State space properties of transitional pipe flow [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Tobias M. Schneider

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• Publié le: 01 janvier 2007
• Nombre de lectures: 7
• Langue: English
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Extrait

State Space Properties of
Transitional Pipe Flow
Dissertation
zur Erlangung des Doktorgrades
der Naturwissenschaften
(Dr. rer. nat.)
dem Fachbereich Physik
der Philipps-Universit at Marburg
vorgelegt
von
Tobias M. Schneider
aus
Marburg/Lahn
Marburg/Lahn 2007Vom Fachbereich Physik der Philipps-Universit at Marburg
als Dissertation angenommen am: 14.06.2007
Erstgutachter: Prof. Bruno Eckhardt, Marburg
Zweitgutachter: Prof. Eberhard Bodenschatz, G ottingen
Tag der mundlic hen Prufung: 15.06.2007State Space Properties of
Transitional Pipe Flow
\Although in most ways the exact manner in which water moves is di cult to perceive
and still more di cult to de ne, as are also the forces attending such motion, certain
general features both of the forces and motions stand prominently forth, as if to invite
or to defy theoretical treatment."
O. Reynolds [93]Praise be to the name of God for ever and ever;
wisdom and power are his. ...
He gives wisdom to the wise and knowledge to the discerning.
He reveals deep and hidden things; ...
I thank and praise you, O God of my fathers:
You have given me wisdom and power, you have made known to me what we asked of
you, ...
Daniel 2:20{23 (The Bible - New International Version)iiZusammenfassung
Einfuhrung
Dass Str omungen von Flussigk eiten oder Gasen bei h oheren Str omungs-
geschwindigkeiten turbulent werden, ist ein t aglich erfahrbares und trotzdem in
weiten Teilen nicht vollst andig verstandenes Ph anomen. Obwohl die entsprechenden
dynamischen Gleichungen, welche die physikalischen Transportvorg ange beschreiben,
seit langem bekannt sind, ist der Mechanismus des Turbulenzub erganges selbst in sehr
einfachen Geometrien noch nicht vollst andig bekannt. Dies gilt insbesondere in solchen
F allen, in denen die laminare Str omung linear stabil ist.
Die vorliegende Arbeit besch aftigt sich mit dem Turbulenzub ergang in der Rohr-
str omung { also der Situation eines Newton’schen Fluids, das unter der Wirkung eines
Druckgradienten durch ein Rohr mit kreisf ormigem Querschnitt ie t. Diese geome-
trisch sehr einfache und vom technologischen Standpunkt sehr wichtige Str omung wird
seit dem 19. Jahrhundert wissenschaftlich untersucht. W ahrend Gotthilf Hein-
rich Ludwig Hagen im Jahr 1839 und Jean Louis Marie Poiseuille ein Jahr
sp ater die unter ihrem Namen bekannte Beziehung zwischen Durch uss und angeleg-
tem Druckgradienten fur laminare Rohrstr omung ver o en tlichten, sind erste Untersu-
chungen zum Turbulenzub ergang mit dem Namen Osborne Reynolds verknupft.
In seinem beruhm ten Experiment von 1883 konnte er zeigen, dass die Eigenschaften
der Str omung nur von der dimensionslosen Kombination Re = UD= aus mittlerer
Str omungsgeschwindigkeit U, Durchmesser der R ohre D und kinematischer Viskosit at
der Flussigk eit abh angen. Ferner zeigte er, dass turbulente Str omungen nur ab einem
gewissen Wert der nach ihm benannten Reynoldszahl beobachtet werden k onnen. Gleich-
zeitig beobachtete er, dass der Ubergang nicht bei einer scharf de nierten Reynoldszahl
statt ndet sondern emp ndlic h von au eren St orungen abh angt.
iiiiv
Ziel der Arbeit
Trotz zahlreicher moderner Experimente und den in den letzten Jahren zunehmend
m oglich gewordenen numerischen Computersimulationen ist eine vollst andige theore-
tische Beschreibung des Turbulenzub erganges im Rohr bis jetzt nicht gelungen. Die
Schwierigkeit liegt darin, dass die Rohrstr omung im Gegensatz z.B. zum thermisch ge-
triebenen Rayleigh-Benard System linear stabil ist und damit eine voll nichtlineare Be-
schreibung des Ubergangsmechanismus erforderlich ist.
Nichtsdestoweniger hat es in den letzten Jahren durch die Anwendung von Vorstellungen
und Methoden aus der mathematischen Theorie nichtlinearer dynamischer Systeme in
Kombination mit spezi sc h angepassten Laborexperimenten und Simulationen enorme
Fortschritte im Verst andnis des Turbulenzub ergangs gegeben. Das Ziel der vorliegenden
Arbeit ist es, diese Entwicklungen fortzufuhren und durch angepasste Computersimu-
lationen von der Chaostheorie inspirierte Vorstellungen zum Mechanismus des Turbu-
lenzub ergangs auszuarbeiten und zu belegen.
Methodischer Ansatz
Die Grundlage dieser Untersuchungen bildet die Abstraktion, die Rohrstr omung als
hochdimensionales nichtlineares dynamisches System aufzufassen und die Eigenschaf-
ten des entsprechenden Zustandsraums zu untersuchen. Formal bedeutet dies: Wenn ~c
einen Punkt des Zustandsraumes { also ein die Randbedingungen erfullendes Geschwin-
digkeitsfeld { beschreibt, so ist die Zeitentwicklung durch das dynamische System
@ ~c =N (~c) ;t Re
gegeben, wobei N den Navier-Stokes Operator in der gew ahlten Darstellung des Zu-Re
standsraumes beschreibt. Die L osungen dieser Gleichung { Trajektorien oder Orbits ~c(t)
{ beschreiben die Zeitentwicklung der Str omung. Die Reynoldszahl Re ist ein Parameter
des dynamischen Systems.
Im Zustandsraum der Rohrstr omung gilt es, drei Bereiche zu charakterisieren: den la-
minaren Zustand mit seinem Einzugsgebiet, den Bereich, in dem turbulente Dynamik
statt ndet sowie die Grenze zwischen diesen beiden. Ein Bereich des Zustandsraums
enth alt das zeitunabh angige parabolische Hagen-Poiseuille Pro l als laminaren Fixpunkt
des Systems. Dieser ist fur alle Reynoldszahlen linear stabil und damit von seinem At-
traktionsgebiet umgeben. Turbulente Dynamik ndet in einem anderen Bereich des
Zustandsraums statt. Nach der aktuell diskutierten Vorstellung be ndet sich in diesem
Bereich des Zustandsraumes ein chaotischer Sattel, der die komplexe turbulente Dyna-
mik erzeugt und fur dessen Existenz direkte Belege in dieser Arbeit diskutiert werden.v
Schlie lic h existieren Strukturen, die die Grenze zwischen den Einzugsgebieten des chao-
tischen Sattels und des laminaren Fixpunktes de nieren und somit den Ubergang von
laminarer zu turbulenter Str omung markieren.
Wichtige Resultate
Im folgenden sollen einige wichtige Resultate der vorliegenden Arbeit zusammengefasst
werden.
Skalierung kritischer Amplituden: Aufgrund der linearen Stabilit at der lamina-
ren Grundstr omung zerfallen in nitesimale Abweichungen vom parabolischen Hagen-
Poiseuille Pro l und es sind St orungen endlicher Amplitude erforderlich, um das Sys-
tem aus dem Attraktionsgebiet des laminaren Fixpunktes zu treiben. Die Gr o e dieser
kritischen Amplitude sinkt mit wachsender Reynoldszahl und skaliert asymptotisch wie
A 1=Re. In dieser Arbeit konnten Feinstrukturen identi ziert werden, die der expe-c
rimentell best atigten globalen Skalierung ub erlagert sind. Diese Feinstrukturen wurden
auf die Geometrie der Grenze im Zustandsraum zuruc kgefuhrt, welche Einzugsgebiete
der laminaren und der turbulenten Dynamik voneinander trennt.
Lebensdauerverteilungen und Eigenschaften des chaotischen Sattels als
Funktion der Reynoldszahl: Basierend auf der Beobachtung fraktaler Lebensdauer-
verteilungen, der Identi k ation einfacher exakter Wellenl osungen der vollen nichtlinearen
Navier-Stokes Gleichungen, sowie Untersuchungen niedrigdimensionaler Modellsysteme
ist in den vergangenen Jahren die Vorstellung entstanden, dass ein chaotischer Sattel im
Zustandsraum fur die turbulente Dynamik verantwortlich ist. Ein direkter Beleg fur die
Existenz dieses Sattels, der in dieser Arbeit diskutiert wurde, ist die Statistik des Zerfalls
turbulenter Signale. Der spontane Zerfall turbulenter Signale bei mittleren Reynolds-
zahlen fuhrt zu Lebensdauerverteilungen, die fur gro e Beobachtungszeiten exponentiell
ged ampft sind. Analog zum radioaktiven Zerfalls instabiler Atomkerne spiegelt diese ex-
ponentielle Verteilung eine konstante Zerfalls- oder Entweichrate wieder, welche eines
der wichtigsten Charakteristika eines chaotischen Sattels darstellt.
Die charakteristischen Lebensdauern turbulenter Signale { also die inverse Entweich-
rate vom chaotischen Sattel, welche als Steigung in halblogarithmischen Auftragungen
der Lebensdauerverteilung abgelesen werden kann { steigt schnell mit der Reynoldszahl
an. In bisherigen Arbeiten wurde diese Beobachtung als Hinweis auf eine Divergenz
der charakteristischen Lebensdauer bei endlicher Reynoldszahl interpretiert. Bei dieser
angenommenen ‘kritischen Reynoldszahl’ wurde der chaotische Sattel in einen Attrak-
tor ub ergehen und eine turbulente Str omung zer ele nicht mehr. Allerdings lassen sichvi
sowohl in umfangreichen numerischer Simulationen als auch in der Analyse neuer experi-
mentelle Daten von Hof [54] keine Hinweise auf diese Divergenz nden { zumindest nicht
im Reynoldszahlbereich bis ca. 2200, in dem bisherige Studien eine kritische Reynolds-
zahl bestimmt haben. Die in dieser Arbeit dargestellten Ergebnisse belegen damit die
Schlussfolgerung, dass der chaotische Sattel nicht in einen Attraktor ub ergeht, eine dy-
namische Verbindung zwischen turbulenter Str omung und laminarem Zustand erhalten
bleibt und Turbulenz in der Rohrstr omung damit ein transienter E ekt ist.
Detektion und Statistik koharenter Strukturen: Die hyperbolischen Elemente
des chaotischen Sattels { unter ihnen die instabilen Wellenl osungen { sollten als transi-
ente Str omungsmuster in turbulenten Signalen beobachtet werden k onnen. Mit Hilfe ei-
nes geeignet konstruierten Detektors konnten transiente Ann aherungen an die bekannten
instabilen Wellenl osungen in simulierter turbulenter Rohrstr omun