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• Publié par: Vewyir
• Nombre de lectures: 57
• Langue: Français

Extrait

`THESE DE DOCTORAT DE
´L’UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE
Sp´ecialit´e :
´MATHEMATIQUES
pr´esent´ee par
Thomas DEDIEU
pour obtenir le grade de
´DOCTEUR de l’UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE
Sujet :
Auto-transformations et g´eom´etrie des vari´et´es
de Calabi-Yau
Soutenue le 4 novembre 2008
devant le jury compos´e de
Serge CANTAT Examinateur
Olivier DEBARRE
Jean-Pierre DEMAILLY Rapporteur
Christian PESKINE Examinateur
Thomas PETERNELL
Claire VOISIN Directrice de th`esepour LiseRemerciements
Je tiens en premier lieu `a t´emoigner de ma gratitude envers Claire Voisin. Il est bien´evident
quecetteth`eseluidoitbeaucoup.Elleapartag´esesid´eesavecmoiavecunegrandeg´en´erosit´e,et
m’a consacr´e son temps sans compter. Je la remercie pour tout ce qu’elle m’a enseign´e pendant
ces trois ann´ees de th`ese, non seulement pour toutes les math´ematiques qu’elle m’a apprises,
mais aussi pour les valeurs qu’elle m’a transmises, et qui j’ose le croire me permettront d’ˆetre
un honnˆete math´ematicien.
JeremercieJean-PierreDemaillyd’avoiraccept´ed’ˆetrerapporteurdecetteth`ese.Sapr´esence
dans le jury de ma th`ese est un grand honneur pour moi. Ses notes sur l’hyperbolicit´e de
Kobayashi et les diff´erentielles de jets ont ´et´e mon premier contact avec l’hyperbolicit´e, et
restent pour moi une r´ef´erence irrempla¸cable.
Ciro Ciliberto m’a accueilli tr`es chaleureusement lors d’un s´ejour `a Rome au printemps
2008. J’ai retrouv´e `a ses cˆot´es la g´eom´etrie projective qui m’a men´e plus jeune `a la g´eom´etrie
alg´ebrique complexe. J’ai beaucoup appris `a son contact, et cela a toujours ´et´e un plaisir pour
moidetravailleraveclui.Jesuistr`esheureuxqu’ilait´et´erapporteurdemath`ese,etleremercie
pour sa lecture attentive et critique de ce texte.
Serge Cantat s’est beaucoup int´eress´e `a mon travail. En discuter avec lui a toujours ´et´e tr`es
motivant, et source de nombreuses questions et id´ees `a explorer. Je lui suis reconnaissant pour
les belles math´ematiques qu’il m’a fait d´ecouvrir. J’appr´ecie beaucoup de le compter parmi les
membres de mon jury.
J’aiapprisdesmath´ematiquestr`esvari´eesd’OlivierDebarre,grˆace`alaclart´eet`alajustesse
avec lesquelles il ´ecrit. J’ai plusieurs fois pu compter sur son aide et sa gentillesse et je l’en
remercie. Le soutien de Christian Peskine au sein de l’Institut, en particulier pour organiser
mon s´ejour `a Rome, m’a ´et´e tr`es pr´ecieux. Je lui en suis reconnaissant. Je suis tr`es honor´e de
leur pr´esence dans le jury de ma th`ese.
Les travaux de Thomas Peternell sont pour moi une grande source de motivation pour
apprendre la th´eorie de Mori et la g´eom´etrie birationnelle en dimensions sup´erieures. J’attends
beaucoupdecequ’ilpourram’enseignercetteann´ee`aBayreuth.Jeleremerciechaleureusement
d’avoir accept´e d’ˆetre membre du jury de ma th`ese.
Bien sur,ˆ je dois beaucoup `a tous les enseignants qui ont su, chacun `a leur fa¸con, me trans-
mettreleurgoutˆ desmath´ematiques,etquiontchacun`aleurtourlaiss´elatracedeleurinfluence
dansmapersonnalit´emath´ematique.Jepenseplusparticuli`erement`amesprofesseursdeclasses
pr´eparatoires, Serge Francinou et Philippe Esperet, et `a Yves Laszlo qui m’a initi´e avec ent-
´housiasme aux math´ematiques modernes `a l’Ecole Polytechnique. Certaines id´ees qu’ils m’ont
apprises resurgissent r´eguli`erement avec une justesse d´econcertante.
Jetiens`aremerciericimesgrandsfr`eresetsœursmath´ematiquesCatrionaetGianlucapour
leur gentillesse envers moi, pour toute l’aide et les conseils qu’ils m’ont apport´es pendant ces
ann´eesdejeunesse. Jen’oubliepasnon plusmespetitsfr`eresmath´ematiquesJulien et Fran¸cois,
tous deux au savoir encyclop´edique : nos nombreuses discussions m’ont beaucoup appris.Je veux adresser un remerciement sp´ecial `a Ernesto, dont l’amiti´e m’est pr´ecieuse, et qui me
fait grandement b´en´eficier de l’exp´erience qu’il a acquise au cours des quelques ann´ees d’avance
qu’il a sur moi.
Jeveuxaussiremerciertousceuxquiontcontribu´e`arendrelesdiversess´eancesdetravailplus
sympathiques, et qui ont r´epondu `a toutes mes questions : Andreas H¨oring, Laurent Bonavero,
Christophe Mourougane, Sebastien Boucksom, Fr´ed´eric Han, Benoˆıt Claudon, ... La liste est
longue, et ceux qui en sont absents sauront, je l’esp`ere, trouver ici la reconnaissance qu’ils
m´eritent.
L’ambiance chaleureuse et familiale du bureau 7C18 a souvent ´et´e r´econfortante pour moi.
J’aiprofit´edelapassioncommunicativedeVincentpourlesmathslorsdesestroprarespassages.
Je le remercie pour le temps qu’il a pass´e `a r´epondre patiemment `a mes questions de culture
g´en´erale. Je garde un excellent souvenir de nos r´eflexions sur la bidualit´e. Dimitri aura ´et´e mon
consultant en topologie alg´ebrique. Je tiens aussi `a saluer Mairi et Ruchi.
Lesnombreuxamisquej’airencontr´essurleplateaudesth´esards`aChevaleretontcontribu´e
`a rendre le quotidien plus amusant, qu’ils en soient ici remerci´es. Le temps qu’ils ont pass´e,
d´ejeuner apr`es d´ejeuner, `a attendre que je finisse mon repas bien apr`es tout le monde est un
signe surˆ de leur amiti´e. J’adresse mes remerciements les plus sinc`eres `a Julien et Juliette, qui
auront ´et´e mes agents sp´eciaux `a Paris, et qui se sont occup´es des formalit´es administratives
pour la th`ese `a ma place, pendant que j’´etais sous d’autres cieux.
Je salue ´egalement les amis issus d’horizons divers, qui ont su me changer les id´ees au cours
de ces ann´ees, et ceux avec lesquels au contraire j’ai partag´e les moments de doute et d’euphorie
de la th`ese.
Je voudrais ´egalement t´emoigner toute ma reconnaissance `a ma famille : je sais ce que je
vous dois. Votre pr´esence `a mes cˆot´es depuis toujours a fait de moi ce que je suis, et j’esp`ere
modestement ˆetre digne de la fiert´e que vous placez en moi.
Les derniers mots seront pour Caroline, qui a toujours cru en moi, et qui se bat au quotidien
pour me communiquer sa confiance. Elle a pouss´e le d´evouement jusqu’`a lire cette th`ese en
entier, pour traquer les nombreux artefacts qui ont longtemps ´emaill´e les versions successives
de ce texte. Merci d’ˆetre l`a pour moi.Table des mati`eres
Introduction 3
I Non existence d’endomorphismes rationnels non triviaux et irr´e-
ductibilit´e des vari´et´es de Severi universelles pour les surfaces K3 5
1 Introduction `a la g´eom´etrie des surfaces K3 7
1.1 Espace de modules des surfaces K3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Syst`emes lin´eaires et polarisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Modules et p´eriodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Endomorphismes rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Le cas des morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Courbes nodales et vari´et´es de Severi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 D´eformations d’hypersurfaces nodales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2 Le probl`eme de Severi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.3 G´en´eralisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Courbes rationnelles sur les surfaces K3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.1 R´esultats d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
´1.4.2 Etude des singularit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5 Groupes de Chow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5.1 Th´eorie g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5.2 Groupes de Chow des surfaces K3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Severi varieties and self-rational maps of K3 surfaces 35
2.1 Introduction et principaux r´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Link between the two conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Properties of a self-rational map on a K3 surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.1 Numerical properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.2 Complexity of an elimination of indeterminacies . . . . . . . . . . . . . . 46
II Log-K-correspondances et pseudo-formes volume intrins`eques
pour les paires logarithmiques 51
3 Pr´eliminaires de g´eom´etrie complexe et alg´ebrique 53
3.1 G´eom´etrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1.1 Th´eorie