Cours sur les espaces de probabilité

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Chapter 3Exemples fondamentaux et retour surles espaces de probabilit´eSommaire3.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.1 Equiprobabilit´e sur un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.2 Probabilit´e sur un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.3 Probabilit´e sur un ensemble d´enombrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.4 Probabilit´es uniformes ”en continu” : probabilit´es g´eom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . 273.1.5 Le jeu de pile ou face infini, ou sch´ema de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Propri´et´es suppl´ementaires d’une probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3 Notion de presque-suˆr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4 Lemme de Borel-Cantelli et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Objectifs :• Donner diff´erents exemples d’espaces de probabilit´e et d’exp´eriences al´eatoires : univers fini, d´enombrable ouinfini non d´enombrable ; cas ´equiprobable ou non.• Compl´eter notre ´eventail de propri´et´es d’une probabilit´e en ajoutant les propri´et´es qui font intervenir une suiteinfinie d’´ev´enements.Mots-cl´es :• probabilit´es uniformes, probabilit´es a` densit´e, sch´ema de Bernoulli.• limite ...

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Chapter

3

Exemplesfondamentauxet lesespacesdeprobabilite´

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Sommaire 3.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1Equiprobabilit´esurunensemblefini.............................. 3.1.2Probabilit´esurunensemblefini................................. 3.1.3Probabilite´surunensembled´enombrable........................... 3.1.4Probabilit´esuniformes”encontinu”:probabilite´sg´eome´triques............... 3.1.5Lejeudepileoufaceinfini,ousche´madeBernoulli..................... 3.2Propri´et´essuppl´ementairesd’uneprobabilite´............................. 3.3Notiondepresquesˆur.......................................... 3.4 Lemme de BorelCantelli et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Objectifs : •lboebmaruersfiuniv´enoni,de´lasecn:seriotad’et´eitieerp´exelpme’dstnerexesobprilabacspdeesnerdiff´eDon infininond´enombrable;case´quiprobableounon. •intefontsquiet´erp´ipsortneluoatajen´eitilabobprenu’dse´te´irportoere´evtniadlpeCompl´eterniuseetnevrnuri infinied’´eve´nements.

Motscle´s: •to´beasbuinliiftorrombeasb,ipliris´t,ecpse´`sdanenoerliulemh´eBad. •ts.emenv´end’´eonomenotiletim •mitiepltetusilimenemenv´´ed’nfei.st

Techniquesdede´monstration: •ri’daptrmalinufe´ev´led’entsenemqnocleuq.seuConstructiond’uneimafdellve´’ene´ntmeissdinjo`ats •.illetanCeloreBedmmleitUontisaliprrospdeetnedtesnocsgrevs´esieereti´sd´earitnoud´dmenotsesdanslaivergent •age´niseD:ilesesutlit´

1 ∀p∈[0,1], p(1−p)≤. 4 ∀x >−1,ln(1 +x)≤x.

∀x∈R,exp(x)≥1 +x.

Onaintroduit,danslechapitrepre´ce´dent,lanotiond’espacedeprobabilite´pourtraiterlesexp´eriences al´eatoires.Unespacedeprobabilite´estuntriplet(Ω,F,Previnuis,saplembseuseal´peo,u`)nuneeΩtsF une tribu de parties de Ω, etPuenrpbobalitisu´erFnodsdrencsnaahce.Nsaouonllelesdxemptnese´erdeffiiprt telsespacesdeprobabilit´e.Quandl’universconside´re´estinfini,ildevientaussiinte´ressantdetraiterdessuites d’e´v´enements.Nousallonsdoncrajouter`anotre´eventaildeproprie´te´sdesproprie´te´sfaisantintervenirdessuites d’e´ve´nements.

3.1

3.1.1

Exemples

Equiprobabilit´esurunensemblefini

D´efinition3.1SoitΩun univers fini. On prend pour tribu l’ensembleP(Ω)de toutes les parties deΩ. L’´equiprobabilite´,ouprobabilit´euniforme,surΩest l’applicationPdeP(Ω)dans[0,1]qutreienap`iuaAde Ωassocie : CardA P(A) =. Card Ω Onremarquequetouslese´ve´nements´el´ementairesontmeˆmeprobabilit´e1/Card Ω, ce qui justifie le terme d’´equiprobabilite´.Danscecadre,lecalculdelaprobabilit´ed’une´ve´nementseram`ene`adesprobl`emesdecombi natoireetded´enombrement.Voirlepremierchapitre.

3.1.2

Probabilite´surunensemblefini

Soit Ω ={ω 0 , ω 1 , ..., ω n }un ensemble fini (n∈N). On prend pour tribu l’ensembleP(Ω) de toutes les parties de Ω. SoitPnupeubilitrroibbaduerlΩa,tm´uensiPpose(Ω). On

∀i∈ {0, . . . , n}

Cettefamilleve´rifielesdeuxproprie´te´ssuivantes: 1.∀i∈ {0, . . . , n}p i ≥0. n X 2.p i = 1. i=0 X X On a alorsP(A) =p i =P({ω}). ω i ∈A ω∈A

p i =P({ω i }).

Re´ciproquement,sionsedonneunefamilledenombresr´eels(p i ) 0≤i≤n t´´e1ees,ot2eunpsiafltnarpseirposattis d´efinirsurΩ,munidelatribuP´eilitobabnepru,)Ω(Pen posant, pour toutA∈ P(Ω), X P(A) =p i . ω i ∈A

♣Exercice :el’applierifierqu´VacitnoPniis´dfieaitnofieinpeor’dnulit´babie.sitaseinneibtiafomxisaled´ladees i3 4 1 2 5 6 BExemple :ue´dniaib:e´s p i 1/3 1/6 1/12 1/12 1/4p 6 D´eterminerp 6 pour que lesp i claCrelurpalbaboitilqu´eerelsu´ede´nfisiestnuneprobabilit´e.ud´dtltaptiaseior.

♣Exercice :(Jeu de pile ou face) Soitn≥1 un entier naturel. On lancenrsufoisitqubeomenipe`ecedustiue pile(P)avecprobabilit´ep∈]0,e1t´liurfa[ets1abibpcora)evecF(−pveni’u.Ltecruoplerutansrxeetre´pcneitsee n Ω ={P, F},

ensemble desnleursdanspuelsta`av{P, F}. On prend comme tribu l’ensemble des parties de Ω. 1.Quellehypoth`esenaturellepeutonfairesurlesre´sultatsdesdiff´erentslancers? 2.Calculerlaprobabilit´ed’obtenirkpiles.

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3.1.3

Probabilite´surunensembled´enombrable

Soit Ω ={ω 0 , ω 1 , ..., ω n , ...}={ω n , n∈N}enumesnirubuotrnepdnOrpble.mbra´enobledFl’ensembleP(Ω) des parties de Ω. SoitPbiunuorpeibab´tiluresmuΩ,denitrlaF. On pose

∀i∈N

Cettefamillev´erifielesdeuxpropri´ete´ssuivantes: 1.∀i∈Np i ≥0. +∞ X 2.p i = 1. i=0 X X On a alorsP(A) =p i =P({ω}). ω i ∈A ω∈A

p i =P({ω i }).

R´eciproquement,sionsedonneunefamille(p i ) i∈N umin2,ons1etet´epri´ru,Ωinsr´dfieeptusaorpseltnasiafsit de la tribuFobabnepr´eu,ilitPen posant, pour toutA∈ F, X P(A) =p i . ω i ∈A

♣Exercice :fierquel’applicatnoiVe´irPbobaenrpdnu’tioi´efineladmesdaxio.´eitiltisaaisfietbesnlsniae´dieinfi Onvientdoncdege´ne´raliserlecaspr´ec´edentd’unesommefinieaucasd’unes´erieinfinie.

∗k−1 BExemple :Soitp∈]0,tourtouP.e´xfi[1k∈N, on posep k =p(1−p) =P({k}aleuimafell).V´onsqerifi ∗ dere´els(p k ) k∈N tiibnenupeorabiblit´esurdfin´eN. ∗ ∗ 1.∀k∈Np k ≥0. 2.Rappelsurlase´riege´ometrique: Soits∈Rets6= 1. n X n+1 s−1 k s=. s−1 k=0 n Las´eriedetermege´ne´ral(s) n∈N converge si et seulement si|s|<1 et dans ce cas :

+∞ X 1 k s=. 1−s k=0

Reprenons notre calcul. Comme 0<1−p <1, +∞+∞+∞ X X X p k−1l p k =p(1−p) =p(1−p= 1) = . 1−(1−p) k=1k=1l=0 ∗ Donc la famille (p k ) k∈N nupeorabibil´tseurd´efinitbienNrap,mexe,elpclacnp.Otaeursloe´edlaprulerilitobab ∗ ∗ l’ensembledesnombrespairsnonnuls,note´2N: +∞+∞+∞+∞ X X X X p(1−p) 1−p ∗2k−1 2k−1 2l P(2N) =p 2k =p(1−p) =p(1−p) [(1−p) ] =p(1−p) [(1−p) ] = =. 2 1−(1−p) 2−p k=1k=1k=1l=0

♣Exercice :On prend Ω =Net pour tribu l’ensemblePOn fixe(Ω) de toutes les parties de Ω. c∈]0,1[ et on pose, pourk∈N, k c P({k}) =A c . k De´terminerlenombreA c pour que (Ω,P(Ω),Plaprulercalce,etil´st)abibepneposrciaoudtelembsene’lede´tilibabo des nombres impairs. Indication.raud´evePenseeled1+n(snetire´ppolnemex).

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