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• Publié par: Nesog
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• Langue: Français

Extrait

´Universite Aix-Marseille II
Facult´e des Sciences de Luminy
Th`ese
pour obtenir le grade de
Docteur de l’Universit´e Aix-Marseille II
Sp´ecialit´e : Math´ematiques
soutenue le 26 novembre 2001 par
Sylvie RUETTE
Chaos en dynamique topologique,
en particulier sur l’intervalle,
mesures d’entropie maximale
apr`es avis des rapporteurs :
M. Eli GLASNER
M. Bernard SCHMITT
devant le jury compos´e de :
M. Fran¸cois BLANCHARD, directeur de th`ese
M. J´erˆome BUZZI
M. Albert FATHI
M. Bernard HOST
M.d SCHMITT
M. Serge TROUBETZKOYRemerciements
Jesouhaiteavanttoutexprimermareconnaissance`aFran¸coisBlanchard.J’aibeaucoupappr´eci´e
d’avoir une tr`es grande libert´e quant aux choix de mes th`emes de recherche et a` l’organisation de
mon travail. Je tiens a` le remercier pour sa confiance sans faille et sa disponibilit´e, ainsi que pour
les orientations scientifiques qu’il m’a sugg´er´ees. C’est avec un r´eel plaisir que j’ai pr´epar´e ma th`ese
sous sa direction.
Je suis tr`es honor´ee que Bernard Schmitt et Eli Glasner aient accept´e la charge de rapporteur.
Je remercie profond´ement J´erˆome Buzzi et Bernard Host pour leur collaboration et l’int´erˆet
qu’ils ont port´e `a mes travaux, ainsi que pour avoir accept´e de faire partie de mon jury.
Ma reconnaissance va `a Albert Fathi, dont le cours de syst`emes dynamiques m’a incit´e a` faire
une th`ese sur ce sujet, et qui m’a judicieusement orient´ee vers l’IML. Je suis heureuse qu’il soit
membre de mon jury.
Jeremercie´egalementSergeTroubetzkoyquiparticipeacejuryets’estint´eress´e`amestravaux.
J’adresse mes remerciements a` Alejandro Maass pour son accueil a` l’Universidad de Chile et
nos nombreuses discussions.
Je n’oublie pas les membres de l’´equipe DAC, et tout sp´ecialement les th´esards et anciens
th´esards, qui ont contribu´e a` cr´eer une ambiance amicale. Merci en particulier `a Anne, dont
l’exp´erience m’a souvent ´et´e utile, ainsi qu’`a Pascal et Val´erie pour leurs conseils.
J’adresse un clin d’œil chaleureux `a Bill et je le remercie de son aide en informatique. Merci a`
Estelle ainsi qu’`a Emmanuel pour nos fr´equentes soir´ees amicales. Enfin, toute ma gratitude va a`
Bruno pour son soutien et ses encouragements; son amiti´e m’est pr´ecieuse.
34Table des mati`eres
Introduction 9
Le chaos en dynamique topologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Le chaos pour les transformations de l’intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Chaˆınes de Markov et mesures maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Transformations de l’intervalle et mesures maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Plan de la th`ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1 G´en´eralit´es 15
1.1 Syst`emes dynamiques topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Syst`emes des mesur´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Entropie topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2 Formule de Bowen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.3 Entropie m´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.4 Formule de Katok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Mesures invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 D´ecomposition ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2 Principe variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.3 Mesures invariantes et facteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Shifts, sous-shifts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Couples asymptotiques dans les syst`emes d’entropie non nulle 23
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.3 Excellent partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Existence of asymptotic pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1 Construction of an excellent partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2 The invertible case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.3 The non-invertible case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Relatively independent squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2 The ‘construction C’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.3 Application to entropy pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Li-Yorke pairs and instability in negative times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 There are uncountably many asymptotic pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5`6 TABLE DES MATIERES
2.5.1 Conditional measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.2 Application to asymptotic pairs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Chaˆınes de Markov topologiques 39
3.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.1 Graphes et chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.2 Chaˆınes de Markov topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.3 Mesures de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.4 Entropie de Gurevich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Classification des graphes connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.1 Graphes transients, r´ecurrents nuls et r´ecurrents positifs . . . . . . . . . . . . 42
3.2.2 Sous-graphes et surgraphes de mˆeme entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Existence de mesures maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.1 R´ecurrence positive et mesures maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.2 Le crit`ere de Gurevich-Zargaryan et sa r´eciproque . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.3 Entropie locale et mesures maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4 Mesures presque maximales vers l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4 Chaos sur l’intervalle 63
4.1 Notations et propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Transitivit´e et m´elange topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 Sensibilit´e aux condition initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4 Points p´eriodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4.1 Sp´ecification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4.2 Points p´eriodiques et composantes transitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4.3 Le th´eor`eme de Sharkovskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.5 Entropie topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.5.1 Fer a` cheval, turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.5.2 Majoration de l’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.5.3 Minoration globale de l’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.5.4 Entropie uniform´ement positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.5.5 Entropie et chaos au sens de Devaney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.6 Couples de Li-Yorke, ensembles brouill´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.6.1 Chaos au sens de Li-Yorke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.6.2 g´en´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5 Mesures maximales pour les transformations de l’intervalle 99
5.1 Mesures maximales et isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2 Diagramme de Markov associ´e a` une transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2.1 Isomorphisme avec un sous-shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2.2 Diagramme de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.2.3 Exemples de diagrammes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.3 Transformations monotones par morceaux . . . . . . . . . . .