Stone spectra of von Neumann algebras and foundation of quantum theory [Elektronische Ressource] / von Andreas Döring

Sujets

• Mathematics
• Physik

Informations

• Publié par: goethe_universitat_frankfurt_am_main
• Publié le: 01 janvier 2005
• Nombre de lectures: 23
• Langue: English

Extrait

Stone spectra of von Neumann algebras
and foundations of quantum theory
Dissertation
zur Erlangung des Doktorgrades
der Naturwissenschaften
vorgelegt beim Fachbereich Mathematik
der Johann Wolfgang Goethe-Universit¨at
in Frankfurt am Main
von
Andreas D¨oring
aus Bad Orb
Frankfurt 2004
(D F 1)vom Fachbereich Mathematik der
Johann Wolfgang Goethe-Universit¨at als Dissertation angenommen.
Dekan: Prof. Dr. K. Johannson
Gutachter: Prof. Dr. H. F. de Groote, Prof. Dr. J. Weidmann
Datum der Disputation:
IIFur¨ Verena
IIIContents
1. Introduction 1
2. Foundations − Stone spectra and observable functions 4
2.1. Notations and conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1. Table of symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2. Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3. Points and quasipoints of a lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4. The Stone spectrum of a lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.1. Some topological notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.2. Definition and topological properties of the Stone spectrum . . . . . 14
2.5. Presheaves and sheaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6. Generalization to categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7. Observable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7.1. Definition and basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.7.2. Abstract characterization of observable functions . . . . . . . . . . 27
2.8. Abelian von Neumann algebras, Boolean quasipoints and sectors . . . . . . 30
2.8.1. Stone spectrum and Gelfand spectrum of an abelian von Neumann
algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.8.2. Observable functions and the Gelfand representation . . . . . . . . 33
2.8.3. “Economic” representation of an abelian von Neumann algebra. . . 35
2.8.4. On the universality of the Stone spectraQ(B) . . . . . . . . . . . . 37
2.9. Classical and quantum observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.10.Some basic results. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.10.1. The Stone spectrum ofL(H). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.10.2. The Stone spectrum of a finite direct sum of von Neumann algebras 42
2.10.3. The action of the unitary group on the Stone spectrumQ(R) . . . 44
3. Stone spectra of finite von Neumann algebras 45
3.1. Abelian quasipoints of von Neumann algebras . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2. The Stone spectrum of a type I von Neumann algebra . . . . . . . . . . . 49n
3.2.1. Hilbert modules and the projections E . . . . . . . . . . . . . . . . 50a
3.2.2. The modules aA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
n3.2.3. The equivalence relation onA and abelian quasipoints ofP(M (A)) 62n
3.3. The Stone spectrum of a type II factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651
3.3.1. Boolean quasipoints of a type II factor . . . . . . . . . . . . . . . 701
IV4. First applications to physics 72
4.1. Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2. The harmonic oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3. Expectation values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3.1. Expectation values as germs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3.2. Expectation values and observable functions . . . . . . . . . . . . . 75
4.4. Time evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5. The Kochen-Specker theorem 77
5.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2. The new proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2.1. Valuation functions and quasi-states . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2.2. Type I factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86n
5.2.3. Von Neumann algebras without type I summand . . . . . . . . . . 872
5.3. The presheaf perspective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.4. Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
A. Index and bibliography 95
VEinleitung
Eine Art Lied
Lass die Schlange warten unter
ihrem Unkraut
und das Schreiben
sei von Worten, sacht und schnell, scharf
zu treffen, still zu warten,
schlaflos.
-durch Metapher zu vers¨ohnen
die Menschen und die Steine.
Verfass’. (Ideen gibt’s
nur in den Dingen) Erfind’!
Steinbrech, meine Blume, sie spaltet
1Fels.
William Carlos Williams
Ideengibt’snurindenDingen−esk¨onntekeinknappereseinleitendesMottofur¨ eineAr-
beitinMathematischerPhysikgeben. NichtalleMathematikhatphysikalischeBedeutung
und Auswirkung, doch nahmen ganz offensichtlich viele der sch¨onsten und erfolgreichsten
mathematischen Entwicklungen ihren Ausgang von physikalischen Betrachtungen, vom
Betrachten der Dinge.
In seinem Gedicht spricht W. C. Williams wohl von der Arbeit eines Dichters, oder
genauerdavon,waseralsdieAufgabeeinesDichterssieht,dochistesverbluff¨ end,wienahe
er der Beschreibung der Aufgabe eines Physikers and Mathematikers kommt (zumindest
eines Mathematikers mit Interesse an Physik): ausgehend von den Dingen gewinne die
Ideen durch Komponieren und Erfinden. Dies ist die Herausforderung, der sich sowohl
ein Kuns¨ tler als auch ein Wissenschaftler in der Arbeit mit ihrem Material stellen mussen,¨
undoffenbaristmehrgemeintalsdieMethodederInduktion: “Erfind’!”unterscheidetsich
deutlich von Newtons “hypotheses non fingo”; die Ideen wohnen den Dingen inne, aber sie
sind nicht dasselbe wie die Dinge, noch k¨onnen sie einfach aus ihnen gelesen werden.
1¨Ubersetzung vom Verfasser. Original siehe Kapitel 1, “Introduction”.
VIAndererseits(ub¨ erflus¨ sig,diesMathematikernzuerkl¨aren,)gibteseinelangeundfrucht-
bare Tradition in der Wissenschaft, bei der das Augenmerk nicht auf der realen Welt liegt,
sondern auf der guten Form. In der Mathematik war dies immer eine der wichtigsten
treibenden Kr¨afte, aber diese Haltung ist auch der modernen Physik nicht fremd. Ein
Grund hierfur¨ ist, dass unsere jetzigen physikalischen Theorien zu erfolgreich sind. Das
gilt in dem Sinn, dass es praktisch keine Experimente gibt, die die Grenzen dieser The-
orien aufzeigen. Dabei handelt es sich um die Allgemeine Relativit¨at zur Beschreibung
der Gravitation und um das Standardmodell der Teilchenphysik, das die ubrigen¨ drei
fundamentalen Kr¨afte beschreibt. Heute versucht man in der Grundlagenphysik, diese
extrem genauen Theorien zu ub¨ erwinden und sie in eine gr¨oßere Theorie einzuschließen,
die omin¨ose Theorie der Quantengravitation oder gar Theorie fur¨ Alles. Da es zum ersten
Mal in der Geschichte der Physik keine experimentellen Vorgaben gibt, muss man sich
anderen Kriterien wie guter Form, Sch¨onheit und struktureller Reichhaltigkeit zuwenden.
Naturlic¨ h haben diese immer eine große Rolle gespielt, aber heute sind sie gleichsam zur
einzigen Richtschnur geworden.
In der Physik bleibt das Ergebnis recht ernuc¨ hternd, trotz harter Arbeit sind die Fort-
schritte klein. Es gibt einige faszinierende mathematische Ableger aus der theoretischen
Physik,aberdieGemeinde,dieanPhysikjenseitsdesStandardmodellsarbeitet,hatbisher
nur eine sehr geringe Anzahl physikalischer Vorhersagen hervorgebracht, die in absehbarer
Zukunft experimentell ub¨ erprufbar¨ sein werden.
Betrachtet man diese Zug¨ange zu einer weiterfuhr¨ enden Theorie, dr¨angt sich der Ein-
druck auf, dass das Problem viel eher in der Quantentheorie liegt als in der Relativitats-¨
theorie. Ist eine Theorie der Quantengravitation das ultimative Ziel in der Grundlagen-
physik, dannmussen¨ wirsicherdieQuantentheoriewesentlichbesserverstehen. WieFuchs
angemerkt hat [Fuc03], gab es nie Konferenzen zur Bedeutung und Interpretation der Re-
lativit¨atstheorie, jedoch eine unaufh¨orliche Reihe solcher Konferenzen zur Quantentheorie.
Der hier gew¨ahlte Zugang besteht darin, wieder einige elementarere Punkte der Quan-
tentheorie zu betrachten. Es mag sogar schwieriger sein, Fortschritte beim Verst¨andnis
dieser elementaren Fragen zu erzielen, als eine spekulative Theorie der Quantengravitation
zu entwickeln, doch haben wir so wenigstens die Chance zu wissen, wann wir falsch liegen.
Ausgehend von mathematischen Konzepten, die von der Physik unabh¨angig sind, wird ein
neuer mathematischer Blick auf einige der elementaren Begriffe der Quantentheorie ent-
wickelt. DiehierdargestelltenBetrachtungenfußennichtaufirgendwelchenunub¨ erpruften¨
physikalischen Annahmen oder vorl¨aufigen Theorien, sondern auf der Mathematik, die
allenerfolgreichenundetabliertenQuantentheorienzugrundeliegt: Hilbertraum-Techniken
und Operator-Algebren. Ein weiterer wichtiger mathematischer Bestandteil ist die Ver-
bandstheorie. Es liegt anscheinend eine Menge mathematischer Struktur in der Quanten-
theorie verborgen, die bisher nicht betrachtet worden ist. Hier stellen wir keine g¨anzlich<