Statistique Inférentielle

Description

Statistique Inf¶erentielle
Statistique Inf¶erentielle
MD3 J. Rousseau (2004-2005) Page 1Statistique Inf¶erentielle
Chapitre 1 Outils probabilistes
I Convergence et ordre
Convergence en probabilit¶e:
P
X ¡!X () 8">0; lim P(jX ¡Xj>")=0:n n
n!1
Convergence en loi:
L
X ¡!X () 8f continue born¶ee, lim E(f(X ))=E(f(X))n n
n!1
¡ ¢ ¡ ¢
itX itXn() 8t2R; E e !E e
Convergence presque su^re:
¶
p:s:
X ¡!X () P limsupjX ¡Xj=0 =1:n n
n!1
MD3 J. Rousseau (2004-2005) Page 26
Statistique Inf¶erentielle
Th¶eoreme 1.1.1.
p:s: P L
1. X ¡!X )X ¡!X )X ¡!Xn n n
P L
2. X ¡!c () X ¡!c si c est une constante.n n
L P L
3. si X ¡!X et X ¡Y ¡!0 alors Y ¡!X.n n n n
P P P
4. si X ¡!X et Y ¡!Y alors (X ;Y )¡!(X;Y).n n n n
L P L
5. si X ¡!X et Y ¡!c alors (X ;Y )¡!(X;c)n n n n
Lemme 1.1.2. (Slutsky)
L L
Si X ¡!X et Y ¡!c ou c est une constante alorsn n
L
1. X +Y ¡!X +c.n n
L
2. X Y ¡!cX:n n
L
3. X =Y ¡!X=c si c=0.n n
MD3 J. Rousseau (2004-2005) Page 3Statistique Inf¶erentielle
Th¶eoreme 1.1.3. Soit g continue en tout point de C tel que P(X 2
p:s:L P L
C) = 1 , alors si X ¡! X (resp. ¡!, ¡!) alors g(X ) ¡! g(X)n n
p:s:P
(resp.¡!,¡!).
Remarquonsquececiimplique,sig estbornee,queEg(X )!Eg(X)cen
qui ne permet pas, par exemple d’obtenir la convergence des moments
kcar x!x est non born¶ee.
Uniforme int¶egrabilit¶e: la suite X est uniform¶ement int¶egrable sin
¡ ¢
lim limsupE jX j1 =0:n jX j>Mn
M!1 n!1
Th¶eoreme 1.1.4. (Cv des moments)
L
Soit g continue en tout point de C tel queP(X 2C)=1 et X ¡!X.n
AlorsEg(X ...

Sujets

• Organisation européenne de la recherche et du traitement du cancer
• Acide désoxyribonucléique
• Loisy
• Fonction digamma
• Estimation par noyau
• Valeur de la biodiversité

Informations

• Publié par: Oslou
• Nombre de lectures: 111
• Langue: Français

Extrait

0; lim P(jX ¡Xj>")=0:n nn!1Convergence en loi:LX ¡!X () 8f continue born¶ee, lim E(f(X ))=E(f(X))n nn!1¡ ¢ ¡ ¢itX itXn() 8t2R; E e !E eConvergence presque su^re:¶p:s:X ¡!X () P limsupjX ¡Xj=0 =1:n nn!1MD3 J. Rousseau (2004-2005) Page 26Statistique Inf¶erentielleTh¶eoreme 1.1.1.p:s: P L1. X ¡!X )X ¡!X )X ¡!Xn n nP L2. X ¡!c () X ¡!c si c est une constante.n nL P L3. si X ¡!X et X ¡Y ¡!0 alors Y ¡!X.n n n nP P P4. si X ¡!X et Y ¡!Y alors (X ;Y )¡!(X;Y).n n n nL P L5. si X ¡!X et Y ¡!c alors (X ;Y )¡!(X;c)n n n nLemme 1.1.2. (Slutsky)L LSi X ¡!X et Y ¡!c ou c est une constante alorsn nL1. X +Y ¡!X +c.n nL2. X Y ¡!cX:n nL3. X =Y ¡!X=c si c=0.n nMD3 J. Rousseau (2004-2005) Page 3Statistique Inf¶erentielleTh¶eoreme 1.1.3. Soit g continue en tout point de C tel que P(X 2p:s:L P LC) = 1 , alors si X ¡! X (resp. ¡!, ¡!) alors g(X ) ¡! g(X)n np:s:P(resp.¡!,¡!).Remarquonsquececiimplique,sig estbornee,queEg(X )!Eg(X)cenqui ne permet pas, par exemple d’obtenir la convergence des momentskcar x!x est non born¶ee.Uniforme int¶egrabilit¶e: la suite X est uniform¶ement int¶egrable sin¡ ¢lim limsupE jX j1 =0:n jX j>MnM!1 n!1Th¶eoreme 1.1.4. (Cv des moments)LSoit g continue en tout point de C tel queP(X 2C)=1 et X ¡!X.nAlorsEg(X ..." />

MD3

StatistiqueInf´erentielle

StatistiqueInf´erentielle

J. Rousseau4-20(20005)

Page 1

X n − L →X

∀funitrobeee´nmil,oncE(f(X n )) =E(f(X)) n→∞ ∀t∈RE ¡ e itX n ¢ →E ¡ e itX ¢

⇐⇒

I Convergence et ordre

Chapitre 1 Outils probabilistes

Page 2

StatistiqueInfe´rentielle

MD3

limP(|X n n→∞

Co ˆ nvergence presque sure:

∀ε >0

−X|> ε) = 0.

Convergence en loi:

X n − P →X⇐⇒

⇐⇒

Convergenceenprobabilite´:

µ lim sup|X n −X|= 0 ¶ n→∞

J. Rousseau5)0020(-204

⇐⇒

P

= 1.

X p n − .s → . X

Statistique Inf´rentiell e e

The´oreme1.1.1. ` p.s 1.X n −→ . X⇒X n − P →X⇒X n − L →X 2.X n − P →c⇐⇒X n − L →csicest une constante. 3. siX n − L →XetX n −Y n − P →0 alorsY n − L →X. 4. siX n − P →XetY n − P →Yalors (X n  Y n )− P →(X Y). 5. siX n − L →XetY n − P →calors (X n  Y n )− L →(X c)

Lemme 1.1.2. (Slutsky) SiX n − L →XetY n − L →co`ucest une constante alors 1.X n +Y n − L →X+c. 2.X Y− L →cX. n n 3.X n /Y n − L →X/csic6= 0.

MD3

J. Rousseau)025000-42(

Page 3

StatistiqueInf´erentielle

The´ore`me1.1.3.Soitgcontinue en tout point deCtel queP(X∈ C) = 1 , alors siX n − L →X(resp.− P →, p − .s → . ) alorsg(X n )− L →g(X) (resp.− P →,− p.s → . ).

Remarquons que ceci implique, sigest bornee, queEg(X n )→Eg(X) ce qui ne permet pas, par exemple d’obtenir la convergence des moments carx→x k ontnese.´ernbo

Uniformeinte´grabilit´e:la suiteX n nttigr´eleabsitsefinu´mroneme M li → m ∞ li n m → s ∞ upE ¡ |X n |1 |X n |>M ¢ = 0.

Th´eor`eme1.1.4.(Cvdesmoments) Soitgcontinue en tout point deCtel queP(X∈C) = 1 etX n − L →X. AlorsEg(X n )→Eg(X)⇐⇒(g(X n lb.etneme´mrarge´tni))fonitues

MD3

J. Rousseau005)(2004-2

Page 4

StatistiqueInfe´rentielle

Ordreenprobabilite´

soit (g n ) une suite de nombres positifs.

X n est d’ordre plus petit queg n e:t´aborilibpne

X n =o P (g n )

si

X n − P →0. g n

X n est au plus d’ordreg n ilitobab´e:rpne

X n

=O P (g n )

si

∀ε >0∃M ε P(|X n | ≥M ε g n )≤ε.

On dit aussi queX n born´eenprobabiltie´aprtseg

MD3

J. Rousseau002-4002(5)

n .

Page 5

>0

3.

idem pourX n =O P (f n ) etY n siX n =o P (f n ) etY n = 0 P (g n )

X n Y n =o P (f n g n )

2.

=O P (g n ).

o P (f n g n ) o P (f s n )pour s o P (max(f n  g n ))

X n Y n |X| s n X n +Y n

= = =

J. Rousseau(2)05204-00

MD3

Page 6

Lemme 1.1.5.

siX n =o P (f n ) etY n =o P (g n ) alors

1.

Corollaire 1.1.6.

1. siE(X n 2 ) =O(a 2 n ) alorsX n =O P (a n ). 2. siE((X n −E(X n )) 2 ) =O(a 2 n ) etE(X n ) =O(a n ) alorsX n =O P (a n ).

StatistiqueInf´erentielle

StatistiqueInfe´rentielle

D´eveloppementslimitesenprobabilite´ ´

The´ore`me1.1.7. si

X n

=a

+O P (r n )

ou`r n →0 etaune constante. continues enaalors

(resp.o P (r n ))

Sigest une fonction avecserivd´e´se

g(X n ) =g(a)+g 0 (a)(X n −a)+∙ ∙ ∙+ 1 ( X n (s−1) g s−1) (a)(

MD3

(resp. o P (r n s ))

J. Rousseau)5002-(2004

−a ) s−1 +O P (r n s )

Page 7

StatistiqueInf´erentielle

IIThe´ore`mesLimites

Lesvariablesconsid´ere´essonta`valeursdansR k .

Loi des Grands Nombres.

The´ore`me1.2.1.(LoiFaibledesGrandsNombres) Soit (X n  que i.i.d. telle) une suite de v.a.EkX n k<∞etEX n =µ, alors X ¯ n 1 = n X i − P →µ. n X i=1

Th´eor`eme1.2.2.(LoiFortedesGrandsNombres) Soit (X n  que) une suite de v.a. i.i.d. telleEkX n k<∞etEX n alors n X n 1 = X X i − p.s → . µ. ¯ n i=1

MD3

J. Rousseau(02402-00)5

=µ,

Page 8

StatistiqueInf´erentielle

The´ore`meCentralLimite.

The´ore`me1.2.3.(Th´eor`emeCentralLimite) SoitX n une suite de v.a. i.i.d. de moyenneµet de matrice de covariance (finie) Σ, alors

n √ n(X ¯ n −µ) = √ 1 n X (X i −µ)− L → N(0Σ) i=1

ou`N(0)Σtole´dneisneagsuetruvecericeematr´edcentecnairavoced Σ.

MD3

J. Rousseau0420(2-00)5

Page 9

StatistiqueInfe´rentielle

Nouspre´sentonsensuitedeuxextensionsauxcasdev.a.inde´pendantes nonidentiquementdistribue´es(a`valeursr´eellespoursimplifier).

Th´eore`me1.2.4.(Th´eore`meCentralLimite-Lindeberg) ep SoientX n ´dadnesetntnecdv.esina.r´eestelsqueE|X n | 2 =σ n 2 . tonsV n = P i n =1 σ i 2 , si n li → m ∞ V 1 n i= n X 1 E ³ X i 2 1 {X i >V n ε} ´ = 0∀ε >0 2

alors

Nous donnons ensuite v´erifiercesconditions.

MD3

1 n √ V i n = X 1 X i − L → N(01)

une condition de type

moment

J. Rousseau0520)(24-00

permettant

No-

de

Page 10

StatistiqueInf´erentielle

The´ore`me1.2.5.(The´or`emeCentralLimite-Lyapunov) SoientX n ndantescentr´eesedvsa.i.dne´epsleteuqE|X n | 2 =σ n 2 . tonsV n = P i n =1 σ i 2 , si il existeδ >0 tel que 1 n li n m V n 1+δ/2 i= X 1 E|X i | 2+δ = 0

alors

MD3

X 1 n √ V i n =1 X

i − L → N(01)

J. Rousseau(02402-5)00

No-

Page 11