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1 Table des matières
1 Statistique Descriptive pour Une Variable 3
1.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Étapes d’une statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Paramètres statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Paramètres de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 P de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Changement d’origine et d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4 Centrage et réduction d’un caractère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.5 Écart moyen à la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Étude Conjointe de Deux Variables 9
2.1 Série statistique double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Deux caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Nuage de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.3 Point moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Ajustement affine par une méthode graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Ajustement à la règle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...

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Langue Français

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Statistiques1
Tabledesmatières123StatistiqueDescriptivepourUneVariable1.1Présentation......................................1.1.1Étapesd'unestatistique............................1.1.2Vocabulairestatistique............................1.1.3Graphiques..................................1.2Paramètresstatistiques................................1.2.1Paramètresdeposition............................1.2.2Paramètresdedispersion...........................1.2.3Changementd'origineetd'échelle......................1.2.4Centrageetréductiond'uncaractère.....................1.2.5Écartmoyenàlamoyenne..........................ÉtudeConjointedeDeuxVariables2.1Sériestatistiquedouble................................2.1.1Deuxcaractères................................2.1.2Nuagedepoints................................2.1.3Pointmoyen.................................2.2Ajustementafneparuneméthodegraphique....................2.2.1Ajustementàlarègle.............................2.2.2DroitedeMayer...............................2.3Méthodesutilisantdesmoyennes,lissage......................2.3.1méthodedesmoyennesmobiles.......................2.3.2méthodedesmoyenneséchelonnées.....................2.3.3méthodedesmoyennesdiscontinues.....................2.4Ajustementafneparlaméthodedesmoindrescarrés................2.4.1Covarianced'unesériestatistiquedouble..................2.4.2Régressionlinéairedeyenx.........................2.4.3Régressionlinéairedexeny.........................Corrélationlinéaire3.1Coefcientdecorrélationlinéaire...........................3.2Propriétésducoefcientdecorrélationlinéaire...................3.3Exemplesdequelquescaspossibles.........................3.4Exemplederégressionexponentielle.........................3333666788999999990101010101010111112121213141
1StatistiqueDescriptivepourUneVariable1.1Présentation1.1.1Étapesd'unestatistiqueCollectedesdonnéesLesobservationssonteffectuéesauseind'unepopulation,relativementàuncaractère,lesrésultatsconstituentunesériestatistique.Parexemplelesâgesdesélèvesd'uneclasse,ouencorelesnombresd'élèvesdulycéereçusauBTSen1997...AnalysedesdonnéesIls'agitdeladéterminationdeparamètresstatistiques(effectifs,moyenne...)quipermettentdecaractériserlasériestatistique.InterprétationdesrésultatsÀl'aidedepropriétésmathématiquesetenélaborantdestestsonespèreobtenirdesindicationssufsantespouruneexploitationdesrésultats(Étudesdemarchésparexemple).1.1.2VocabulairestatistiquePopulationLapopulationestl'ensembleétudié,lesélémentsdecettepopulationsontappelésindividusouencoreunitésstatistiques.Parexemplel'étudeduparcautomobileenFranceseferasurunensembledevéhicules,lapopu-lationestcetensemble,lesindividussontlesvéhicules.ÉchantillonLorsquelapopulationestimportanteonpréfèrepréleverauhasardouentenantcomptedecertainscritères,unepartieousous-ensembledecettepopulationc'estl'échantillon.S'ilestprélevéauhasardondiraquec'estunéchantillonaléatoire.VariablestatistiqueDénition1.1Lavaleurstatistiqueouencorevaleurducaractèreestlamesureassociéeauca-ractèreaprèsavoirchoisiuneunitéquiseraprécisée.Lesdifférentesvaleursobtenuesconstituentlavariablestatistique.Parexemplelesâgesdesautomobilesdansunéchantillonseront5,2,...(années)Ondistingueradeuxtypesdevariablesstatistiquessuivantlanaturemathématiquedel'ensembledesvaleursquelecaractèreestsusceptibledeprendre.LorsquelesvaleursducaractèresontisoléesetappartiennentàunensemblenidenombresouencoreappartiennentàunensembleinnitelqueN,Z,D,Qondiraquelavariableestdiscrète.Parexemplelesâgesdesélèvesquisontdesnombresentierspositifs,maiscepourraitêtredansunautrecontexte{20;20,5;21;21,5...}quisontdesdécimaux(dontlenombredechiffresàdroitedelavirguleestni:iciauplusunchiffre).Nepasconfondrelesdécimauxetlesréelsquiontdesécrituresdécimalesillimitéesetnesontpastousdécimaux.Onconvientd'ordonnercesvaleursdansl'ordrecroissantx1<x2<x3<...Aucontraire,lorsquelavariablepeutprendren'importequellevaleurdeRoud'unintervalleréel,onditqu'elleestcontinue
Danslecasd'unevariablecontinueonréaliseunepartitiondeRoudel'intervalledeRcontenantlesvaleursdelavariableenkclassesquisontnotés[a0;a1[,[a1;a2[,...,[ai;ai+1[,...,[ak1;ak[oubien[a1;a2[,...,[ai;ai+1[,...,[ak1;ak[,[ak;ak+1[selonlecas.a+aLescentresdesclasses[ai;ai+1[sontlesréelsci=i2i+1.Effectif,fréquenceDénition1.2L'effectifdelavaleurxid'unevariableestlenombrenid'observationsdelavaleurxidanslecasdiscretoulenombred'observationsdanslaclasse[ai;ai+1[danslecascontinu.enbiologie,l'effectifestappelélafréquenceabsolue.L'effectiftotalestlenombretotald'observations,c'estlasommedetousleseffectifs.k=iN=n1+...+nk1+nk=ni.X1=iDénition1.3Lesfréquencessontlesquotientsdeseffectifsdesvaleursducaractèreoudesef-fectifsdesclassesparl'effectiftotal.nniinfi=N=Pi=ki1=iPropriété1.4Pourtoutiona0fi1.Eneffet0niii==1knietdoncendivisantparN=ii==1kniona0nNiNN=1.PPPropriété1.5Lasommedesfréquencesest1,k=i.1=fiX1=iii==1kfi=ii==1knNi=N1ii==1kni=N1N=1.PPPHistogramme:Lesairesdesrectanglesdel'histogrammedeseffectifssontproportionnellesauxeffectifsdesclasses,onneportepasd'échellesurlesecondaxelorsquelesclassesn'ontpaslamêmeamplitude.Exemple1(Voirg.1)S'ils'agitdel'histogrammedesfréquencesonagitdemême.SériestatistiqueDénition1.6Unesériestatistiqueestl'ensembledescouples(xi;ni)ou([ai;ai+1[;ni).
amplitudedelaclasse551020classe[0;5[[5;10[[10;20[[20;40[effectif4121222,5×effectif/amplitude2630,25(2,5estarbitraire)hauteurencmdurectangle2cm6cm3cm0,25cmAmplitudes6543210-5051015202530354045FIG.1–AiresetHistogrammes.Effectifscumuléscroissants,fréquencescumuléescroissantesi=tDénition1.7LetableaudeseffectifscumuléscrPoissantss'obtientenassociantàchaqueclasse[ai;ai+1[,1ik,lasommedeseffectifsνi=t=1nt=n1+n2+...+nt+...+ni.Engénéralondessinel'histogrammedeseffectifscumuléscroissantsoulepolygonedeseffectifscumuléscroissants.Ondénitdemêmelesfréquencescumuléescroissantesφi=Ptt==i1ft=νNi.Ondessineaussil'histogrammeoulepolygonedesfréquencescumuléescroissantes.Effectifscumulésdécroissants,fréquencescumuléesdécroissantesSedénissentd'unema-nièresemblableauxeffectifsouauxfréquencescumuléscroissants.Exemple2Danslecasdiscret(Fig.2)effectifsνi0=tt==iknt=ni+...+nt+...+nk.Exemple3VaPriablecontinue.Àchaqueclasse[ai;ai+1[,1ik,onassocielasommedes1.1.3GraphiquesLesprincipauxgraphiquessontLorsquelavariableestdiscrèteoudiscontinue:lediagrammeenbâtons,lepolygonedeseffectifsoulepolygonedesfréquences.Lorsquelavariableestcontinue:l'histogramme(lesairesdesrectanglesdel'histogrammedeseffectifssontproportionnellesauxeffectifsdesclasses).1.2Paramètresstatistiques1.2.1ParamètresdepositionDominanteoumode
xi1234567Totauxni23486225fi00,080,120,160,320,240,081fréquencescumuléescroissantes00,0080,20,360,600,921fréquencescumuléesdécroissantes10,920,80,640,320,08018.06.004.2.001234567FIG.2–Fréquencescumulées.Dénition1.8Lorsquelavariableestdiscrète,unedominanteoumodeestunevaleurducarac-tèrequicorrespondàuneffectifmaximum,lasérieestunimodale,bimodale...lorsquelenombredemodesest1,2...Lorsquelavariableestcontinue,uneclassemodalecorrespondraàuneffectifmaximum.Remarque1L'existencedeplusieursmodespeutpermettredesuspecteroudemettreenévidencel'existenceauseindelapopulationdeplusieurssous-populationsd'originesdifférentes.MoyenneDénition1.9Lorsquelavariableestdiscrètelamoyennex¯delasériestatistiqueestlamoyennepondéréePii==1knixin1x1+n2x2+∙∙∙+nkxki=1niNx¯=Pi=k=.Lorsquelavariableestcontinuelamoyenneestk=iPx¯=Pi=1niciii==1knioùlesci=ai+ai+1sontlescentresdesclasses.2MédianeDénition1.10Lamédianeestlavaleurduparamètrextellequelamoitiédel'effectiftotalcorrespondàlafoisauxvaleursduparamètreinférieuresetauxvaleursduparamètresupérieuresàlamédiane.Propriété1.11Lamédianeestl'abscissedupointd'intersectiondespolygonesdeseffectifscu-muléscroissantsetdécroissants.L'ordonnéedupointd'intersectiondesdeuxpolygonesest2N.
Lorsquelavariableestcontinueetquelavaleurdelamédianesetrouvedanslaclasse[ai;ai+1[,lesvaleursdesfréquencescumuléescroissantessontφipourl'ensembledesclassesprécédentesetensuiteφi+1=φi+fi(enajoutantlafréquencefidelaclassecourante[ai;ai+1[),alorsφi0,5φi+1etlamédianemsecalculeparinterpolationlinéaire:mai=(ai+1φai)(0φ,5φi)quisei1+isimplieenei(0,5φi)+a=mifiei=ai+1aiestl'amplitudedelaclasse[ai;ai+1[.EnutilisantleseffectifscumulésonauraitNeim=ai+νi.2ni1.2.2ParamètresdedispersionVarianceDénition1.12Lorsquelavariableestdiscrète,lavarianceestk=ii=1ni(xix¯)2PniV=Pi=k.1=iLorsquelavariableestcontinue,lavarianceestk=ii=1ni(cix¯)2PniV=Pi=k1=ioùlescisontlescentresdesclasses.Propriété1.13Lavarianceestpositiveounulle:V0.Propriété1.14Lorsquelavariableestdiscrète,lavarianceesti=knx2Pii==k1niV=Pi=1iix¯2.Lorsquelavariableestcontinue,lavarianceestk=i2PV=Pi=1nicix¯2ii==1knioùlescisontlescentresdesclasses.Écart-typeDénition1.15L'écart-typedelasériestatistiqueestσ=V.Lorsquel'étudeportesurunéchantillondelapopulation,dontlamoyennex¯n'estpasconnue,onconstatequelavarianceetl'écart-typecalculésparlesformulesprécédentessontinférieursauxvaleursréellesetonutiliseladénitionsuivantedel'écart-typed'unéchantillondetailleNd'unepopulationdegrandetaille(parrapportàN).
Dénition1.16l'écart-typed'échantillonestk=ivXuσN1=t1ni(xix¯)2N1i=1Nestlatailledel'échantillon.Remarque2Surlacalculatriceonpeutvérierquenrσn1=n1σnnestl'effectiftotal.1.2.3Changementd'origineetd'échelleSoitunevariablestatistiquexdontlesvaleursducaractèresontnotéesxi,1ik,avecdeseffectifsnidesommeNetsoientdeuxréelsαetβ,onpeutalorsdénirunevariablestatistiqueydontlesvaleursducaractèresontlesyi=αxi+βaveclesmêmeseffectifsni.Propriété1.17Aveclesnotationsci-dessus,ona:y¯=αx¯+β,σy=|α|σxx¯,y¯sontlesvaleursmoyennesetσx,σylesécarts-typesdesdeuxvariables.y¯=N1niyi=N1(αnixi+β)=N1((αnixi+))=αN1nixi+β=αx¯+β.PPPPσy2=1Pni(yiy¯)2=1Pni(αxi+βαx¯β)2=1Pα2ni(xix¯)2=α21Pni(xix¯)2=22NNNN.σαxExemple4Utilisationduchangementdevariablepourlecalculd'unemoyenne.xi7.17.27.58.48.68.99ni1236431yi=10xi8098546910y¯=91615+2204+24+27+10=2405=2,25doncx¯=2,2150+80=8,225.Exemple5Sérieparticulièrexi34567ni12421yi=xi521012Lecalculy¯=0estimmédiatd'oùx¯=5.σy2=110(4+2+2+4)02=1,6doncσx=σy=1,61,26.
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