ANNEXE B : Iso-contrainte et Iso-déformation théoriques Expression de ε pour les différents trajets correspondant une iso contrainte σ , dans un L Lcas référence de comportement homogène isotrope. Représentations CLF. nSoit une loi puissance σ = σ + k(ε ) représentant le comportement macroscopique eq 0 eqd’un matériau homogène. On peut écrire, en admettant la porosité assez petite pour que tr(ε) ≈0, pour les différents types de sollicitation dans le plan d’une tôle qui couvrent le domaine des CLF: 1⎡ ⎤L 2 ⎢ ⎥ε = 2 / 3 ε 2(1+a +a ) avec ε = ε a = Dε , a∈(-1,1) eq L ⎢ ⎥⎢ ⎥− (1+a)⎣ ⎦ 1⎡ ⎤2 ⎢ ⎥σ = σ 1−b +b avec σ = σ b , eq L L ⎢ ⎥⎢ ⎥0⎣ ⎦b∈(-1,1) 2 −b⎡ ⎤⎢ ⎥et Dσ = (σ /3) 2b −1 . L ⎢ ⎥⎢ ⎥− (b +1)⎣ ⎦ L représente la direction de laminage et correspond simultanément à la déformation maximale et à la contrainte maximale. Ceci permet d’écrire : 1/n 1/n2⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ 1−b+b −σσ −σ 3/ 2 L 3/ 2eq 0⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ε = = L ⎜ k ⎟ 2 ⎜ k ⎟ 21+a +a 1+a +a⎝ ⎠⎝ ⎠211 Annexe B Il vient, en se plaçant à une même valeur de σ quel que soit le trajet (iso σ ) : L L 1/n2( 1−b +b −C) ε (σ ) ≡ E(a,b,C,n) = , L L21+a +a1/n2( 1−b +b )et si C = (σ /σ ) est « assez petit » : ε (σ ) ≅ E (a,b,n) = 0 L L L 021+a +a . L’expérience donne, pour les alliages considérés : 1 < 1/n < 2. En conséquence, ces iso-contraintes maximales sont encadrées par : 22 21−b +b −C ( 1−b +b −C)1 1 2 2 ε (σ ) ≡ E (a,b,C) = et ε ...
ANNEXE B : Isocontrainte et Isodéformation théoriques Expression deεLpour les différents trajets correspondant une iso contrainteσL, dans un cas référence de comportement homogène isotrope. Représentations CLF. n Soit une loi puissanceσeq =σ0k( +εeq) représentantle comportement macroscopique d’un matériau homogène. On peut écrire, en admettant la porosité assez petite pour que tr(ε)≈dans le plan d’une tôle qui couvrent le0, pour les différents types de sollicitation domaine des CLF: ⎡1⎤ L2⎢ ⎥ εeq= 2/ 3ε2(1+a+a) avecε=εLa= Dε, a∈(1,1) ⎢ ⎥ ⎢−(1+a)⎥ ⎣ ⎦ ⎡1⎤ 2⎢ ⎥ σeq=σL1−b+b avecσ=σLb,⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎣ ⎦ b∈(1,1) ⎡2−b⎤ ⎢ ⎥ et Dσ= (σL/3)2b−1. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −(b+1) ⎣ ⎦ L représente la direction de laminage et correspond simultanément à la déformation maximale et à la contrainte maximale. Ceci permet d’écrire : 1/n1/ n ⎛ ⎞⎛ ⎞ 2 σeq−σ3 / 2σL1−b+b−σ03 / 2 ⎜0⎟⎜ ⎟ εL= =⎜k⎟⎜k⎟2 2 1+a+a1+a+a ⎝ ⎠⎝ ⎠
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Annexe B
Il vient, en se plaçant à une même valeur deσLquel que soit le trajet(isoσL) : 1 /n 2 (1−b+b−C) εL(σL)≡E(a,b,C,n) =, 2 1+a+a 1 /n 2 (1−b+b) et si C = (σ0/σL) est «assez petit » :εL(σL)≅E0(a,b,n) = 2 1+a+a . L’expérience donne, pour les alliages considérés :1 < 1/n < 2. En conséquence, ces isocontraintes maximales sont encadrées par : 2 2 2 1 11−b+b−C2 2(1−b+b−C) εL(σL)≡ E(a,b,C) =etεL(σL)≡ E(a,b,C) =, 2 2 1+a+a1+a+a et, lorsque que C est assez petit pour être négligé (ce n’est généralement pas le cas) : 22 1 11−b+b2 21−b+b εL(σL)≅E (a,b,0) == etεL(σL)≅(a,b,0) = E. 22 1+a+a1+a+a Selon le tableau des valeurs de a et b pour les sollicitations «fondamentales »du 1 2 diagramme CLF, on obtient les valeurs correspondantes des 2 fonctions Eet E. 1 2 a bE E 2 Cis 11 3 C( 3C) 2 Tr 0.50 2(1C)/ 32(1C) /3 2 Tr Pl0≈ 0.5 ( 3/2)C ((3 /2)C) 2 Tr B1 1 (1C)/ 3(1C) /3
212
Pour chaqueεLassociéedéformation transverse, on a ensuite laεT= aεL, ce qui permet de représenter ces isocontours dans un diagrammeεT,εL. 1 2 La figure cidessus reporte les fonctionsE (a,b,C) et E (a,b,C)pour C=0 et C=1/2, avec la forme elliptique de l’isodeformation (ou isocontrainte) equivalente, tandis que la droite horizontale pointillée indique une isodeformation maximale, et les droites pointillées obliques, ensemble, une isodeformation normale, en valeur absolue|εN|= εN=εL+εT. 1 2 Ces fonctions E , Ene représentent donc qu’une forme type pour les iso contraintes maximalesεL(σL).
1 , 5
1
0 , 5
0 1 , 5 1 0 , 50 0, 51 1, 5
0 , 5
1
n = 1 ,C = 0 n = 0 , 5 ,C = 0 n = 1 ,C = 1 /2 n = 0 , 5 ,C = 1 /2
1 , 5 On constate qu’à mesure queσLaugmente, donc que le terme C diminue, la forme des iso contraintes maximales s’éloigne du forme «en V», càd d’une déformation critiqueεLplus faible en tractionplane. Toutefois, les valeurs usuelles deσ0plutot telle que à sont rupture, on atteindune valeur de C de l’ordre de 1/2, guère inférieure. Si la loi puissance ici utilisée est supposée représenter le comportement local réel du matériau en l’absence de dommage, on observera, en présence d’un dommage une loi modifiée reliant contraintes et déformations apparentes,σetε.
213
Annexe B
Dans un cas simple de dommage scalaire D, on a doncσ=(1D)σetε=ε/(1D). Mais dans la représentation cidessus, d’iso contrainte maximale vrai, seule la déformation est à modifier, et l’on s’attend à oberver la loi : εL(σL) =εL(σL)/(1D) dans laquelle D sera une fonction du trajet de sollicitation, c’est à dire de a et/oude b. Ceci illustre que selon l’expression du dommage en fonction des contrainte ou des déformations dansle matériau, les différentes formes d’isocontours cidessus seront modifiées de manières différentes. Si le dommage est une fonction de l’une des contraintes ou déformations cidessus considérées, les isocontours relatifs à cette même contrainte ou déformation resteront de forme inchangée, mais les autres changeront de forme.
α(σ −σ) expeq c−1 Par exemple, si D est seulement fonction deσeqexemple D, par≈ ,on α(σ −σ) expeq c aura : α(σ −σ) εL(σL) =εL(σL)expeq c1 /n 2 (1−b+b−C) α(σ1−b+b2−σ) ≡expcL 2 1+a+a Le terme correctif est, du fait de b, plus faible selon la traction plane que selon à la fois la traction simple et la traction biaxiale. La présence du dommage, et la dépendance de celuici, plutôt en contrainte équivalente, devrait conduire à des isocontraintes maximales se creusant en V, par une plus faible déformation apparenteεL ,en traction plane que selon les autres trajets.