Statistique : Résumé de cours et méthodes 1 Vocabulaire :
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Statistique : Résumé de cours et méthodes
1 Vocabulaire :
• Population : c’est l’ensemble étudié.
• Individu : c’est un élément de la population.
• Effectif total : c’est le nombre total d’individus.
• Caractère : c’est la propriété étudiée.
Ondistinguelescaractèresdiscretsquinepeuventprendrequ’unnombrefinidevaleurs(notesàundevoir...)etlescaractères
continus dont on regroupe les valeurs par intervalles (taille, durée d’écoute...).
2 Séries statistiques associées à un caractère discret
2 1 Classement des données
DÉFINITION
Onappellesériestatistiqueladonnéesimultanée(dansuntableau)desvaleursducaractèreétudié(noté x ),rangéesdansl’ordrei
croissant, et des effectifs (notés n ) de ces valeurs.i
ni
I Remarque : A la place des effectifs (n ), on peut aussi utiliser les fréquences f = (où N représente l’effectif total) ou lesi i
N
ni
fréquences en pourcentages f = ×100.i
N
I Exemple : Les notes sur 20 obtenues lors d’un devoir de mathématiques dans une classe de seconde sont les suivantes :
10, 8, 11, 9, 12, 10, 8, 10, 7, 9, 10, 11, 12, 10, 8, 9, 10, 9, 10, 11.
•Lapopulationétudiéeestlaclasseetlesindividussontlesélèves.L’effectiftotalestégalà20etlanoteobtenueaudevoirestle
caractère discret que l’on étudie.
• La série statistique définie par les effectifs est la suivante :
Valeurs du caractère (notes) x 7 8 9 10 11 12i
Effectifs (nb d’élèves ayant la note) n 1 3 4 7 3 2i
• La série statistique définie par les fréquences en pourcentage est la suivante :
Valeurs du caractère (notes) x ...

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Langue Catalan

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Statistique : RÉsumÉ de cours et mÉthodes 1Vocabulaire : Population: c’est l’ensemble tudi. Individu: c’est un lment de la population. Effectif total: c’est le nombre total d’individus. CaractÈre: c’est la proprit tudie. On distingue lescaractÈres discretsqui ne peuvent prendre qu’un nombre fini de valeurs (notes À un devoir...) et lescaractÈres continusdont on regroupe les valeurs par intervalles (taille, dure d’coute...).
2SÉries statistiques associÉes À un caractÈre discret 21Classement des donnÉes DÈFINITION On appellesÉrie statistiquela donne simultane (dans un tableau) des valeurs du caractre tudi (notxi), ranges dans l’ordre croissant, et des effectifs (notsni) de ces valeurs. ni IRemarque :A la place des effectifs (ni), on peut aussi utiliser les frquencesfi=(oÙNreprsente l’effectif total) ou les N ni frquences en pourcentagesfi=×100. N IExemple :Les notes sur 20 obtenues lors d’un devoir de mathmatiques dans une classe de seconde sont les suivantes : 10, 8, 11, 9, 12, 10, 8, 10, 7, 9, 10, 11, 12, 10, 8, 9, 10, 9, 10, 11. La population tudie est la classe et les individus sont les lves. L’effectif total est gal À 20 et la note obtenue au devoir est le caractre discret que l’on tudie. La srie statistique dfinie par les effectifs est la suivante : Valeurs du caractre (notes)xi7 8 9 10 11 12 Effectifs (nb d’lves ayant la note)ni1 3 47 3 2 La srie statistique dfinie par les frquences en pourcentage est la suivante : Valeurs du caractre (notes)xi11 129 107 8 n i Frquences en %fi=×100 5% 20% 15% 15% 35%% 10 20
22Effectifs cumulÉs DÈFINITION L’effectif cumulÉ croissantd’une valeurxest la somme des effectifs des valeursytels quey6x. L’effectif cumulÉ dÉcroissantd’une valeurxest la somme des effectifs des valeursytels quey>x. IAvec l’exemple des notes, on a : Valeursxi10 11 127 8 9 Effectif cumul croissant1 48 1518 20 ∗∗ Effectif cumul dcroissant19 1612 52 0 * : nombre d’lves ayant eu une note68 ; ** : nombre d’lves ayant eu une note>8 23ReprÉsentation graphique Pour les caractres quantitatifs discrets, on utilise lediagramme en bAton: Dans un repre orthogonal, pour chaque valeur de la srie statistique on trace un trait vertical dont la hauteur est proportionnelle
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À l’effectif (dans l’unit choisie).
IAvec l’exemple des notes :
24ParamÈtres de position a)Moyenne DÈFINITION n1x1+n2x2+∙ ∙ ∙+nkxk On appellemoyenned’une srie statistique d’effectif totalN, le relx=. N (kreprsente le nombre de valeurs prises par le caractre) IAvec l’exemple des notes, on a : Valeurs du caractrexi7 8 9 10 11 12 Effectifsni7 3 21 3 4 1×7+3×8+4×9+7×10+3×11+2×12 x= =9,7 20 IRemarques : En utilisant les frquences, on a :x=f1x1+f2x2+∙ ∙ ∙+fkxk. f1x1+f2x2+∙ ∙ ∙+fkxk Avec les frquences en pourcentages, on a :x=. 100 PROPRIÈTÈ Si on ajoute À toutes les valeurs d’une srie statistique le mme nombreb, on augmente la moyenne de cette srie parb. Si les valeurs d’une srie statistique sont multiplies ou divises par un mme nombrea, la moyenne de cette srie est aussi multiplie ou divise para. PROPRIÈTÈ Si une population d’effectifNest compose d’une partie d’effectifN1et de moyennex1et d’une autre partie d’effectifN2et de moyennex2, alors la moyennexde la population totale est telle que : N1x1+N2x2 x= N IExemple :Si dans une classe, les 15 garÇons d’une classe mesurent en moyenne 182 cm et si les 20 filles mesurent en moyenne 15×182+20×168 168 cm, alors la taille moyenne d’un lve de cette classe est gale À=174 cm. 15+20
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b)MÉdiane DÈFINITION L’ide gnrale est que la mdiane est une valeur du caractre qui partage la population en deux parties de mme effectif. De faÇon plus prcise, on appellemÉdianed’une srie statistique discrte toute valeurMdu caractre telle qu’au moins 50% des individus aient une valeur du caractre infrieure ou gale ÀMet au moins 50% des individus aient une valeur du caractre suprieure ou gale ÀM.
Recherche pratique de la mÉdiane : On range les valeurs du caractre une par une dans l’ordre croissant (chaque valeur du caractre doit apparatre un nombre de fois gal À l’effectif correspondant). Si l’effectif total est impair, la mdianeMest la valeur du caractre situe au milieu. Si l’effectif total est pair, la mdianeMest la demisomme des 2 valeurs situes au milieu. IExemple 1 : On considre la srie statistique suivante : Valeurs du caractrexi7 8 9 10 11 14 16 Effectifsni1 2 1 22 1 1 Liste des valeurs du caractre : 7 ;7 ;8 ;9 ;10 ;11 ;11 ;14 ;16 ;16 | {z } 10+11 L’effectif total est pair : la mdianeMest la demisomme des 2 valeurs situes au milieu. D’oÙ,M= =10,5. 2 IExemple 2 : On considre la srie statistique suivante : Valeurs du caractrexi6 8 9 12 13 17 Effectifsni3 1 21 3 3 Liste des valeurs du caractre : 6 ;6 ;6 ;8 ;9 ;9 ;12 ;13 ;13 ;13 ;17 ;17 ;17 |{z} L’effectif total est impair : la mdianeMest la valeur situe au milieu. D’oÙ,M=12.
25ParamÈtres de dispersion Ces paramtres permettent de mesurer la faÇon dont les valeurs du caractre sont rparties autour de la moyenne et de la mdiane.
a)ParamÈtre de dispersion associÉ À la moyenne DÈFINITION On appellevarianced’une srie statistique d’effectif totalNet de moyennex, le rel 2 22 n1(x1x) +n2(x2x) +∙ ∙ ∙+nk(xkx) V=(moyenne des carrs des carts À la moyenne) N l’Écarttypede la srie est dfini alors par :σ=V IAvec l’exemple des notes, on a x=9,7et : Valeurs du caractrexi7 8 9 10 11 12 Effectifsni1 3 47 3 2 2 2 22 2 2 1×(79,7) +3×(89,7) +4×(99,7) +7×(109,7) +3×(119,7) +2×(129,7) V= =1,71 20 σ=1,711,31
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PROPRIÈTÈ Si on ajoute À toutes les valeurs d’une srie statistique le mme nombreb, l’carttype reste inchang. Si les valeurs d’une srie statistique sont multiplies ou divises par un mme nombrea, l’carttype est multipli ou divis par |a|.
b)ParamÈtre de dispersion associÉ À la mÉdiane DÈFINITION L’ide gnrale est de partager la population en quatre parties de mme effectif. Etant donn une srie statistique de mdianeMdont la liste des valeurs est range dans l’ordre croissant(il s’agit de la mme liste que celle qu’on utilise pour dÉterminer la mÉdiane). En coupant la liste en deux soussries de mme effectif(Attention : quand l’effectif total est impair, la mÉdiane ne doit pas tre incluse dans les soussÉries): On appellepremier quartilele rel notQ1gal À la mdiane de la soussrie infrieure. On appelletroisiÈme quartilele rel notQ3gal À la mdiane de la soussrie suprieure. L’Écart interquartileest gal ÀQ3Q1. ]Q1;Q3[est appelintervalle interquartile. DÈFINITION Lediagramme en botesd’une srie statistique se construit alors de la faÇon suivante : (les valeurs du caractÈre sont en abscisse  min et max reprÉsentent les valeurs minimales et maximales du caractÈre)
IInterprÉtation : 25% de la population admet une valeur du caractre entreminetQ1 25% de la population admet une valeur du caractre entreQ1etM 25% de la population admet une valeur du caractre entreMetQ3 25% de la population admet une valeur du caractre entreQ3etmax IExemple 1 : On reprend la srie statistique suivante : Valeurs du caractrexi7 8 9 10 11 14 16 Effectifsni2 1 11 2 1 2 Liste des valeurs du caractre : z}|{ z}|{ 7 ;7 ;8 ;9 ;10 ;11 ;11 ;14 ;16 ;16 | {z }| {z } souses´uiorsiefnueer´erisuseire´sp´erieure L’effectif de chaque soussrie est impair :Q1=8 (valeur situe au milieu de la soussrie infrieure) etQ3=14 (valeur situe au milieu de la soussrie suprieure). Le diagramme en botes de la srie est le suivant :
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IExemple 2 : On reprend la srie statistique suivante : Valeurs du caractrexi6 8 9 12 13 17 Effectifsni1 3 33 1 2 Liste des valeurs du caractre : z}|{ z}| { 6 ;6 ;6 ;8 ; 9 ; 9 ; 12 ; 13 ; 13 ; 13 ; 17 ; 17 ; 17 | {z } |{z } soussousse´rie infe´rieurese´rie supe´rieure L’effectif de chaque soussrie est pair :Q1=7 (demisomme des deux valeurs situes au milieu de la soussrie infrieure) et Q3=15 (demisomme des deux valeurs situes au milieu de la soussrie suprieure). Le diagramme en botes de la srie est le suivant :
3SÉries statistiques associÉes À un caractÈre continu
31Classement des donnÉes La seule diffrence par rapport aux caractres discrets, c’est que les valeurs du caractre sont regroupes dans des intervalles (appels classes du caractre). IExemple :Temps pass devant la tlvision par 34 lves pendant une certaine journe. temps en minutes[0,15[ [15,30[ [30,60[ [60,120[ [120,180[ nombre d’lves7 58 104
32ReprÉsentation graphique
Pour la reprsentation graphique d’un caractre continu, on utilise gnralement unhistogramme: dans un repre orthogonal on porte en abscisse les valeurs des bornes des intervalles (selon l’unit choisie), puis pour chaque intervalle on trace un rectangle dontl’aire est proportionnelle À l’effectif(selon l’unit choisie).
IRemarque :En pratique, il est conseill de commencer par construire un tableau donnant la largeur et l’aire de chaque rectangle (selon les units choisies). On peut alors facilement en dduire la hauteur de chaque rectangle ce qui facilite la construction graphique de l’histogramme. 2 IPour l’exemple proposÉ cidessus :(units : en abscisse 1cmreprsente 15 min et 1cmreprsente 1 lve) temps en minutes[0,15[ [15,30[ [30,60[ [60,120[ [120,180[ 2 aire du rectangle encm7 58 104 largeur du rectangle encm1 12 44 aire hauteur du rectangle encm=7 54 2,51 largeur
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33Calcul des paramÈtres de position et de dispersion Pour calculer les diffrents paramtres d’une srie statistique associ À un caractre continu, on prend comme valeur du caractre le milieu de chaque classe. IPour l’exemple, la sÉrie devient : valeur (milieu de chaque intervalle)xi7,5 22,5 45 90 150 effectifni48 107 5 On en dduit que : 7×7,5+5×22,5+8×45+10×90+4×150 x=60 34 2 22 2 2 7×(7,560) +5×(22,560) +8×(4560) +10×(9060) +4×(15060) V≈ ≈2045 etσ(x)204545 34
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