Cours - Limite d'une suite

rrrrrr7rrrrrrrrrrc Christophe Bertault - MPSILimite d’une suite1 Introduction à l’étude des suites réelles1.1 Premières définitionsDéfinition (Suite réelle) On appelle suite réelle toute application u deN dansR.Dans la plupart des cas, la suite u est notée (u ) ou (u ) . On dit que u est son terme général.n n∈N n n>0 n Explication• C’est avec cette définition que nous allons travailler tout au long de ce chapitre. Cela dit, pour tout N ∈ N fixé, nousappellerons encore suites réelles les applications de JN,∞J dansR. Une telle suite u sera notée (u ) ou (u ) ;n n∈JN,∞J n n>Nson premier terme est u , et non u .N 0N• Avec cette définition, l’ensemble des suites réelles estR .• Dans ce chapitre, nous représenterons graphiquement les suites de plusieurs façons. Voici par exemple comment on peutreprésenter la suite (u ) dont les premiers termes sont :n n∈N1 n→ u(n) =unu = , u =−1, u = 2,0 1 22u u u u3 7 0 6 4u = 4, u = 4, u =− ,3 4 5 u u u u u5 1 ց ↓ 8 2 321 0u = 2, u = , u = 1...6 7 84Définition (Vocabulaire usuel sur les suites) Soit (u ) une suite réelle.n n∈N• On dit que (u ) est constante s’il existe λ∈R tel que : ∀n∈N, u =λ.n n∈N nOn dit que (u ) est stationnaire s’il existe λ∈R et N ∈N tels que : ∀n∈N, n>N =⇒ u =λ.n n∈N n • On dit que (u ) est majorée si u est une partie majorée deR, i.e. si : ∃ M ∈R/ ∀n∈N, u 6 M. Unn n∈N n nn∈Ntel réel M est appelé un majorant de (u ) ; on dit aussi que (u ) est majorée par M ou que M majore (u ...