Smolyak's algorithm, spars grid approximation and periodic function spaces with dominating mixed smoothness [Elektronische Ressource] / von Tino Ullrich

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• Publié par: friedrich-schiller-universitat_jena
• Publié le: 01 janvier 2007
• Nombre de lectures: 22
• Langue: Deutsch

Extrait

Smolyak’s Algorithm, Sparse Grid Approximation
and Periodic Function Spaces with Dominating Mixed
Smoothness
Dissertation
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum naturalium (Dr. rer. nat.)
vorgelegt dem Rat der
Fakultät für Mathematik und Informatik
der Friedrich-Schiller-Universität Jena
von Dipl.-Math. Tino Ullrich
geboren am 23. März 1980 in SchmalkaldenGutachter
1. Prof. Dr. Jürgen Prestin - summa cum laude
2. Prof. Dr. Hans-Jürgen Schmeißer - summa cum laude
3. Prof. Dr. Winfried Sickel - summa cum laude
Tag der letzten Prüfung des Rigorosums: 03. Mai 2007
Tag der öffentlichen Verteidigung: 04. Mai 2007
iiAcknowledgements
First of all I would like to express my deepest appreciation to my supervisor Prof. Dr.
Winfried Sickel for supporting me during my Ph.D. studies. He has always been a very
attentive, motivating and fair teacher. Let me also thank the members of the research
group “Function Spaces” in Jena, especially PD. Dr. Dorothee D. Haroske, Prof. Dr.
Hans-Jürgen Schmeißer and Prof. Dr. Hans Triebel for many valuable discussions, hints
and comments during the preparation of this work.
iiiivF Ü R K A T R I N
vZusammenfassung
Die vorliegende Arbeit wurde hauptsächlich durch die Ergebnisse Sickels in den Arbeiten
[34, 35] und durch frühere Untersuchungen von Temlyakov in [43, 45] motiviert. Wir
studieren periodische Funktionenräume mit dominierend gemischten Glattheitseigenschaf-
ten vom Besov-, Triebel-Lizorkin- und Sobolev-Typ. Im Mittelpunkt der Untersuchun-
gen steht das Problem der optimalen Rekonstruktion von Funktionen aus einer endlichen
Menge von Funktionswerten. Die Qualität der optimalen Rekonstruktion einer Klasse von
Funktionen wird mit Hilfe der Größenρ gemessen. Diese Größen sind mit den bekanntenM
linearen Weiten (oder Approximationszahlen) vergleichbar. Man beschränkt sich aller-
dingsnurauflineareAbtastoperatoren, derenRangkleinerodergleichM ist. In[44]findet
man erste Resultate für Räume vom Sobolev- und Nikol’skij-Besov-Typ mit dominierend
gemischterGlattheit. Diesewurdenin[34]und[35]teilweiseverbessertundaufperiodische
2Räume vom Besov- und Triebel-Lizorkin-Typ aufT ausgeweitet.
Seit einiger Zeit besteht ein wachsendes Interesse (insbesondere aus der Finanzmathe-
matik) an der Lösung hochdimensionaler Probleme (d = 100,1000,...). In vielen Fällen
kann die Lösung nicht exakt bestimmt werden, weshalb man sich auf Näherungsverfahren
zurückziehen muss. Diese Arbeit dient unter anderem auch der Analyse spezieller derar-
tiger Verfahren. Normalerweise wächst der Aufwand für die Bestimmung einer hinreichend
genauen Näherung exponentiell in d. Die Herausforderung besteht nun darin, diesem so-
genannten “Fluch der Dimension” durch geeignete Wahl der Funktionenklassen bzw. Al-
gorithmen zu entgehen. Dazu gibt es unter anderen von Wasilkowski und Woźniakowski
verschiedene Untersuchungen in [57]. Es stellte sich heraus, dass der Smolyak-Algorithmus
und Funktionenräume mit dominierend gemischter Glattheit gut zusammenpassen.
DasZielderArbeitistdieErweiterungvonSickelsResultatenaufbeliebigeDimensionend.
Die Behandlung dieses allgemeinen Falles setzt ein genaues Studium der Theorie periodi-
scher Funktionenräume voraus. Kapitel 1 ist dem Fourier-analytischen Zugang der Räume
r¯ d r¯ dS B(T ) undS F(T ) auf demd-Torus gewidmet. Wir berufen uns dabei hauptsächlichp,q p,q
auf die Monographie [32] von Schmeißer und Triebel. Dort wurden die genannten Skalen
2auf demR eingeführt. Beide Raumskalen enthalten wichtige klassische Funktionenräume
dominierend gemischter Glattheit, beispielsweise Hölder-Zygmund-, Nikol’skij-Besov- oder
Sobolev-Räume. Letztere wurden erstmalig von Nikol’skij in den frühen sechziger Jahren
viZusammenfassung vii
2wie folgt auf demR definiert:
(r ,r ) 2 2 (r ,r ) 2 21 2 1 2S W(R ) = f ∈L (R ) :kf|S W(R )k =kf|L (R )kp pp p
r r r +r1 2 1 2 ∂ f ∂ f ∂ f2 2 2