition générale) On dit que (u ) admet ℓ pour limite si tout voisinage de ℓ contient tous les u à partirn n∈N n
d’un certain rang; en d’autres termes, si : pour tout voisinage V de ℓ, u appartient àV à partir d’un certain rang.n
• (Cas d’une limite finie) On suppose que ℓ∈R. On dit que (u ) admet ℓ pour limite si :n n∈N
∀ε> 0, ∃ N ∈N/ ∀n∈N, n>N =⇒ |u −ℓ|<ε,n
ou bien de manière plus concise, si : ∀ε> 0, ∃ N ∈N/ ∀n>N, |u −ℓ|<ε.n
• (Cas de la limite ∞) On dit que (u ) admet ∞ pour limite si :n n∈N
∀A> 0, ∃ N ∈N/ ∀n∈N, n>N =⇒ u >A,n
ou bien de manière plus concise, si : ∀ε> 0, ∃ N ∈N/ ∀n>N, u >A.n
• (Cas de la limite −∞) On dit que (u ) admet −∞ pour limite si :n n∈N
∀A< 0, ∃ N ∈N/ ∀n∈N, n>N =⇒ u <A,n
ou bien de manière plus concise, si : ∀ε> 0, ∃ N ∈N/ ∀n>N, u <A.n
$$$ Attention ! Dans ces définitions, les quantificateurs∀ et∃ ne doivent être permutés sous aucun prétexte.
Par contre on peut montrer que les inégalités strictes « |u −ℓ| < ε », « u > A » et « u < A » peuvent être remplacées parn n n
des inégalités larges. Si vous préférez les inégalités larges, n’hésitez pas.
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Explication La définition ci-dessus de la limite d’une suite, un peu obscure au premier abord, satisfait en réalité
l’intuitionquenousavonsdecettenotion;c’estcequenousallonsmontreràprésent.Donnons-nousdoncunréelℓ—raisonnement
analogue si ℓ =±∞ — et une suite (u ) de limite ℓ au sens de la définition précédente.n n∈N
Tous les un
à partir de N1• Partons d’un voisinage V = ]ℓ−ε ,ℓ +ε [ de ℓ. Par définition de la limite, il existe un V1 1 1 1 ℓ
rang N à partir duquel tous les u sont piégés dansV , c’est-à-dire entre ℓ−ε et ℓ+ε .1 n 1 1 1
De la sorte, nous n’avons aucun renseignement sur les u pour n<N mais nous sommesn 1 ε1
certains que les u pour n>N ne s’éloignent pas trop de ℓ. Rappelons qu’intuitivementn 1
Tous les unn tend vers∞, donc il n’est pas gênant de n’avoir un renseignement que pour les termes
à partir de N2de la suite au-delà du rang N .1 V2 ℓ
Mais ce travail avec V suffit-il à nous convaincre que ℓ est limite de (u ) ? Eh non,1 n n∈N
ε2car il se pourrait bien que les u pour n>N se promènent librement dansV sans pourn 1 1
autant s’approcher de ℓ. Tous les un
à partir de N3• Essayons donc de piéger lesu plus près encore deℓ. Donnons-nous pour cela un voisinagen V3 ℓV = ]ℓ−ε ,ℓ +ε [ de ℓ inclus dans V . Par définition de la limite, il existe un rang N2 2 2 1 2
à partir duquel tous les u sont piégés dans V entre ℓ−ε et ℓ +ε . De la sorte, nousn 2 2 2 ε3
n’avons aucun renseignement sur les u pour n < N mais nous avons réussi à piéger lesn 2 ..u pour n>N autour de ℓ mieux que nous ne l’avions fait avec le voisinage V . .n 2 1
Mais cela suffit-il à nous convaincre que ℓ est limite de (u ) ? Toujours pas à vrai dire, car il se pourrait bien que lesn n∈N
u pour n> N se promènent librement dansV sans pour autant s’approcher de ℓ.n 2 2
• On peut répéter ce raisonnement avec des voisinages de plus en plus petits, aussi petits qu’on le veut puisque la définition
de la limite nous dit « pour tout voisinage... ». Notez combien ce « pour tout » de la définition estessentiel! C’est lui
qui nous garantit qu’on peut rendre les u aussi proches qu’on le souhaite de leur limite ℓ à condition de travailler avecn
des valeurs suffisamment grandes de n.
En pratique Vous n’êtes pas obligés d’apprendrela définition générale de la limite car elle n’est pas au programme.
Je m’en servirai cependant dans ce cours pour deux raisons : 1) je pense qu’elle vous aidera à comprendre les définitions
particulières; 2) elle évite, dans les démonstrations du cours, qu’on distingue toujours trois cas selon la valeur de la limite.
Enrevanche,ilestimpensablequevousneconnaissiez passurleboutdesdoigtslestrois définitionsparticulières quiendécoulent.
Théorème (Unicité de la limite) Soit (u ) une suite. Si (u ) possède une limite, celle-ci est unique, notée lim u .n n∈N n n∈N n
n→∞
¯Pour tout ℓ∈R, la relation lim u =ℓ se note souvent u −→ ℓ.n n
n→∞ n→∞
′ ′¯ ¯Démonstration On suppose que (u ) admet pour limites ℓ∈R et ℓ ∈R. Il s’agit de montrer que ℓ =ℓ .n n∈N
′ ′ ′Raisonnons par l’absurde en supposant que ℓ = ℓ . Il existe alors un voisinage V de ℓ et un voisinage V de ℓ tels
′ ′queV∩V =∅. Or, par hypothèse sur (u ) , il existe un rang N à partir duquel u ∈V et un rang N à partirn n∈N nn o
′ ′ ′duquelu ∈V . Posons n = max N,N . Alors pour tout n> n , u ∈V∩V =∅ — contradiction. Le résultatn 0 0 n
s’ensuit.
Tous les u Tous les un n
à partir de n à partir de n0 0
′ℓ ℓ
′V V
Folie!
Explication Il y a une idée dans la démonstration précédente que nous allons retrouver tout au long de ce chapitre.
Supposonsqu’unecertaine propriétéP1 soit vraie àpartir d’unrangN1,qu’unecertainepropriétéP2 soit vraie àpartird’unrangn o
N ... et enfin qu’une certaine propriétéP soit vraie à partir d’un rang N . Alors à partir du rang n = max N ,N ,...,N ,2 k k 0 1 2 k
les propriétésP ,P ,...,P sont toutes vraies à la fois.1 2 k
Le résultat suivant est une conséquence immédiate de la définition de la limite.

Théorème Soient (u ) une suite et ℓ∈R. lim u =ℓ ⇐⇒ lim u −ℓ = 0.n n∈N n n
n→∞ n→∞
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Exemple lim = 0.
2n→∞ n +2 n