Solid-state transformations and crack propagation [Elektronische Ressource] : a phase field study / Michael Fleck

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• Publié le: 01 janvier 2011
• Nombre de lectures: 9
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Extrait

Solid-state transformations
and crack propagation:
A phase field study
Von der Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften der
RWTH Aachen University zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften genehmigte Dissertation
vorgelegt von
Diplom-Physiker
Michael Fleck
aus Aachen
Berichter: Universitätsprofessor Dr. Heiner Müller-Krumbhaarrofessor Dr. Walter Selke
Tag der mündlichen Prüfung: 28. September 2010
Diese Dissertation ist auf den Internetseiten der Hochschulbibliothek
online verfügbar.Abstract
Diffusional pattern formation processes, which for instance lead to the formation of
snowflakes in undercooled watervapor, are doubtless fascinating systems with pretty com-
plex nonlinear behavior. In the accompanying so-called diffusion limited phase transfor-
mation kinetics the phase evolution is strongly coupled to the long-range diffusion of
latent heat, that is released at the solid liquid interface. For transformations in the solid-
state these processes are additionally subjected to nonlocal elastic effects which arise from
structural differences between adjacent solid phases.
Mathematically, these dynamic systems can be mapped to so-called moving boundary
problems, which then, for example, can be treated by the phase field method. To numer-
ically solve the current problem, we develop a phase field model for the simulation of
diffusion limited solid-state transformations, that accounts for the coupled influence from
both the thermal diffusion of latent heat as well as the elastic lattice strain effects.
Then, using basically phase field simulations, we study the kinetics of diffusion lim-
ited solid-state transformations. The present investigations provide new insights in the
recently discovered mechanism of pattern selection via lattice strain effects. This mecha-
nism turns out to be very effective as indicated by the surprisingly high growth velocities.
Also the propagation of cracks can be understood as an elastically driven interfacial
pattern formation process. Such a description of dynamic fracture mechanics again leads
to a moving boundary problem. In this work we collect the previously gained research
results on the behavior of dynamic crack propagation in such models, and reinterpret them
in the light of recent findings on the influence of viscous friction in such systems. Finally,
to complete the picture about the arising model behavior also supplementing new studies
have been performed.
3Zusammenfassung
Diffusionsbedingte Musterbildungsprozesse, welche unter anderem zur Bildung von
Schneeflocken in unterkühltem Wasserdampf führen können, sind ohne Zweifel faszi-
nierende, aber auch recht komplexe nichtlineare Systeme. Bei den damit verbundenen
so genannten diffusionsbegrenzten Phasentransformationsprozessen ist die Grenzflächen-
dynamik untrennbar an die langreichweitige Diffusion latenter Wärme gekoppelt. Im
Festkörper unterliegen solche Prozesse auch noch nichtlokalen elastischen Einflüssen,
welche durch strukturelle Unterschiede der beteiligten festen Materialphasen hervorgeru-
fen werden.
Mathematisch können solche dynamischen Systeme auf so genannte bewegte Rand-
wertprobleme abgebildet werden, welche dann zum Beispiel mit Hilfe eines Phasenfeld-
Ansatzes gelöst werden können. Zur numerischen Lösung des gegenwärtigen Problems
wurde ein Phasenfeldmodel zur Simulation von diffusionsbedingten Fest-Fest- Phasen-
umwandlungen entwickelt.
Unter anderem mit Hilfe von Phasenfieldsimulationen wurden dann ausführliche Stu-
dien zu diffusionsbedingten Fest-Fest-Phasenumwandlungen durchgeführt. Diese Un-
tersuchungen lieferten vor allem neue Erkenntnisse über das dynamische Verhalten von
elastisch-selektierten Wachstumsmorphologien. Dabei zeigen unsere Simulationen, dass
diese neuartige elastische Musterselektion äußerst effektiv ist, was sich in den vergleichs-
weise hohen Wachstumsgeschwindigkeiten zeigt.
Auch die Ausbreitung von Rissen kann als ein durch elastische Verspannungen ge-
triebener Musterbildungsprozess verstanden werden. Ein entsprechendes Model der Ris-
sausbreitung führt dabei auf ein ganz ähnliches bewegtes Randwertproblem. Diese Ar-
beit fasst zunächst die bisherigen Forschungsergebnisse zum dynamischen Rissverhalten
in solchen Modellen zusammen, und beleuchtet diese im Licht jüngster Erkenntnisse in
Bezug auf den Einfluss von viskoser Reibung in solchen Systemen. Um einen möglichst
vollständigen Überblick über das Modellverhalten der Rissdynamik auch unter der Ein-
wirkung viskoser Energiedissipation zu bekommen, wurde im Weiteren das bestehende
Bild duch ergänzende Studien vervollständigt.
5Contents
1. Overview 9
2. Introduction 15
2.1. Solidification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1. The planar solidification front . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2. Gibbs-Thomson effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.3. The Mullins-Sekerka instability . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Theory of elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1. The stress and elastic equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2. Thermodynamics of deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.3. Hooke’s law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.4. Static elasticity with plane strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3. Continuum fracture mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1. The square root singularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.2. The Griffith criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4. The phase field approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3. Nonisothermal phase field modeling with elastic effects 35
3.1. Model equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2. Numerical implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1. Interpolation of the bulk constants . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.2. Interpolating the elastic energies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.3. Nontrivial boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3. Thermal diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.1. Dendritic growth in a channel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4. Elastic effects due to the presence of lattice strain . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.1. Influence of strain on growth kinetics . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5. Plastic deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5.1. Phase field model for plasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5.2. Plastic deformation near a circular hole . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4. Diffusional phase transformations in solids 63
4.1. Formulation of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.1. Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.2. Modelling structural transformations . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2. Free growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3. Channel growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3.1. Isothermal channel walls (ISO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3.2. The thermally insulating and confined channel (FG) . . . . . . . 73
7Contents
4.3.3. The thermally insulating and compliable channel (SF) . . . . . . 75
4.3.4. Phase field modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4. Single crystal growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4.1. Isotropic eigenstrain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4.2. Pure shear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4.3. Mixed mode eigenstrain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5. Bicrystal growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.5.1. Shear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.5.2. Mixed mode bicrystal growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5. Fracture as a pattern formation process 95
5.1. Continuum model of fracture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.1.1. Surface diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.1.2. Phase transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2. Crack propagation: Selection principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3. Numerical methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.3.1. Multipole expansion method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3.2. Phase field modeling of fracture . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.4. Opening mode fracture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.4.1. Slow cracks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.4.2. Vanishing viscous dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.4.3. Dynamic crack propagation . . . . . . . . . . . .