Stationary, axisymmetric neutron stars with meridional circulation in general relativity [Elektronische Ressource] / Reiner Birkl

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• Physik

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• Publié par: technische_universitat_munchen
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 21
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 9 Mo

Extrait

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Physik Department
Max-Planck-Institut für Astrophysik
Stationary, Axisymmetric
Neutron Stars
with Meridional Circulation
in General Relativity
Reiner Birkl
Vollständiger Abdruck der von der Fakultät für Physik der Technischen Universität
München zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)
genehmigten Dissertation.
Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr. L. Oberauer
Prüfer der Dissertation:
1. Priv.-Doz. Dr. E. Müller
2. Univ.-Prof. Dr. M. Ratz
Die Dissertation wurde am 01.12.2009 bei der Technischen Universität München ein-
gereicht und durch die Fakultät für Physik am 12.01.2010 angenommen.Contents
1. Introduction 7
1.1. The beginning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Neutron stars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4. Current state . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5. Investigation goals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6. Outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. Theory 13
2.1. Notations and conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Fields and equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4. Foliations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.1. 3+1-foliation of the whole spacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.2. 2+1-foliation of the t=const 3-surfaces . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5. Basic Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.1. Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.2. Matter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6. Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7. Ancillary fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7.1. Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7.1.1. Logarithm of 2-lapse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7.1.2. Christoffel symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7.1.3. Exterior curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.7.1.4. Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.7.1.5. Commutators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7.2. Matter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7.2.1. Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7.2.2. Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.8. Geometry equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.9. Matter equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.9.1. Energy equation as result of a parallel projection . . . . . . . . . . 25
2.9.1.1. Compact form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.9.1.2. Expanded form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.9.1.3. Analytic Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.9.2. Relativistic Euler equation as result of an orthogonal projection . 27
2.9.2.1. Compact form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.9.2.2. Expanded form of temporal component . . . . . . . . . . 28
2.9.2.3. Azimuthal component . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.9.2.4. Meridional components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3Contents
a2.9.3. Velocity v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.9.4. Equation of state . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3. Numerics 39
3.1. Basic fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2. Poisson equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1. Poisson equation for ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
a3.2.2. Poisson equations for N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.3. Poisson equation for β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
m3.2.4. Poisson equations for M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.4.1. Identification of potential and source . . . . . . . . . . . 44
3.2.4.2. Slicing condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.4.3. Rotation axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.4.4. Numerically optimally suited form of source terms . . . . 49
3.2.5. Poisson equation for α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.6. Poisson equation for χ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
3.3. Numerical grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4. Boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4.1. Ghost zone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4.2. Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5. Green functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5.1. 2-scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5.1.1. Analytic solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5.1.2. Numerical solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5.1.3. Von Neumann boundary condition . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.1.4. Dirichlet boundary condition . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.2. 3-scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5.2.1. Analytic solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5.2.2. Numerical solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5.2.3. Axisymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5.2.4. Azimuthal cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5.2.5. Vanishing surface potential . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5.3. 2-vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5.3.1. Analytic solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5.3.2. Numerical solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5.4. 3-vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5.4.1. Analytic solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5.4.2. Numerical solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6. Slicing conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.6.1. Maximal time slicing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.6.2. Conformally minimal azimuthal slicing . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.7. Final gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.7.1. Origin of the remaining gauge freedom . . . . . . . . . . . . . . . . 68
m3.7.2. Final gauge fixing of M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.7.3. Final gauge fixing of α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.8. Fixed point iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.8.1. Initial configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.8.2. Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.8.3. Removal of lower modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4Contents
4. GRNS 73
4.1. Neutron star parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2. Start screen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3. Overview screen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4. Field screen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.5. Additional features . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5. Tests 79
5.1. Resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2. Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.3. Centimeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.4. Grid radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6. Results 83
6.1. Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.2. Case f(ψ) =ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.2.1. Fundamental mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.2.2. Higher modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.3. Case f(ψ) =1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7. Conclusions 93
A. Christoffel symbols of the first kind 95
A.1. 2-surfaces Σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95tφ
A.2. 3-surfaces Σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96t
B. Derivation of correct 3-lapse equation 99
C. Geometry equations 105
C.1. Equation for ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
aC.2. Equations for N . .