Spaces of lattices in equal and mixed characteristics [Elektronische Ressource] / von Martin Kreidl

Description

Spaces of Lattices in Equaland Mixed CharacteristicsDissertationzur Erlangung des akademischen Grades einesDoktors der Naturwissenschaften (Dr.rer.nat.)vonDipl.-Ing. Martin Kreidlgeboren in Brixlegg/Tirolvorgelegt beim Fachbereich Mathematikder Universit at Duisburg-EssenCampus EssenEssen, 2010Datum der mundlic hen Prufung: 10. Dezember 2010Vorsitz: Prof. Dr. Patrizio Ne (Universit at Duisburg-Essen, CampusEssen)Gutachter:Prof. Dr. Ulrich G ortz (Universit at Duisburg-Essen, Campus Essen)Prof. Dr. Helene Esnault (Universit at Duisburg-Essen, Essen)Prof. Dr. Urs Hartl (Universit at Munster)Meiner FamilieTo my familyDanksagungEs ist wohl kaum n otig zu betonen, wie sehr ich meinem Betreuerund Mentor Prof. Dr. Ulrich G ortz zu Dank verp ichtet bin. Trotz-dem m ochte ich ihm hiermit noch einmal ganz ausdruc klich Dankesagen, fur die vielen Stunden, die er mit meinen unfertigen und man-gelhaften Manuskripten zugebracht hat, fur die Eselsgeduld, die er stetsauch den unbeholfensten meiner Fragen entgegenbrachte, und fur dasst andige Interesse an meiner Arbeit, verbunden mit unz ahligen kleinenund gro en Anregungen und weiterfuhrenden Fragen. Nicht zuletztwill ich mich fur die sch one, spannende und facettenreiche Mathematikbedanken, die ich in den vergangenen drei Jahren von ihm lernen konn-te. Ein gro es Dankesch on fur sein Interesse und seine Unterstutzunggebuhrt auch Prof. Dr.

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• Mathematics

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• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 27
• Langue: Deutsch

Extrait

andSpacesMixedofLatticesCharacteristicsinEqual

DissertationzurErlangungdesakademischenGradeseines
DoktorsderNaturwissenschaften(Dr.rer.nat.)

onvKreidlMartinDipl.-Ing.Brixlegg/Tirolinorengeb

vorgelegtbeimFachbereichMathematik
UnivderDuisburg-Essenatersit¨EssenCampus

2010Essen,

Datumderm¨undlichenPr¨ufung:10.Dezember2010
Vorsitz:Prof.Dr.PatrizioNeff(Universit¨atDuisburg-Essen,Campus
Essen)

er:thGutacProf.Prof.Dr.Dr.H´Ulricel`enehG¨ortzEsnault(Univ(Universit¨ersit¨atatDuisburg-Essen,Duisburg-Essen,CampusCampusEssen)Essen)
Prof.Dr.UrsHartl(Universit¨atM¨unster)

Meiner

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amilieF

my

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Danksagung

Esistwohlkaumn¨otigzubetonen,wiesehrichmeinemBetreuer
demundm¨MenochtorteicProf.hihmDr.UlrichiermithG¨nocortzhzueinmalDankganzverpflicausdrh¨tetucklicbin.hTDankrotz-e
sagen,gelhaftenf¨urMandievielenuskriptenStunden,zugebracdiehterhat,mitf¨urdiemeinenEselsgeduld,unfertigendieunderman-stets
st¨auchandigedenInunbteresseehanolfenstenmeinermeinerArbFeit,ragvenenerbundentgegenmitbracunz¨hte,ahligenundfk¨urleinendas
undgroßenAnregungenundweiterf¨uhrendenFragen.Nichtzuletzt
willichmichf¨urdiesch¨one,spannendeundfacettenreicheMathematik
bedanken,dieichindenvergangenendreiJahrenvonihmlernenkonn-
te.EingroßesDankesch¨onf¨urseinInteresseundseineUnterstu¨tzung
gebgrupp¨uhrteichauczwheiProf.JahreDr.langMichaelMitgliedRapopseinortindurfte,Bonn,bevinormicdessenhdieArbBeru-eits-
fungDavonDr.WissenscUlrichafthG¨nurortzhalbnachsoEssenspannendf¨uhrte.w¨areohnedieMenschen,
diemeinersiebbeeidentreiben,Arbwilleitsgruppichmicenhganzauchbherzliceihallenbedankanderenen,allenMitgliedernvoran
beiAngeregteDr.UlricundhTausgesproerstiege,chenPhilipplehrreicHarthewigundDiskussionenDr.zuChristianallenTKappages-en.
undMathematikNachtzeitenstetsmitlebihnenendighabgehenaltendasInundteressemancundhmaldieaucFrhdeudeirektanzurder
vorliegendenArbeitbeigetragen.InsbesondereverdankeichPhilipp
HartwigdenHinweisaufdenArtikelvonW.Waterhouse,dermeineAr-
gumentationimAnhangdieserArbeitwesentlicheinfacherundtrans-
parentergemachthat.
ichaucOhnehderGeldDeutscspieltbhenekFannorsctlichhkeineungsgemeinscMusik.haInftdankdiesemen,Sinnediemirm¨ochmitte
meinerAnstellungimRahmendesSonderforschungsbereichs/Trans-
meinregio45Studium‘Periods,undmomeineduliFspacesorschungandwesenarithmtlicetichoferleichalgebraictert,wvennarieties’nicht
garersterm¨oglichthat.

i

ii

GUNGANKSAD

alldieEinJahreganzbdurfteesondererichstetsDankohnegeb¨WuhrtennfreilicundhAbermeinermeinenFamilie.In¨teressenUber
Unundterst¨meinerutzungLeidenscimmerhaftsichernacsein!hgehen,Dankunde!konntemirtrotzdemeurer

Essen,

erOktob

2010

Contsten

DanksagungductiontroInCharacteristicEqual1.artPGrassmannianAffineThe1.ChapterhemesInd-ScandSpaces1.1.1.3.1.2.VTheectorAffineBundlesonGrassmannianProjectiveafterCurvesBeauvilleandLaszlo
Chapter2.1.Iw2.ahoriDemazureandParahoricResolutionsSubgroupsofSchubertVarieties
2.2.DemazureResolutionsasVarietiesofLatticeChains
Chapter3.VarietiesofLatticeswithInfinitesimalStructure
3.1.3.2.FArobModulienius-TSpacewistedforPowLattericeSeriesSchemesRings
3.3.TwistedLinearIdealsandFlatnessResults
3.4.3.5.DemazureGrassmann-BundlesVarietiesReviewed
CharacteristicMixed2.artP4.1.Chapter4.GreenbergDiscussionofRealizationsHaboush’sApproach
4.3.4.2.HabHaboush’soush’sLoSpacescalizedofGreenLatticesbergRealizations
Chapter5.Spacesofp-adicLattices
5.2.5.1.pThe-adicpLo-adicopaffineGroupsGrassmannian
Lattices-adicp5.3.AppendixA.FPQC-SheavesandSheafifications
yBibliographendix.App

iii

iv1335101919202525263037394749495256616167768591

ductiontroIn

linearLetkgroupdenoteoverank.ThearbitraryaffinefieldandGrassmannianletG=forSlnGisdenotetheconstructedspecialas
anmeansalgebro-gethatoneometricconsidersmodelonofthethecategoryquotienoftkG(k((-algebrasz)))/Gthe(k[[zfunct]]).orThis
G=GG:R→G(R((z)))/G(R[[z]])
(ordescriptionrathertheofGfpasqc-sheafanind-scassohemeciatedoverwithkthisasfollofunctor)ws.LetandRbobtainseanay
k-algebra.RecallthatalatticeL⊂R((z))nisafinitelygeneratedpro-
jectiveR[[z]]-submoduleofR((z))nwhichsatisfiesL⊗R[[z]]R((z))=
Rthe((zset))nof.Flatticesurther,LletwithNbtheeanpropypertyositivthateinzNRteger,[[z]]nand⊂Llet⊂Lzatt−NNn(RR[[)z]]bne.
0n,nis,DenotelatticesbyLLattwithN(Rthe)⊂addLattitionalN(R)proptheertysubset∧nLof=spR[[ecialz]].Inlatticthises–situa-that
tionBeauvilleandLaszlo[n,0BL94]provethatG(R)=∪N∈NLattn,N0(R)
andthatthefunctorLattNisrepresentedbyaclosedsubschemeof
anordinaryGrassmannian(moreprecisely,theGrassmannianwhich
parametrizesnN-dimensionalk-linearsubspacesink2nN).Hencethe
wfunctorords,anGisanind-proascenjectivdingekunion-ind-scofheme.projectivThisekind-sc-schemhemes,eisor,theinaffineother
linearGrassmannianalgebraicforgroupsG=Sthanln.SlnThe,andaffineitsvariantsGrassmannian,suchasalsopartialfororotherfull
flagvarieties,arewellstudiedasnaturalobjectswithinthegeomet-
ricLanglandsprogram(seee.g.Mirkovic-Vilonen[MV00],Frenkel
[elsFforre07],acertainndShimothers)uraasvwellarieties:asforTheexamsppleecialinfibtheersoftheorytheofvloariouscallomocald-
moandbdelsyofPShimappas-Rapuravoparietiesortin[PR03constructed]andby[RapPR05op],areort-Zinkclosedin[subRZ96vari-],
etiesofaffinepartialflagvarieties.SeealsoG¨ortz[G¨or01].
However,fromthepointofviewofnumbertheoryitisalsonatural
tobraiclookgratoupGquotienovertsofsomethepformerfectG(fieldL)k/G(ofOp),ositivwhereecGisaharacteristic,linearalge-and
v

ODUCTIONINTRviO=W(k)denotestheringofWittvectorsoverkandL=W(k)[1/p].
byLettheusrefer‘functiontothisfieldsettingcase’wasemtheean‘pthe-adicsituationcase’inthediscussedfolloinwing,thewhilepre-
paragraph.cedingOnemotivationforthesearchforanalgebro-geometricstructure
onG(L)/G(O)isthefollowing.Assumethatkisalgebraicallyclosed,
andfinedletinX[beRZ96ap],Def.-divisible2.15.groupLoooselyverkspokanden,thisconsiderfunctorthefunctorparamMetrizesde-
families,onlocallynilpotentO-schemes,ofp-divisiblegroupstogether
prowithveathatMquasi-isogenisyrepresentoXovtableerbtheyalocusformal{p=sc0}heme.RapovoperortOandandZinkthat
itsspecialfiberisaschemeoverkwhoseirreduciblecomponentsare
anproanjectiveti-equivk-scalencehemes.ofOncategoriestheotherbetwhand,eentheDieudonncategorye´theoryofppro-divisiblevides
groupsandthecategoryofDieudonne´moduleswhicharefinitelygen-
eratedandfreeasmodulesoverO.Viathisanti-equivalence,theset
M(k)isidentifiedwitha‘generalizedaffineDeligne-Lusztigset’
Xµ(b)={g∈G(L)/G(O)|g−1bσ(g)∈G(O)pµG(O)},
whereb∈G(L),andµisadominantcocharacterofamaximaltorus
ofG.(ForadetailleddiscussionofgeneralizedaffineDeligne-Lusztig
Gsets(L)see/G(e.g.O)carriesViehmannthe[Vie08structure].)ofInaotkher-scwheme,ords,andtheitsubwsetouldXµb(eb)in-⊂
terestingtoseewhetherthisscheme-structureisinducedbyasimilar
structureonallofG(L)/G(O).

Inhispaper[Hab05],Haboushattemptstoendowthequotient
thesetsSlonen(L)/discussedSln(O)abovwitheforantheind-scfunctionhemefieldstructcase.ureovHoerwkever,theanalogoussitua-to
tionseemstobesignificantlymorecomplicatedinthep-adiccase,and
whatHaboushdoesin[Hab05]seemstobeatleastproblematic.One
sourceofcomplicationinthep-adiccaseiscertainlythesimplefact
thatW(R)(Ranyring)doesnotcarryastructureofR-mon,0dule,which
anmakesordinaryimpossibletheGrassmannian,constructionasdescribofanedaboanalogueveforofLtheattN(functionR)insidefield
case.Thenaturalstrategy,pursuedbyHaboush,istoidentifylattices
inthep-adicsituationwithcertainsubvarieties(‘latticeschemes’)of
the‘affinespace’W(k)n,andparametrizethesebyaclosedsubscheme
ofa(multigraded)Hilbertscheme.However,itisawell-knownand
vareerynnaturalon-reduced,phenevenomenonifthethatfamilycertainasafiberswholeinisflatreduced.familiesofAndschemesindeed

iivODUCTIONINTRitturnsoutthatHaboush’slatticeschemeswillingeneralcarryin-
finitesimalstructure,withtheconsequencethatthedesiredbijection
(lattices↔latticeschemes)doesnotexist.Therearesimplytoomany
latticeschemeswithdifferentinfinitesimalstructuregivingrisetothe
lattice.sameBeforeweproceedwithadetailledoutlineofthepresentwork,let
usmentionthatSln(L)/Sln(O)isthesetofverticesoftheBruhat-
TitsbuildingBnofSln(L),andweareinfactlookingforageometric
structureonthissetofvertices.In[Ber95]Berkovichdescribesthe
constructionofanequivariantclosedembeddingofBnintotheanalyti-
ficationofthen−1-dimensionalDrinfeldhalfplaneΩn.Thisinduceson
Bnthestructureofananalyticspace.However,thestructurewhichis
inducedonthesetofverticesofBnbythisconstructionisdiscrete,and
thisiscertainlynotwhatwearelookingfor.FordetailsonBerkovich’s
constructionseealsoBerkovich[Ber90]andWerner[Wer04].
Part1.InPart1ofthepresentworkwestudythephenomenonof
infinitesimalstructureonlatticeschemesinasimplifiedsetting,which
ismotivatedbytheWittvectorsituation,butultimatelygivesrise
toobjectswhichareveryclosetoDemazureresolutionsofSchubert
varietiesinthefunctionfieldcase.Muchofthematerialpresented
here,andinparticularthemainresultTheorem0.1below,hasbeen
publishedbytheauthorin[Kre10].
Letkbeafieldofpositivecharacteristicp.Foreverydominant
cocharacterλ∈Xˇ+(T)ofthestandardmaximaltorusT⊂Slnwecon-
structaprojectivek-subvarietyD(λ)ofamultigradedHilbertscheme.
ThevarietyD(λ)willbeaparameterspaceforcertain‘latticeschemes’.
TotheSchubertvarietyS(λ)⊂GSlnwecanassociateaDemazureres-
olutionπ(λ):Σ(µ1,...,µ