Spectral model reduction as preconditioner and adaptive solver component in chemical reaction systems [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Thomas Stricker

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• Publié le: 01 janvier 2006
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Extrait

Inaugural-Dissertation
zur Erlangung der Doktorw¨urde
der
Naturwissenschaftlich-Mathematischen Gesamtfakult¨at
der
Ruprecht-Karls-Universit¨at
Heidelberg
vorgelegt von
Diplom-Mathematiker Thomas Stricker
aus Leutkirch
Tag der m¨undlichen Pr¨ufung: 5. Okt. 2006Spectral Model Reduction
as Preconditioner and Adaptive
Solver Component in
Chemical Reaction Systems
27.06.2006
1. Gutachter: Prof. Dr. Rolf Rannacher
2. Gutachter: Prof. Dr. Dr. h.c. Hans Georg BockAbstract
Aim of this work is the analysis and application of the reduction methods QSSA and ILDM.
Both methods were developed in the context of the modeling of chemical combustion pro-
cesses. They have in common that they reduce highly the number of species to be modeled,
whichleadstoanenormousreductionofthecomputationtime. Theproducedsystematicer-
rorpreventsclearlytheobtainedsolutiontosolvethedetailedproblem. Insomeapplications
the reduced solution has therefore doubtful physical sense.
One focal point of this thesis is hence the investigation of the applicability of the reduction
methods as preconditioner for the solver. The treated problems are stationary systems of
equations. This way of the application ensures the convergence to a solution with physical
sense, given that convergence occurs at all. Unfortunately, it can and will be shown that
under no circumstances convergence can occur, if the reduction methods are applied as
preconditioners.
A second focal point is therefore the application of the reduction methods to instationary
problems. A given accuracy is to be reached with as many reduced time steps as possible
and with only few detailed time steps in order to have the result be accurate enough. The
technique of dual solutions leads to a strategy, which leads to a solution, which is by factors
closer to the detailed than the reduced calculated solution. Fortunately, the same strategy
can be used for an adaptive time stepping with almost no additional costs.Zusammenfassung
Die vorliegende Arbeitbesch¨aftigt sich mit der Analyse und der Anwendungder Reduktion-
smechanismen QSSA und ILDM, die beide im Rahmen der Modellierung von chemischen
Verbrennungsprozessen entwickelt worden sind. Beide Mechanismen reduzieren die Anzahl
der zu modellierenden Spezies erheblich, was eine bedeutende Kostenersparnis bei der nu-
merischenBehandlungzurFolgehat. DerdadurchentstehendesystematischeFehlerbedingt,
dass eine so erhaltene L¨osung nicht notwendigerweise eine L¨osung des detaillierten Prob-
lems ist. In einigen Anwendungen fu¨hrt der reduzierte L¨osungsweg daher zu physikalisch
fragwu¨rdigen Ergebnissen.
EinSchwerpunktdieserArbeitistdaherdieUntersuchungderAnwendbarkeitdieserReduk-
tionsmechanismen als Vorkonditionierer fu¨rL¨oser von station¨aren Problemen. Diese Artder
Anwendung impliziert die Konvergenz der Berechnungen zu einem physikalisch sinnvollen
Grenzwert, gegeben dassKonvergenz vorliegt. Unglu¨cklicherweise kanngezeigt werden,dass
Konvergenz mitdenReduktionsmechanismenals Vorkonditionierer unter keinenUmsta¨nden
vorliegen kann.
Ein weiterer Untersuchungsschwerpunkt liegt in der adaptiven Anwendung der Reduktions-
mechanismen bei instation¨aren Problemen. Mit so vielen reduzierten Zeitschritten wie
m¨oglichundsowenigendetailliertenSchrittenwien¨otigsolleinezuvorvorgegebeneGenauig-
keit erreicht werden. Mit Hilfe der Technik der dualen L¨osungen kann ein Verfahren ent-
wickelt werden, das eine L¨osung liefert, die um einen beliebig kleinen Faktor von der de-
tailliert gerechneten L¨osung abweicht. Das Verfahren ist so konstruiert, dass mit gleichem
Rechenaufwand auch die Zeitschrittweite adaptiv gesteuert werden kann.Contents
1 Introduction 3
2 The Chemical Model 7
2.1 Modeling a homogeneous reactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Modeling the chemical species . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 A simplification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.3 Modeling the temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.4 The governing equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Conservation laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Example: Ozone Reaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Introduction to QSSA and ILDM 13
3.1 Properties of stiff differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 QSSA and ILDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.1 QSSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.2 ILDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.3 Numerical examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.4 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Center Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Calculation of QSSA– and ILDM–points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.1 The initial guess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.2 The iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4.3 Post–processing of the solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5 Tabulation of the manifold. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5.1 Criteria for the performance of the table . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Solution Process with QSSA and ILDM 31
4.1 Description of the reduction strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Linear equations without conservation laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2.1 The parameterization of the manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2.2 Description of reduced problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.3 The importance of the spectral gap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2.4 Reducing ordinary differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.5 Reduction of a simple reaction–diffusion equation . . . . . . . . . . . . 38
4.2.6 Reduction of general equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.7 A PDE example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.8 Numerical costs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Linear equations including conservation laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
iContents
4.3.1 The parameterization of the manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3.2 Description of reduced problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3.3 Reducing ordinary differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3.4 Reduction of a simple reaction–diffusion equation . . . . . . . . . . . . 56
4.3.5 Reduction of general equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.6 A PDE example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4 Nonlinear equations without conservation laws . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4.1 The parameterization of the manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4.2 Description of reduced problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4.3 Reducing ordinary and partial differential equations . . . . . . . . . . 65
4.4.4 Reduction of general equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4.5 A PDE example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.5 Nonlinear equations including conservation laws . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.5.1 The parameterization of the manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5.2 Description of reduced problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5.3 Reduction of ordinary and partial differential equations . . . . . . . . 71
4.5.4 Reduction of general equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.5.5 A PDE example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5 Preconditioning with QSSA and ILDM 75
5.1 The solution process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Linear equations without conservation laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2.1 Preconditioning with QSSA and ILDM. . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2.2 Preconditioning with modified parameterizations . . . . . . . . . . . . 79
5.2.3 A PDE example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.3 Linear equations including conservation laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3.1 Preconditioning with QSSA and ILDM. . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3.2 Preconditioning with modified parameterizations . . . . . . . . . . . . 83
5.3.3 A PDE example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.4 Preconditioning with time steps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.4.1 Strang splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.4.2 Reduced Strang splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6 Quasi–Newton methods with QSSA and ILDM 91
6.1 Convergence aspects for inexact Newton methods . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2 Nonlinear equations without conservation laws . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.2.1 The linearization of th