Statistique asymptotique dans des mode18 eles a18 avariables latentes

Catherine Matias

Description

Statistique asymptotique dans des mod`eles `avariables latentesCatherine MatiasHabilitation a` diriger des recherches´Soutenue le 17 octobre 2008 `a l’Universit´e d’Evry-Val d’EssonneLaboratoire Statistique et G´enome (UMR CNRS 8071),´Tour Evry 2, 523 pl. des Terrasses de l’Agora,´91000 Evry, Francee-mail: [e-mail]: stat.genopole.cnrs.fr/∼cmatias12 Catherine MatiasTable des mati`eresRemerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Pr´esentation g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I S´equences:mod´elisationdelacompositionetdesprocessusd’´evolution 81 Les chaˆınes de Markov a` r´egimes Markoviens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Repr´esentations des CMRM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 D´efinition et estimation de l’ordre d’une CMRM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Donn´ees simul´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Les chaˆınes semi-Markov ...

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Extrait

Statistiqueasymptotiquedansdesmod`eles`a variables latentes

Catherine Matias

Habilitation`adirigerdesrecherches

´ Soutenuele17octobre2008a`l’Universit´ed’Evry-Vald’Essonne

LaboratoireStatistiqueetG´enome(UMRCNRS8071), ´ Tour Evry 2, 523 pl. des Terrasses de l’Agora, ´ 91000 Evry, France e-mail:[e-mail]. url:stat.genopole.cnrs.fr/∼cmatias

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2 Tabledesmatie`res

Catherine Matias

Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Pre´sentationge´ne´rale...........................................6

IS´equences:mode´lisationdelacompositionetdesprocessusd’e´volution8 1LeschaˆınesdeMarkova`r´egimesMarkoviens............................8 1.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2Repre´sentationsdesCMRM...................................10 1.3De´finitionetestimationdel’ordred’uneCMRM.......................14 1.4Donn´eessimule´es.........................................17 2Leschaınessemi-Markovcache´es...................................17 ˆ 2.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3Lesmod`elespair-Markovcache´spourmod´eliserl’´evolutiondess´equences............19 3.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2Descriptiondumod`ele......................................21 3.3 Vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.4Re´sultats.............................................24 3.5 Commentaires et conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4Mod`elesd’e´volutiondese´quencesde´pendantsducontexte.....................26 4.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2Mode`le...............................................30 4.3 Conclusions et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

IIMode`lessemiparam´etriquesdesignauxbruit´es32 5Lemod`eledeconvolution.......................................32 5.1Convolutionavec´echelledubruitinconnue..........................35 5.2Convolutionavecr´egularit´edubruitinconnue.........................38 5.3Approchege´n´eraledel’´etudedesestimateurs`anoyauconstruitspar«plug-in». . . . . . 41 5.4Testsd’ade´quationenconvolutionsemiounonparame´trique................44 6Fonctionsp´eriodiquesbruite´es,dep´eriodeinconnue.........................49

IIIGraphesale´atoires53 7Lesmotifsdanslesre´seauxbiologiques................................53 8Unmod`eledem´elangepourgraphes.................................54

Mode`lesa`variableslatentes

8.1Quelquesmode`lesdem´elangedegraphesidentifiables.................... 9Identifiabilit´edesmod`elesdem´elangepourapplicationauxmode`lesdeme´langesdegraphes.. 10Inf´erenceder´eseauxd’interaction................................... A Identifiability of latent class models with many observed variables . . . . . . . . . . . . . . . . A.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 The discrete latent class model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Kruskal’s theorem and its consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4 Finite mixtures of discrete multivariate distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.5 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Re´f´ences.................................................. er Liste des travaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Liste des co-auteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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55 59 60 63 63 66 67 69 70 73 80 82

4 Remerciements

Catherine Matias

Mesremerciementsvonttoutd’aborda`ElisabethGassiat,quiaeulabienveillancedesuivremon travailavecsuffisammentdedistancepourmelaisserm’e´panouir,maissansjamaismefermersaporte lorsque j’en ai eu besoin. Merci beaucoup Elisabeth.

JeremercieensuiteFabienneComte,SylvieHuetetAadvanderVaart,quiontaccept´ed’´ecrireun rapportsurcetravail.C’estunhonneurpourmoiquevousayezaccepte´cettetˆacheingrateetjevousen suisreconnaissante.Jeremerciee´galementLaurentCavalieretSte´phaneRobind’avoiraccepte´defaire partie des membres du jury de cette soutenance.

J’aieuleplaisirdetravailleravecdenombreusespersonnesdurantcesann´eesderecherche,etje tiensa`remerciericitousmesco-auteurs.Sanseux,cem´emoireneseraitpascequ’ilest,etj’aieuavec chacund’euxbeaucoupdeplaisir`atravailler.

´ Mesremerciementsvontensuite`aBernardPrum,quiasucr´eer`aEvryunlaboratoireo`ul’onse senttoutsimplementbien.Enfin,mesremerciementsvontauxmembrespass´esetpre´sentsdulaboratoire StatistiqueetG´enome,quiontcontribu´e`acetteambiancesiparticulie`requejeviensd’e´voquer,ainsi qu’`atouslesmembresdugroupeSSB.

Notations

Mode`lesavariableslatentes `

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Pourplusdelisibilit´e,jedresseci-dessouslalistedesnotationsetconventionsutilise´esdanscema- nuscrit. X 1:n ouX 1 n ngissalee´dabrisleteuivadeX 1 , . . . , X n . N ? emetcirtssreitne.fstisiponte´isdedesembl’ensgnel SiAest un alphabet fini,|A|naditle´dsegienoscnraA ? l’ensemble des suites finies deA. Pour touts∈ A ? , la longueur deseet´noste|s|. Pour touss, t∈ A ? , la suitesteatenndioonrct´canetbapeuotseset det. 1{A}est la fonction indicatrice de l’ensembleA. P,E´l’es´eetilitbobaedrpuserenemtuengnsi´edceansoas´ecie;P θ ,E θ ouP f ,E f des mesures de per probabilite´etlesespe´rancesassoci´ees,d´ependantd’unparam`etreθouf;P 0 ,E 0 mesesemit´tsueqnal ˆ pourlepara`etreθ 0 ouf 0 . m XqYsignifie que les variablesXetY.neadtnseepd´inntso