Statistique Inférentielle
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Description

Statistique Inf¶erentielle
Statistique Inf¶erentielle
MD3 J. Rousseau (2004-2005) Page 1 Statistique Inf¶erentielle
Chapitre 1 Outils probabilistes
I Convergence et ordre
Convergence en probabilit¶e:
P
X ¡!X () 8">0; lim P(jX ¡Xj>")=0:n n
n!1
Convergence en loi:
L
X ¡!X () 8f continue born¶ee, lim E(f(X ))=E(f(X))n n
n!1
¡ ¢ ¡ ¢
itX itXn() 8t2R; E e !E e
Convergence presque su^re:

p:s:
X ¡!X () P limsupjX ¡Xj=0 =1:n n
n!1
MD3 J. Rousseau (2004-2005) Page 2 6
Statistique Inf¶erentielle
Th¶eoreme 1.1.1.
p:s: P L
1. X ¡!X )X ¡!X )X ¡!Xn n n
P L
2. X ¡!c () X ¡!c si c est une constante.n n
L P L
3. si X ¡!X et X ¡Y ¡!0 alors Y ¡!X.n n n n
P P P
4. si X ¡!X et Y ¡!Y alors (X ;Y )¡!(X;Y).n n n n
L P L
5. si X ¡!X et Y ¡!c alors (X ;Y )¡!(X;c)n n n n
Lemme 1.1.2. (Slutsky)
L L
Si X ¡!X et Y ¡!c ou c est une constante alorsn n
L
1. X +Y ¡!X +c.n n
L
2. X Y ¡!cX:n n
L
3. X =Y ¡!X=c si c=0.n n
MD3 J. Rousseau (2004-2005) Page 3 Statistique Inf¶erentielle
Th¶eoreme 1.1.3. Soit g continue en tout point de C tel que P(X 2
p:s:L P L
C) = 1 , alors si X ¡! X (resp. ¡!, ¡!) alors g(X ) ¡! g(X)n n
p:s:P
(resp.¡!,¡!).
Remarquonsquececiimplique,sig estbornee,queEg(X )!Eg(X)cen
qui ne permet pas, par exemple d’obtenir la convergence des moments
kcar x!x est non born¶ee.
Uniforme int¶egrabilit¶e: la suite X est uniform¶ement int¶egrable sin
¡ ¢
lim limsupE jX j1 =0:n jX j>Mn
M!1 n!1
Th¶eoreme 1.1.4. (Cv des moments)
L
Soit g continue en tout point de C tel queP(X 2C)=1 et X ¡!X.n
AlorsEg(X ...

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Langue Français

Exrait

MD3
StatistiqueInf´erentielle
StatistiqueInf´erentielle
J. Rousseau4-20(20005)
Page 1
XnLX
funitrobeee´nmil,oncE(f(Xn)) =E(f(X)) n→∞ tRE¡eitXn¢E¡eitX¢
⇐⇒
I Convergence et ordre
Chapitre 1 Outils probabilistes
Page 2
StatistiqueInfe´rentielle
MD3
limP(|Xn n→∞
Co ˆ nvergence presque sure:
ε >0
X|> ε) = 0.
Convergence en loi:
XnPX⇐⇒
⇐⇒
Convergenceenprobabilite´:
µlim sup|XnX|= 0n→∞
J. Rousseau5)0020(-204
⇐⇒
P
= 1.
Xpn.s.X
Statistique Inf´rentiell e e
The´oreme1.1.1. ` p.s 1.Xn−→.XXnPXXnLX 2.XnPc⇐⇒XnLcsicest une constante. 3. siXnLXetXnYnP0 alorsYnLX. 4. siXnPXetYnPYalors (Xn Yn)P(X Y). 5. siXnLXetYnPcalors (Xn Yn)L(X c)
Lemme 1.1.2. (Slutsky) SiXnLXetYnLco`ucest une constante alors 1.Xn+YnLX+c. 2.X YLcX. n n 3.Xn/YnLX/csic6= 0.
MD3
J. Rousseau)025000-42(
Page 3
StatistiqueInf´erentielle
The´ore`me1.1.3.Soitgcontinue en tout point deCtel queP(XC) = 1 , alors siXnLX(resp.P,p.s.) alorsg(Xn)Lg(X) (resp.P,p.s.).
Remarquons que ceci implique, sigest bornee, queEg(Xn)Eg(X) ce qui ne permet pas, par exemple d’obtenir la convergence des moments carxxkontnese.´ernbo
Uniformeinte´grabilit´e:la suiteXnnttigr´eleabsitsefinu´mroneme MlimlinmsupE¡|Xn|1|Xn|>M¢= 0.
Th´eor`eme1.1.4.(Cvdesmoments) Soitgcontinue en tout point deCtel queP(XC) = 1 etXnLX. AlorsEg(Xn)Eg(X)⇐⇒(g(Xnlb.etneme´mrarge´tni))fonitues
MD3
J. Rousseau005)(2004-2
Page 4
StatistiqueInfe´rentielle
Ordreenprobabilite´
soit (gn) une suite de nombres positifs.
Xnest d’ordre plus petit quegne:t´aborilibpne
Xn=oP(gn)
si
XnP0. gn
Xnest au plus d’ordregnilitobab´e:rpne
Xn
=OP(gn)
si
ε >0MεP(|Xn| ≥Mεgn)ε.
On dit aussi queXnborn´eenprobabiltie´aprtseg
MD3
J. Rousseau002-4002(5)
n.
Page 5
>0
3.
idem pourXn=OP(fn) etYn siXn=oP(fn) etYn= 0P(gn)
XnYn=oP(fngn)
2.
=OP(gn).
oP(fngn) oP(fsn)pour s oP(max(fn gn))
XnYn |X|s n Xn+Yn
= = =
J. Rousseau(2)05204-00
MD3
Page 6
Lemme 1.1.5.
siXn=oP(fn) etYn=oP(gn) alors
1.
Corollaire 1.1.6.
1. siE(Xn2) =O(a2n) alorsXn=OP(an). 2. siE((XnE(Xn))2) =O(a2n) etE(Xn) =O(an) alorsXn=OP(an).
StatistiqueInf´erentielle
StatistiqueInfe´rentielle
D´eveloppementslimitesenprobabilite´ ´
The´ore`me1.1.7. si
Xn
=a
+OP(rn)
ou`rn0 etaune constante. continues enaalors
(resp.oP(rn))
Sigest une fonction avecserivd´e´se
g(Xn) =g(a)+g0(a)(Xna)+∙ ∙ ∙+1(Xn (s1)gs1)(a)(
MD3
(resp. oP(rns))
J. Rousseau)5002-(2004
a )s1+OP(rns)
Page 7
StatistiqueInf´erentielle
IIThe´ore`mesLimites
Lesvariablesconsid´ere´essonta`valeursdansRk.
Loi des Grands Nombres.
The´ore`me1.2.1.(LoiFaibledesGrandsNombres) Soit (Xn que i.i.d. telle) une suite de v.a.EkXnk<etEXn=µ, alors X¯n1=nXiPµ. nX i=1
Th´eor`eme1.2.2.(LoiFortedesGrandsNombres) Soit (Xn que) une suite de v.a. i.i.d. telleEkXnk<etEXn alors n Xn1=XXip.s.µ. ¯ n i=1
MD3
J. Rousseau(02402-00)5
=µ,
Page 8
StatistiqueInf´erentielle
The´ore`meCentralLimite.
The´ore`me1.2.3.(Th´eor`emeCentralLimite) SoitXnune suite de v.a. i.i.d. de moyenneµet de matrice de covariance (finie) Σ, alors
n n(X¯nµ) =1nX(Xiµ)L→ N(0Σ) i=1
ou`N(0)Σtole´dneisneagsuetruvecericeematr´edcentecnairavoced Σ.
MD3
J. Rousseau0420(2-00)5
Page 9
StatistiqueInfe´rentielle
Nouspre´sentonsensuitedeuxextensionsauxcasdev.a.inde´pendantes nonidentiquementdistribue´es(a`valeursr´eellespoursimplier).
Th´eore`me1.2.4.(Th´eore`meCentralLimite-Lindeberg) ep SoientXn´dadnesetntnecdv.esina.r´eestelsqueE|Xn|2=σn2. tonsVn=Pin=1σi2, si nlimV1ni=nX1E³Xi21{Xi>Vnε}´= 0ε >0 2
alors
Nous donnons ensuite v´eriercesconditions.
MD3
1n Vin=X1XiL→ N(01)
une condition de type
moment
J. Rousseau0520)(24-00
permettant
No-
de
Page 10
StatistiqueInf´erentielle
The´ore`me1.2.5.(The´or`emeCentralLimite-Lyapunov) SoientXnndantescentr´eesedvsa.i.dne´epsleteuqE|Xn|2=σn2. tonsVn=Pin=1σi2, si il existeδ >0 tel que 1n linmVn1+δ/2i=X1E|Xi|2+δ= 0
alors
MD3
X 1n Vin=1X
iL→ N(01)
J. Rousseau(02402-5)00
No-
Page 11
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