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• Publié par: Nushong
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• Langue: English

Extrait

Universit´e Paris IX Dauphine
THESE
pour l’obtention du titre de
Docteur en math´ematiques
pr´esent´ee et soutenue publiquement
par
C´edric BERNARDIN
Le 17 juin 2004
Diffusion et fluctuations dans des syst`emes conservatifs
JURY
Directeur de th`ese : Stefano Olla
Professeur `a l’Universit´e Paris-Dauphine
Rapporteurs : Jozsef Fritz
Professeur `a l’Universit´e de Technologie et d’Economie de Budapest
Claudio Landim
Directeur de Recherche CNRS, Rouen et Rio de Janeiro
Examinateurs : Francis Comets
Professeur `a l’Universit´e Paris VII
Roberto Fernandez
Professeur `a l’Universit´e de Rouen
Jo¨el L. Lebowitz
Professeur `a l’Universit´e de Rutgers, New Jersey
St´ephane Mischler
Professeur `a l’Universit´e Paris-Dauphine2REMERCIEMENTS
Jetiensenpremierlieu a`remercier grandementetchaleureusementmondirecteurdeth`ese, Stefano
Olla, pour sa disponibilit´e, son ´ecoute et ses conseils avis´es tout au long de l’´elaboration de cette
th`ese.
Je d´esire aussi exprimer toute ma gratitude a` Jozsef Fritz et Claudio Landim pour avoir asssumer
la d´elicate fonction de rapporteur et MM. F. Comets, R. Fernandez, J. L. Lebowitz et S. Mischler
d’avoir accept´e de participer au jury de cette th`ese.
Plusieurs personnes ont port´e un int´erˆet a` mes travaux : une part de ce qui se trouve dans ces
pages leur est indirectement duˆ. Je profite donc de cette occasion pour adresser un grand merci a`
A. Faggionato, T. Bodineau, R. Fernandez, J. Fritz, C. Landim, H. Spohn et H.T. Yau de m’avoir
´eclairer surlescheminsparfoissidifficilesdelarecherche.D’autrepart,ilm’estimpossibled’oublier
l’ambiance chaleureuse dugroupedetravail organis´e par E.Janvresse, T.Bodineau etP. Simondon
ainsi que les s´eminaires du C´er´emade qui m’ont permis d’´elargir mes connaissances.
Je tiens aussi a` remercier tous mes coll`egues du d´epartement de math´ematiques de l’ens Cachan
pour avoir rendu mon ca¨ımanat si agr´eable. J’aimerais aussi exprimer ma reconnaissance envers
mes coll`egues (Christel, Ga¨el et Paul entre autres) d’ici ou d’ailleurs et mes amis pour avoir ´et´e la`,
tout simplement.
Cette page ne serait pas compl`ete si je n’exprimais mes derniers remerciements (the last but not
the least) envers mes parents, ma famille et Delphine.
34RESUME
La th`ese se compose de deux parties distinctes et traite de syst`emes de particules en interac-
tion. Dans la premi`ere partie, nous avons d´evelopp´e les m´ethodes de dualit´e g´en´eralis´ee dans trois
contextes : r´egularit´e d’un coefficient de diffusion, temps d’occupation d’un site dans le processus
d’exclusion et fluctuations dans les dynamiques de Kawasaki. Dans la deuxi`eme partie, nous intro-
duisons un mod`ele de conduction de la chaleur et ´etudions le comportement hydrodynamique du
syst`eme en admettant une conjecture que nous avons pu d´emontrer dans un cas plus simple.
ABSTRACT
This thesis is composed of two independent parts and concerns interacting particle systems. In
the first part, we developped the genearlized duality methods in three contexts : regularity of a
diffusion coefficient, occupation time of a site for exclusion process and fluctuations for Kawasaki
dynamics.Inthesecondpart,weintroducedaheatconductionmodelandwestudiedhydrodynamic
behavior of the system under some assumption we only proved for a simpler model.
566
Table des mati`eres
1 Introduction 9
1.1 Quelques applications de la dualit´e g´en´eralis´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Le processus a` exclusion simple et la dualit´e g´en´eralis´ee . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2 Le coefficient de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.3 Le temps d’occupation d’un site dans l’exclusion simple . . . . . . . . . . . . 15
1.1.4 Fluctuations dans les dynamiques de Kawasaki . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Un mod`ele de conduction de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.1 Le contexte g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.2 Limite hydrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
I Applications de la dualit´e g´en´eralis´ee 31
2 Regularity of a diffusion coefficient 33
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Expression of the generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Steps of the proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 Proof of lemma 2.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
′ ¯2.6 Estimation of theH-norm of L (t)h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53λ
2.7 Regularity at the boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Fluctuations in the occupation time in the ASEP 61
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Recall on the duality of the simple exclusion process . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3 Approximation by free particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4 Superdiffusivity in dimension 1 for the densityρ= 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1
3.5 Diffusivity in dimension d = 2 with density ρ= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2
4 Fluctuations for Kawasaki dynamics 85
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 Kawasaki dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3 Occupation time of a site . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.4 Occupation time at critical temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.5 Remarks on the occupation time of a site for Glauber dynamics . . . . . . . . . . . . 94
7II Un mod`ele de conduction de la chaleur 101
5 A heat conduction model 103
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2 The entropy inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3 Hydrodynamic limit of the inter-distance field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.4 Hydrodynamic limit for the energy field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.5 One block estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
25.6 AL estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.6.1 Symmetric case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.6.2 General case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
86
Chapitre 1
Introduction
Les syst`emes de particules sont n´es dans les ann´ees 70 avec les travaux de Spitzer et de Do-
brushin. La motivation premi`ere ´etait de donner une description math´ematiquement rigoureuse
de syst`emes physiques ´etudi´es dans le cadre de la m´ecanique statistique. Celle-ci se consacre a`
l’´etude de mod`eles dans lesquels le grand nombre de composants (“particules”) oblige a` mener une
desriptionstatistique desph´enom`enes, unedescription purementd´eterministe devenant impossible.
1.1 Quelques applications de la dualit´e g´en´eralis´ee
Dans la premi`ere partie de cette th`ese, nous nous sommes interess´es a` des dynamiques stochas-
tiques visant a` mod´eliser un gaz. Celui-ci est vu comme des particules indistingables se d´eplac¸ant
dal´eatoirement sur une partie connexe Λ du r´eseau d-dimensionnelZ . Nous imposons d’autre part
une condition dite d’exclusion aux particules, a` savoir que plus de deux particules ne peuvent se
situer sur un mˆeme sitex∈ Λ. En raison de cette condition, et puisque les particules sont indistin-
gables, l’´etat (ou configuration) du gaz peut-ˆetre d´ecrit a` l’aide d’une fonctionη de Λ dans{0,1} :
si x∈Λ, η(x) = 0 signifie qu’il n’y a pas de particules sur le site x et η(x) = 1 qu’il y en a une.
La dynamique est d´ecrite de la mani`ere suivante. Chaque particule attend, ind´ependamment des
autres, un temps exponentiel de moyenne 1. Au bout de ce temps, si la particule se trouve enx, et
si la configuration du gaz estη, alors elle sautera sur le sitey avec un taux´egal a`c(x,y,η). La nou-
xyvelle configuration du gaz est alors η . Puis la dynamique repart selon la mˆeme loi stochastique.
Le principe d’exclusion impose que c(x,y,η) = 0 si η(x) = η(y). D’autre part, si la configuration
xyavant le saut consid´er´e est η, la configuration η apr`es le saut est η(y), si u =x
xyη (u) = η(x), si u =y
η(u), si u=x,y
Leprocessusstochastiqueainsid´ecritestunprocessusMarkovien surl’espacedesconfigurations
ΛX ={0,1} dont le g´en´erateur infinit´esimal est donn´e parΛ
X1 xy(L f)(η) = c(x,y,η)[f(η )−f(η)]Λ
2
x,y∈Λ<