Statistiques

Description

Statistiques
1Table des matières
1 Statistique Descriptive pour Une Variable 3
1.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Étapes d’une statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Paramètres statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Paramètres de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 P de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Changement d’origine et d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4 Centrage et réduction d’un caractère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.5 Écart moyen à la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Étude Conjointe de Deux Variables 9
2.1 Série statistique double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Deux caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Nuage de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.3 Point moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Ajustement affine par une méthode graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Ajustement à la règle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...

Sujets

• Population des provinces italiennes
• Régression linéaire multiple
• Barycentre (physique)
• Nuage de points
• Pyramides de Gizeh et constellation d'Orion
• Covariance et contravariance

Informations

• Publié par: Zunik
• Nombre de lectures: 70
• Langue: Français

Extrait

Statistiques 1

Tabledesmatières 1 2 3 StatistiqueDescriptivepourUneVariable 1.1Présentation...................................... 1.1.1Étapesd'unestatistique............................ 1.1.2Vocabulairestatistique............................ 1.1.3Graphiques.................................. 1.2Paramètresstatistiques................................ 1.2.1Paramètresdeposition............................ 1.2.2Paramètresdedispersion........................... 1.2.3Changementd'origineetd'échelle...................... 1.2.4Centrageetréductiond'uncaractère..................... 1.2.5Écartmoyenàlamoyenne.......................... ÉtudeConjointedeDeuxVariables 2.1Sériestatistiquedouble................................ 2.1.1Deuxcaractères................................ 2.1.2Nuagedepoints................................ 2.1.3Pointmoyen................................. 2.2Ajustementafneparuneméthodegraphique.................... 2.2.1Ajustementàlarègle............................. 2.2.2DroitedeMayer............................... 2.3Méthodesutilisantdesmoyennes,lissage...................... 2.3.1méthodedesmoyennesmobiles....................... 2.3.2méthodedesmoyenneséchelonnées..................... 2.3.3méthodedesmoyennesdiscontinues..................... 2.4Ajustementafneparlaméthodedesmoindrescarrés................ 2.4.1Covarianced'unesériestatistiquedouble.................. 2.4.2Régressionlinéairede y en x ......................... 2.4.3Régressionlinéairede x en y ......................... Corrélationlinéaire 3.1Coefcientdecorrélationlinéaire........................... 3.2Propriétésducoefcientdecorrélationlinéaire................... 3.3Exemplesdequelquescaspossibles......................... 3.4Exemplederégressionexponentielle......................... 3 3 3 3 6 6 6 7 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 01 01 01 01 01 01 01 11 11 21 21 21 31 41

1StatistiqueDescriptivepourUneVariable 1.1Présentation 1.1.1Étapesd'unestatistique CollectedesdonnéesLesobservationssonteffectuéesauseind'unepopulation,relativementà uncaractère,lesrésultatsconstituentunesériestatistique. Parexemplelesâgesdesélèvesd'uneclasse,ouencorelesnombresd'élèvesdulycéereçusau BTSen1997... AnalysedesdonnéesIls'agitdeladéterminationdeparamètresstatistiques(effectifs,moyenne ...)quipermettentdecaractériserlasériestatistique. InterprétationdesrésultatsÀl'aidedepropriétésmathématiquesetenélaborantdestestson espèreobtenirdesindicationssufsantespouruneexploitationdesrésultats(Étudesdemarchés parexemple). 1.1.2Vocabulairestatistique PopulationLapopulationestl'ensembleétudié,lesélémentsdecettepopulationsontappelés individusouencoreunitésstatistiques. Parexemplel'étudeduparcautomobileenFranceseferasurunensembledevéhicules,lapopu- lationestcetensemble,lesindividussontlesvéhicules. ÉchantillonLorsquelapopulationestimportanteonpréfèrepréleverauhasardouentenant comptedecertainscritères,unepartieousous-ensembledecettepopulationc'estl'échantillon. S'ilestprélevéauhasardondiraquec'estunéchantillonaléatoire. Variablestatistique Dénition1.1Lavaleurstatistiqueouencorevaleurducaractèreestlamesureassociéeauca- ractèreaprèsavoirchoisiuneunitéquiseraprécisée. Lesdifférentesvaleursobtenuesconstituentlavariablestatistique. Parexemplelesâgesdesautomobilesdansunéchantillonseront 5 , 2 ,...(années) Ondistingueradeuxtypesdevariablesstatistiquessuivantlanaturemathématiquedel'ensemble desvaleursquelecaractèreestsusceptibledeprendre. Lorsquelesvaleursducaractèresontisoléesetappartiennentàunensemblenidenombresou encoreappartiennentàunensembleinnitelque N , Z , D , Q ondiraquelavariableestdiscrète. Parexemplelesâgesdesélèvesquisontdesnombresentierspositifs,maiscepourraitêtredansun autrecontexte {20;20 , 5;21;21 , 5 ... } quisontdesdécimaux(dontlenombredechiffresàdroite delavirguleestni:iciauplusunchiffre). Nepasconfondrelesdécimauxetlesréelsquiontdesécrituresdécimalesillimitéesetnesontpastous décimaux. Onconvientd'ordonnercesvaleursdansl'ordrecroissant x 1 <x 2 <x 3 <... Aucontraire,lorsquelavariablepeutprendren'importequellevaleurde R oud'unintervalleréel, onditqu'elleestcontinue

Danslecasd'unevariablecontinueonréaliseunepartitionde R oudel'intervallede R contenant lesvaleursdelavariableen k classesquisontnotés [ a 0 ; a 1 [ , [ a 1 ; a 2 [ ,..., [ a i ; a i +1 [ ,..., [ a k − 1 ; a k [ ou bien [ a 1 ; a 2 [ ,..., [ a i ; a i +1 [ ,..., [ a k − 1 ; a k [ , [ a k ; a k +1 [ selonlecas. a + aLescentresdesclasses [ a i ; a i +1 [ sontlesréels c i = i 2 i+1 . Effectif,fréquence Dénition1.2L'effectifdelavaleur x i d'unevariableestlenombre n i d'observationsdelavaleur x i danslecasdiscretoulenombred'observationsdanslaclasse [ a i ; a i +1 [ danslecascontinu. enbiologie,l'effectifestappelélafréquenceabsolue. L'effectiftotalestlenombretotald'observations,c'estlasommedetousleseffectifs. k = i N = n 1 + ... + n k − 1 + n k = n i . X 1= i Dénition1.3Lesfréquencessontlesquotientsdeseffectifsdesvaleursducaractèreoudesef- fectifsdesclassesparl'effectiftotal. nn ii n f i = N = P i = k i 1= i Propriété1.4Pourtout i ona 0≤ f i ≤1 . Eneffet 0≤ n i ≤ i i = = 1 k n i etdoncendivisantpar N = i i = = 1 k n i ona 0≤ n N i ≤ N N =1 . PP Propriété1.5Lasommedesfréquencesest 1 , k = i . 1= f i X 1= i i i = = 1 k f i = i i = = 1 k n N i = N 1 i i = = 1 k n i = N 1 N =1 . PPP Histogramme:Lesairesdesrectanglesdel'histogrammedeseffectifssontproportionnellesaux effectifsdesclasses,onneportepasd'échellesurlesecondaxelorsquelesclassesn'ontpasla mêmeamplitude. Exemple1(Voirg.1) S'ils'agitdel'histogrammedesfréquencesonagitdemême. Sériestatistique Dénition1.6Unesériestatistiqueestl'ensembledescouples ( x i ; n i ) ou ([ a i ; a i +1 [; n i ) .

amplitudedelaclasse 551020 classe [0;5[[5;10[[10;20[[20;40[ effectif 412122 2 , 5× effectif/amplitude 2630 , 25 ( 2 , 5 estarbitraire) hauteurencmdurectangle 2 cm 6 cm 3 cm 0 , 25 cm Amplitudes 6 5 4 3 2 1 0 -5051015202530354045 F IG .1–AiresetHistogrammes. Effectifscumuléscroissants,fréquencescumuléescroissantes i = t Dénition1.7Letableaudeseffectifscumuléscr P oissantss'obtientenassociantàchaqueclasse [ a i ; a i +1 [ , 1≤ i ≤ k ,lasommedeseffectifs ν i = t =1 n t = n 1 + n 2 + ... + n t + ... + n i . Engénéralondessinel'histogrammedeseffectifscumuléscroissantsoulepolygonedeseffectifs cumuléscroissants. Ondénitdemêmelesfréquencescumuléescroissantes φ i = P t t = = i 1 f t = ν N i .Ondessineaussi l'histogrammeoulepolygonedesfréquencescumuléescroissantes. Effectifscumulésdécroissants,fréquencescumuléesdécroissantesSedénissentd'unema- nièresemblableauxeffectifsouauxfréquencescumuléscroissants. Exemple2Danslecasdiscret(Fig.2) effectifs ν i 0= t t = = i k n t = n i + ... + n t + ... + n k . Exemple3Va P riablecontinue.Àchaqueclasse [ a i ; a i +1 [ , 1≤ i ≤ k ,onassocielasommedes 1.1.3Graphiques Lesprincipauxgraphiquessont Lorsquelavariableestdiscrèteoudiscontinue:lediagrammeenbâtons,lepolygonedeseffectifs oulepolygonedesfréquences. Lorsquelavariableestcontinue:l'histogramme(lesairesdesrectanglesdel'histogrammedes effectifssontproportionnellesauxeffectifsdesclasses). 1.2Paramètresstatistiques 1.2.1Paramètresdeposition Dominanteoumode

x i 1234567 Totaux n i 23486225 f i 00 , 080 , 120 , 160 , 320 , 240 , 081 fréquencescumuléescroissantes 00 , 0080 , 20 , 360 , 600 , 921 fréquencescumuléesdécroissantes 10 , 920 , 80 , 640 , 320 , 080 1 8.0 6.0 04. 2.0 0 1234567 F IG .2–Fréquencescumulées. Dénition1.8Lorsquelavariableestdiscrète,unedominanteoumodeestunevaleurducarac- tèrequicorrespondàuneffectifmaximum,lasérieestunimodale,bimodale...lorsquelenombre demodesest 1 , 2 ... Lorsquelavariableestcontinue,uneclassemodalecorrespondraàuneffectifmaximum. Remarque1L'existencedeplusieursmodespeutpermettredesuspecteroudemettreenévidence l'existenceauseindelapopulationdeplusieurssous-populationsd'originesdifférentes. Moyenne Dénition1.9Lorsquelavariableestdiscrètelamoyenne x ¯ delasériestatistiqueestlamoyenne pondérée P i i = = 1 k n i x i n 1 x 1 + n 2 x 2 +∙∙∙+ n k x k i =1 n i N x ¯= P i = k = . Lorsquelavariableestcontinuelamoyenneest k = i P x ¯= P i =1 n i c i i i = = 1 k n i oùles c i = a i + a i+1 sontlescentresdesclasses. 2 Médiane Dénition1.10Lamédianeestlavaleurduparamètre x tellequelamoitiédel'effectiftotal correspondàlafoisauxvaleursduparamètreinférieuresetauxvaleursduparamètresupérieures àlamédiane. Propriété1.11Lamédianeestl'abscissedupointd'intersectiondespolygonesdeseffectifscu- muléscroissantsetdécroissants.L'ordonnéedupointd'intersectiondesdeuxpolygonesest 2 N .

Lorsquelavariableestcontinueetquelavaleurdelamédianesetrouvedanslaclasse [ a i ; a i+1 [ , lesvaleursdesfréquencescumuléescroissantessont φ i pourl'ensembledesclassesprécédentes etensuite φ i +1 = φ i + f i (enajoutantlafréquence f i delaclassecourante [ a i ; a i +1 [ ),alors φ i ≤ 0 , 5≤ φ i +1 etlamédiane m secalculeparinterpolationlinéaire: m − a i = ( a i+1 φ − a i ) − (0 φ , 5 − φ i ) quise i1+i simplieen e i (0 , 5− φ i ) + a = m i f i où e i = a i +1 − a i estl'amplitudedelaclasse [ a i ; a i +1 [ . Enutilisantleseffectifscumulésonaurait Ne i  m = a i +− ν i . 2 n i 1.2.2Paramètresdedispersion Variance Dénition1.12Lorsquelavariableestdiscrète,lavarianceest k = i i =1 n i ( x i − x ¯) 2 P n i V = P i = k . 1= i Lorsquelavariableestcontinue,lavarianceest k = i i =1 n i ( c i − x ¯) 2 P n i V = P i=k 1= i oùles c i sontlescentresdesclasses. Propriété1.13Lavarianceestpositiveounulle: V ≥0 . Propriété1.14Lorsquelavariableestdiscrète,lavarianceest i = k nx 2 P i i = = k 1 n i V = P i =1 i i − x ¯ 2 . Lorsquelavariableestcontinue,lavarianceest k = i 2 P V = P i =1 n i c i − x ¯ 2 i i = = 1 k n i oùles c i sontlescentresdesclasses. Écart-type √ Dénition1.15L'écart-typedelasériestatistiqueest σ = V. Lorsquel'étudeportesurunéchantillondelapopulation,dontlamoyenne x ¯ n'estpasconnue,on constatequelavarianceetl'écart-typecalculésparlesformulesprécédentessontinférieursaux valeursréellesetonutiliseladénitionsuivantedel'écart-typed'unéchantillondetaille N d'une populationdegrandetaille(parrapportà N ).

Dénition1.16l'écart-typed'échantillonest k = i v Xu σ N − 1 = t 1 n i ( x i − x ¯) 2 N −1 i =1 où N estlatailledel'échantillon. Remarque2Surlacalculatriceonpeutvérierque n r σ n − 1 = n −1 σ n où n estl'effectiftotal. 1.2.3Changementd'origineetd'échelle Soitunevariablestatistique x dontlesvaleursducaractèresontnotées x i , 1≤ i ≤ k ,avecdes effectifs n i desomme N etsoientdeuxréels α et β ,onpeutalorsdénirunevariablestatistique y dontlesvaleursducaractèresontles y i = αx i + β aveclesmêmeseffectifs n i . Propriété1.17Aveclesnotationsci-dessus,ona: y ¯= αx ¯+ β,σ y =| α | σ x où x ¯ , y ¯ sontlesvaleursmoyenneset σ x , σ y lesécarts-typesdesdeuxvariables. y ¯= N 1 n i y i = N 1 ( αn i x i + β )= N 1 (( αn i x i + Nβ ))= α N 1 n i x i + β = αx ¯+ β . PPPP σ y 2 = 1 P n i ( y i − y ¯) 2 = 1 P n i ( αx i + β − αx ¯− β ) 2 = 1 P α 2 n i ( x i − x ¯) 2 = α 21 P n i ( x i − x ¯) 2 = 22 NNNN . σα x Exemple4Utilisationduchangementdevariablepourlecalculd'unemoyenne. x i 7 . 17 . 27 . 58 . 48 . 68 . 99 n i 1236431 y i =10 x i −80−9−8−546910 y ¯= − 9 − 16 − 15+ 2 2 0 4+24+27+10 = 2 4 0 5 =2 , 25 donc x ¯= 2 , 2 1 5 0 +80 =8 , 225 . Exemple5Sérieparticulière x i 34567 n i 12421 y i = x i −5−2−1012 Lecalcul y ¯=0 estimmédiatd'où x ¯=5 . σ y 2 = 1 1 0 (4+2+2+4)−0 2 =1 , 6 donc σ x = σ y = √ 1 , 6≈1 , 26 .