cours sur les espaces de probabilités

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• Publié par: Fyon
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Chapter 4 Retour sur les espaces de probabilit´es Sommaire 4.1 Propri´et´es suppl´ementaires d’une probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2 Notion de presque-suˆr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.3 Lemme de Borel-Cantelli et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Objectifs: Compl´eter notre ´eventail de propri´et´es d’une probabilit´e en ajoutant les propri´et´es qui font intervenir une suite infinie d’´ev´enements. Mots-cl´es: • limite monotone d’´ev´enements. • limite sup et limite inf d´ev´enements. Outils: • Propri´et´es de limites monotones. • Lemme de Borel-Cantelli. n√n• Formule de Stirling: n!∼ 2πn. e Techniques de d´emonstration: • Construction d’une famille d’´ev´enements disjoints a` partir d’une famille d´ev´enements quelconques. •Utilisationdespropri´et´esdess´eriesconvergentesetdivergentesdanslad´emonstrationdulemmedeBorel-Cantelli. • Des in´egalit´es utiles: 1∀p∈ [0,1], p(1−p)≤ . 4 ∀x >−1, ln(1+x)≤ x. ∀x∈R, exp(x)−1≥ x.6 On a vu dans le chapitre pr´ec´edent de nombreux exemples ou` le cadre d’un univers fini n’est pas suffisant. Quand l’univers consid´er´e est infini, il devient int´eressant de traiter des suites d’´ev´enements. Nous allons donc rajouter `a notre ´eventail de propri´et´es des propri´et´es faisant intervenir des suites d’´ev´enements. 4.1 Propri´et´es suppl´ementaires d’une probabilit´e Soit (Ω,F,P) un espace de probabilit´e. Rappelons l’axiome ii) de la d´efinition d’une probabilit´e (σ-additivit´e): si les (A ) sont des ´el´ements deF deux-`a-deux disjoints, alorsi i∈N ![ X P A = P(A ).i i i∈N i∈N Proposition 4.1 i) si les (A ) sont des ´el´ements de F , alorsi i∈N ![ X P A ≤ P(A ).i i i∈N i∈N ii) (limite monotone croissante) si les (A ) forment une suite croissante d’´el´ements de F, c’est-a`-dire s’ilsi i∈N v´erifient ∀i∈N,A ⊂ A , alorsi i+1 ![ P A = lim P(A ).i i n→+∞ i∈N iii) (limite monotone d´ecroissante) si les (A ) forment une suite d´ecroissante d’´el´ements deF, c’est-a`-dire s’ilsi i∈N v´erifient ∀i∈N,A ⊂ A , alorsi+1 i !\ P A = lim P(A ).i i n→+∞ i∈N D´emonstration: Remarquons tout d’abord que si les (A ) sont dansF, alors les propri´et´es de lai i∈NS T tribuassurentque A et A sontdansF aussi: ilest doncl´egitime de regarderla probabilit´ei ii∈N i∈N de ces deux ´ev´enements. On commence par construire `a partir de la famille (A ) une famille (B ) de la fac¸on suivante:i i∈N i i∈N  i−1[ B = A et∀i≥ 1, B = A\ A .0 0 i i j j=0 On v´erifie alors que 1. ∀i∈N, B ⊂ A , et doncP(B )≤P(A ),i i i i 2. i = j⇒ B ∩B =∅,i jS S S Sn n 3. ∀n∈N, B = A et B = A .i i i ii=0 i=0 i∈N i∈N ♣ Exercice: V´erifier les points 1 et 2. Montrons le point 3. Pour n = 0, par d´efinition A = B . Soit n≥ 1. Montrons, par double inclusion, que0 0 n n[ [ B = Ai i i=0 i=0Sn• Soit ω ∈ B : il existe donc j ∈ {0,....n} tel que ω ∈ B . Mais par la propri´et´e 1, B ⊂ A ,i j j ji=0S S Sn n n donc ω∈ A ⊂ A . Donc B ⊂ A .j i i ii=0 i=0 i=0Sn• R´eciproquement, soit ω ∈ A : il existe donc j ∈ {0,....n} tel que ω ∈ A . Notons j le plusi j 0i=0 29Sj −10petit indicej telque ω∈ A . Si j = 0,alorsω∈ A = B , et sij ≥ 1, alorsω∈ A etω∈/ A ,j 0 0 0 0 j j0 j=0S S Sn n n ce qui implique que ω∈ B . Dans les deux cas, ω∈ B ⊂ B . Donc A ⊂ B .j j i i i0 0 i=0 i=0 i=0 • L’´egalit´e souhait´ee est donc montr´ee par double inclusion.S S Montrons maintenant que B = A par double inclusion.i ii∈N i∈NS S S S• Soit ω∈ B : il existe donc j∈N tel que ω∈ B ⊂ A ⊂ A . Donc B ⊂ A .i j j i i ii∈N i∈N i∈N i∈NS S Sj j• R´eciproquement, soit ω∈ A : il existe donc j∈N tel que ω∈ A ⊂ A . Mais A =i j i ii∈N i=0 i=0S S S S Sj j B et donc ω∈ B ⊂ B . Donc A ⊂ B .i i i i ii=0 i=0 i∈N i∈N i∈N • L’´egalit´e souhait´ee est donc montr´ee par double inclusion. Revenons a` la d´emonstration des propri´et´es de la proposition:

S S P P i) P A = P B = P(B ) ≤ P(A ). La seconde ´egalit´e d´ecoule de l’axiomei i i ii∈N i∈N i∈N i∈N ii) des probabilit´es et du fait que les (B ) sont deux-a`-deux disjoints, la troisi`eme du fait que pouri i∈N tout i∈N, B ⊂ A .i iS
S
P Pn ii) P A = P B = P(B ) = lim P(B ). La seconde in´egalit´e d´ecoulei i i n→+∞ ii∈N i∈N i∈N i=1 de l’axiome ii) des probabilit´es et du fait que les (B ) sont deux-`a-deux disjoints. En utilisanti i∈N P Sn n encore une fois le fait que les (B ) sont deux-`a-deux disjoints, P(B ) = P( B ) =i 0≤i≤n i ii=1 i=1Sn P( A ) =P(A ) par croissance de la suite (A ) . Donci n i i∈Ni=1 ![ P A = lim P(A ).i n n→+∞ i∈N iii)♣ Exercice: Faire la preuve. Indication. Utiliser le point pr´ec´edent et passer aux compl´ementaires.  ♣ Exercice: Sur Ω = [0,1] muni d’une certaine tribu F qui contient tous les intervalles ferm´es, on consid`ere la probabilit´eP telle que ∀0≤ a < b≤ 1 P([a,b]) = b−a. (On admet ici qu’une telle probabilit´e existe et est unique: c’est la probabilit´e uniforme sur le segment [0,1]). 1. Soit 0≤ a < b≤ 1. Montrer que ]a,b[ peut s’´ecrire comme une union croissante d’intervalles ouverts. 2. En d´eduire que ]a,b[∈F et calculerP(]a,b[). 3. Soit a∈ [0,1]. Montrer que{a}∈F et calculerP({a}). 4.2 Notion de presque-suˆr Nous avonsvu, dans l’exemple de la suite infinie de lancersde pile ouface, que l’´ev´enement”pile finit parsortir”est de probabilit´e 1, alors qu’il est strictement plus petit que l’ensemble des tirages possibles (le tirage ”FFFFFF....” n’est pas dans cet ´ev´enement). Ce cas n’apparaissait pas dans le cas des univers finis ou d´enombrables, mais il devient possible quand l’univers est infini non d´enombrable. Ceci l´egitime l’introduction des d´efinitions suivantes: D´efinition 4.2 Soit (Ω,F,P) un espace de probabilit´e. Soit A∈F. 1. si P(A) = 1, on dit que A est un ´ev´enement plein, ou presque-suˆr. 2. si P(A) = 0, on dit que A est un ´ev´enement n´egligeable. B Exemple: On peut donc reformuler la propri´et´e du jeu de pile ou face de la fac¸on suivante: presque-suˆrement, pile finit par sortir. ♣ Exercice: qu’est-ce que le compl´ementaire d’un ´ev´enement n´egligeable? d’un ´ev´enement certain? ♣Exercice: 1. Montrerqu’uneuniond´enombrabled’´ev´enementsn´egligeablesestencoreun´ev´enementn´egligeable. 2. Montrer qu’une intersection d´enombrable d’´ev´enements certains est encore un ´ev´enement certain. 304.3 Lemme de Borel-Cantelli et applications D´efinition 4.3 Soit Ω un ensemble, et (A ) des parties de Ω.i i∈N i) on appelle limite sup des (A ) l’ensemblei i∈N \ [ lim A = An∈N n i n∈Ni≥n ii) on appelle limite inf des (A ) l’ensemblei i∈N [ \ lim A = An in∈N n∈Ni≥n ♣ Exercice: c c0) Calculer (lim A ) et (lim A ) . i) Montrer que si les (A ) sont des ´el´ements d’une tribu F, alorsn∈N n n i i∈Nn∈N A et lim A sont deux ´el´ements deF.lim n n∈N nn∈N ii) Montrer que ω∈ lim A si et seulement si ω appartient a` un nombre infini de A .n∈N n n iii) Montrer que ω∈ lim A si et seulement si ω appartient a` tous les A `a partir d’un certain rang.n nn∈N iv) On consid`ere une suite infinie de lancers de pile ou face, et on note A l’´ev´enement ”obtenir pile au i-`emei lancer”. Expliciter dans ce cas lim A et lim A .n∈N n nn∈N Th´eor`eme 4.4 (lemme de Borel-Cantelli) Soit (Ω,F,P) un espace de probabilit´e, et (A ) une famillen n∈N d’´ev´enements.X 1. Si P(A ) < +∞, alors P(lim A ) = 0.n n∈N n n∈NX 1. Si P(A ) = +∞ et si les (A ) sont mutuellement ind´ependants, alors P(lim ) = 1.n n n∈N n∈N n∈N \[ [ D´emonstration: 1. Pour tout I ∈N, on a lim A = A ⊂ A pour tout I ∈N. On an∈N n j j i∈Nj≥i j≥I donc:  [ X P(lim A ) ≤ P A ≤ P(A ).n∈N n j j j≥I j≥I Ce dernier terme tend vers 0 quand I tend vers +∞ car c’est le reste d’une s´erie convergente. Donc P(lim A ) = 0.n∈N n 2. Des in´egalit´es tr`es utiles: Lemme 4.5 ∀x >−1, ln(1+x)≤ x ∀x∈R, exp(x)−1≥ x. ♣ Exercice: Etudier ces fonctions et d´emontrer ces in´egalit´es.T S c cPour i ∈ N, on pose B = A et on voit que (limsupA ) = B . Pour i ∈ N fix´e,i i ijj≥i i∈N c´evaluonsP(B ). L’ind´ependance des (A ) implique l’ind´ependance des (A ) . Pour k > i on ai n n∈N n∈NnTk cB ⊂ A et donc:i j=i j   k k k\ Y Y c c P(B )≤P A = P(A ) = (1−P(A )).i jj j j=i j=i j=i Enpassantaulogarithme(qu’onprolongeenposantln(0) =−∞),onobtient,enutilisantlacroissance 31de la fonction logarithme et le lemme: k kX X lnP(B )≤ ln(1−P(A ))≤− P(A ).i j j j=i j=i X P Pk +∞ Mais la s´erie P(A ) vaut +∞, ce qui implique aussi que lim P(A ) = P(A ) =n k→+∞ j jj=i j=i n∈N +∞. On en d´eduit donc, en passant a` la limite quand k tend vers +∞, que lnP(B ) =−∞, et doncP(B ) = 0.i i ScComme (lim A ) = B est une union d´enombrable d’ensembles n´egligeables, il est encoren∈N n ii∈N n´egligeable, et donc, en passant au compl´ementaire, lim A est de probabilit´e 1. n∈N n Applications Apparition d’un pile dans un sch´ema de Bernoulli On consid`ere une suite infinie de lancers de pile ou face ind´ependants; on suppose qu’`a chaque lancer on a une probabilit´e p∈]0,1[ d’obtenir pile. Montrer qu’avec probabilit´e 1, pile va apparaitre dans la suite de lancers. On note A l’´ev´enement ”pile apparait au n-i`eme lancer”. On sait par les hypoth`eses que les (A ) ∗ sontn n n∈N ind´ependants et queP(A ) = p > 0 pour tout n.n Premi`ere m´ethode On note A l’´ev´en´ement ”pile apparait au moins une fois”. Alors \ cA = An n≥1 ! N N\ Y c c c N∗et donc, pour tout N ∈ N , P(A ) ≤ P A = P(A ) = (1− p) , qui tend vers 0 quand N tend versn n n=1 n=1 cl’infini. DoncP(A ) = 0 etP(A) = 1. Deuxi`eme m´ethode On va appliquer Borel-Cantelli. Rappelons que si ω ∈ lim A alors pour ω, une infinit´en∈N n d’´ev´enements A est r´ealis´ee, autrement dit, pile est sorti une infinit´e de fois dans la suite de lancers. La s´erie den terme g´en´eralP(A ) est de somme infinie, les (A ) ∗ sont ind´ependants donc, par Borel-Cantelli:n n n∈N P(lim A ) = 1.n∈N n Donc avec probabilit´e 1, pile sort une infinit´e de fois dans la suite de lancers, ce qui est encore plus fort que le r´esultat pr´ec´edent. Apparition d’un mot dans un sch´ema de Bernoulli On reprend le cadre pr´ec´edent, mais cette fois-ci on se fixe un mot