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Chapitre 1DYNAMIQUE NONDETERMINISTE6PREMIER CHAPITRE : DYNAMIQUE NON DETERMINISTEIl s’agit, dans ce chapitre, d’etudier la dynamique simultanee de plusieurs fonctions ou, cequi revient presque au m^eme, la dynamique d’une fonction multivoque. L’iteration d’uneseule fonction etant dej a assez compliquee, on voit qu’il va falloir ajouter des hypothesesde convergence. Ces hypotheses seront di erentes selon qu’on suppose que l’espace estcomplet ou compact.I. DEFINITIONS1) Systemes iteres de fonctionsUn systeme itere de fonctions (en anglais IFS, iterated function system), est la donneed’un espace metrique (E;d) et d’une famille (f ) d’applications continues de E dansi i2Ilui-m^eme. Dans toute la suite, on supposera que I est metrique compact (en general, ilsera m^eme ni) et que l’applicationf : IE ! E:(i;x) 7! f (x)iest continue.On peut rajouter di erentes hypotheses de convergence selon que E est complet ou com-pact.1De nition. On dira que l’IFS (E; (f ) ) est hyperbolique si (E;d) est complet et si lesi i2Iapplications f sont toutes k-lipschitziennes pour une m^eme constante k< 1.iCeci est une generalisation naturelle de la de nition de Barnsley et Demko (voir [Ba,De]).On dira que (E;f ) est un HIFS (hyperbolic iterated function system).iDe nition. On dira que l’IFS (E;f ) est convergent si (E;d) est compact et si les fi idiminuent strictement les distances, i.e.8i2I 8x;y2E x =y =) d[f (x);f (y)]