palcoux-these

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• Publié par: Naphug
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• Langue: English

Extrait

Universite de la Mediterranee, Aix-Marseille 2
U.F.R. de Mathmatiques
These
pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITE AIX-MARSEILLE 2
Specialite: Mathematiques
presentee et soutenue publiquement par
Sebastien Palcoux
le 9 decembre 2009
Titre:
Serie discrete unitaire, caracteres,
fusion de Connes et sous-facteurs
pour l’algebre Neveu-Schwarz
Directeurs de these: Antony Wassermann
Rapporteurs: Olivier Mathieu
Teodor Banica
Jury: Pierre Julg
Christophe Pittet
Michael Puschnigg
Vincent Secherre
Georges Skandalis
Antony WassermannRemerciements:
Je tiens a remercier mon directeur de these Antony Wassermann, pour
m’avoir initie aux algebres d’operateurs et a la theorie conforme des champs.
Il m’a montre en particulier a quel point les champs primaires pouvaient jouer
un r^ole fondamental, voire indispensable, dans le domaine. Je le remercie
egalement pour avoir reussi a focaliser mon attention, qui au depart etait tres
disperse. Je le remercie en n pour m’avoir ouvert au milieu professionnel des
algebres d’operateurs, en particuler gr^ ace a de nombreux voyages pour des
colloques. Ces annees de these m’ont montre ce qu’est le travail concret du
mathematicien.Contents
1 Introduction en fran cais 7
1.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Aper cu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Resultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 L’algebre Neveu-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Superalgebres d’operateurs vertex . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 g-superalgebre d’operateur vertex et modules . . . . . . . . . . 15
1.7 Le cadre de Goddard-Kent-Olive . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8 La formule du determinant de Kac . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9 Le critere d’unitarite de Friedan-Qiu-Shenker . . . . . . . . . . 18
1.10 L’argument de Wassermann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.11 Algebres de von Neumann locales . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.12 Champs primaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.13 Fusion de Connes et sous-facteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Introduction in english 25
2.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 The Neveu-Schwarz algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5 Vertex operators superalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 Vertex g-superalgebras and modules . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7 Goddard-Kent-Olive framework . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.8 Kac determinant formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.9 Friedan-Qiu-Shenker unitarity criterion . . . . . . . . . . . . 36
2.10 Wassermann’s argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.11 Local von Neumann algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.12 Primary elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.13 Connes fusion and subfactors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
I Unitary series and characters for Vir 431=2
3 The Neveu-Schwarz algebra 44
3.1 Witt superalgebras and representations . . . . . . . . . . . . . 443.2 Investigation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Unitary highest weight representations . . . . . . . . . . . . . 48
4 Vertex operators superalgebras 50
4.1 Investigation on fermion algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 General framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3 System of generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4 Application to fermion algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5 Vertex operator superalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5 Vertex g-superalgebras and modules 65
5.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1.1 Simple Lie algebra g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1.2 Loop algebra Lg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2 g-vertex operator superalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2.1 g-fermion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2.2 g-boson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2.3 g-supersymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3 Vertex modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3.1 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3.2 Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6 Goddard-Kent-Olive framework 76
6.1 Characters of Lg-modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.2 Coset construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2.1 General framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.3 Character of the multiplicity space . . . . . . . . . . . . . . . 81
7 Kac determinant formula 83
7.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.2 Singulars vectors and characters . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.3 Proof of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8 Friedan-Qiu-Shenker unitarity criterion 87
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.2 Proof of proposition 8.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.3 Proof of theorem 8.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9 Wassermann’s argument 95
II Connes fusion and subfactors for Vir 971=2
10 Local von Neumann algebras 98
10.1 Recall on von Neumann algebras . . . . . . . . . . . . . . . . 98
10.2 Z -graded von Neumann algebras . . . . . . . . . . . . . . . . 992
10.3 Global analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
10.4 De nition of local von Neumann algebras . . . . . . . . . . . . 103
10.5 Real and complex fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.6 Properties of local algebras deducable by devissage from loop
superalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
10.7 Local algebras and fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
11 Primary elds 115
11.1 Primary elds for LSU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
11.2 elds for Vir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1201=2
11.3 Constructible primary elds and braiding for Vir . . . . . . 1231=2
11.4 Application to irreducibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
12 Connes fusion and subfactors 131
12.1 Recall on subfactors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
12.2 Bimodules and Connes fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
12.3 Connes fusion with H on Vir . . . . . . . . . . . . . . . . 133 1=2
12.4 Connes fusion with H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
12.5 The fusion ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
12.6 The ring and index of subfactor. . . . . . . . . . . . . . 1381 Introduction en fran cais
1.1 Contexte
Dans les annees 90, V. Jones and A. Wassermann ont commence un pro-
gramme dont le but est de comprendre la theorie (unitaire) conforme des
champs du point de vue des algebres d’operateurs (voir [46], [98]). Dans
[99], Wassermann de nit et calcule la fusion de Connes des representations
d’energie positive irreductibles du groupe de lacets LSU(n) a niveau xe
‘, en utilisant des champs primaires, et avec des consequences en theorie
des sous-facteurs. Dans [87] V. Toledano Laredo prouve les regles de fu-
sion de Connes pour LSpin(2n) en utilisant des methodes similaires. Main-
1tenant, soit Di ( S ) le groupe de di eomorphisme du cercle, son algebre
de Lie est l’algebre de Witt W engendree par d (n2 Z), avec [d ;d ] =n m n
(m n)d . Elle admet une unique extension centrale appelee algebre de Vi-m+n
rasoro Vir. Ses representations unitaires d’energie positive et les formules de
caracteres peuvent ^etre deduites de la construction ‘coset’ de Goddard-Kent-
Olive (GKO), a partir de la theorie de LSU(2) et des formules de Kac-Weyl
(voir [100], [35]). Dans [66], T. Loke utilise la construction ‘coset’ pour cal-
culer la fusion de Connes pour Vir. Maintenant, l’algebre de Witt admet
deux extensions supersymetriques W et W avec des extensions centrales0 1=2
appelees algebres Ramond et Neveu-Schwarz, notees Vir et Vir . Dans ce0 1=2
travail, on donne une preuve complete de la classi cation des representations
unitaires d’energie positive de Vir , on calcule leur caracteres et la fusion1=2
de Connes, avec des consequences en theorie des sous-facteurs. On pourrait
faire de m^eme avec l’algebre Ramond Vir , en utilisant des modules vertex0
tordus sur l’algebre d’operateurs vertex de l’algebre Neveu-Schwarz Vir ,1=2
comme R. W. Verrill [96] et Wassermann [102] l’ont fait pour les groupes de
lacets tordus.
71.2 Aper cu
Tout d’abord, on regarde les representations unitaires projectives d’energie
positive de W . La projectivite donne des 2-cocycles, donnant a W , une1=2 1=2
unique extension centrale Vir . Ces representations sont completement1=2
reductibles et les irreductibles sont donnees par les representations unitaires
de plus haut poids de Vir : des modules de Verma V (c;h) quotientes par1=2
les ’vecteurs nuls’, dans le cas