Superfluid and antiferromagnetic phases in ultracold fermionic quantum gases [Elektronische Ressource] / Tobias Gottwald

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• Publié le: 01 janvier 2010
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Superfluid and Antiferromagnetic
phases in Ultracold Fermionic
Quantum Gases
D I S S E R T A T I O N
zur Erlangung des Grades
“Doktor der Naturwissenschaften”
am Fachbereich Physik, Mathematik und Informatik
der Johannes Gutenberg-Universitat¨
in Mainz
Tobias Gottwald
geb. in Mainz
Mainz, den 27.08.2010
(D77)Abstract
In this thesis several models are treated, which are relevant for ultracold fermionic quantum
gasesloadedontoopticallattices. Inparticular,imbalancedsuperfluidFermimixtures,which
are considered as the best way to realize Fulde-Ferrell-Larkin-Ovchinnikov (FFLO) states
experimentally, and antiferromagnetic states, whose experimental realization is one of the
next major goals, are examined analytically and numerically with the use of appropriate
versions of the Hubbard model.
The usual Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) superconductor is known to break down in a
magnetic fieldwithastrengthexceedingthesizeof thesuperfluidgap. Aspatially inhomoge-
neousspin-imbalancedsuperconductorwithacomplexorderparameterknownasFFLO-state
is predicted to occur in translationally invariant systems. Since in ultracold quantum gases
the experimental setups have a limited size and a trapping potential, we analyze the realistic
situation of a non-translationally invariant finite sized Hubbard model for this purpose. We
first argue analytically, why the order parameter should be real in a system with continuous
coordinates, and map our statements onto the Hubbard model with discrete coordinates de-
finedon a lattice. The relevantHubbardmodel is then treated numerically within mean field
theory. We show that the numerical results agree with our analytically derived statements
and we simulate various experimentally relevant systems in this thesis.
Analogous calculations are presented for the situation at repulsive interaction strength
where the N´eel state is expected to be realized experimentally in the near future. We map
our analytical results obtained for the attractive model onto corresponding results for the
repulsive model. We obtain a spatially invariant unit vector defining the direction of the
order parameter as a consequence of the trapping potential, which is affirmed by our mean
fieldnumericalresultsfortherepulsivecase. Furthermore,weobservedomainwallformation,
antiferromagnetically induced density shifts, and we show the relevant role of spin-imbalance
for antiferromagnetic states.
Since the first step for understanding the physics of the examined models was the ap-
plication of a mean field approximation, we analyze the effect of including the second order
terms of the weak coupling perturbation expansion for the repulsive model. We show that
our results survive the influence of quantum fluctuations and show that the renormalization
factorsfororderparametersandcriticaltemperaturesleadtoaweakerinfluenceofthefluctu-
ations on the results in finitesized systems than on theresults in the thermodynamical limit.
Furthermore, in the context of second order theory we address the question whether results
obtained in the dynamical mean field theory (DMFT), which is meanwhile a frequently used
method for describingtrapped systems, survivethe effect of thenon-local Feynman diagrams
neglected in DMFT.
iiiKurzfassung
In dieser Dissertation werden unterschiedliche, fur ultrakalte fermionische Quantengase rele-¨
vante Modelle behandelt. Insbesondere suprafluide Fermi-Mischungen mit Spin-Ungleichge-
wicht,dieals besteMoglichkeitzurexperimentellen VerwirklichungvonFulde-Ferrell-Larkin-¨
Ovchinnikov (FFLO)-Zust¨anden in Betracht kommen, und antiferromagnetische Zusta¨nde,
deren experimentelle Herstellung eines der großten Ziele der nachsten Zeit ist, werden ana-¨ ¨
lytisch und numerischunter Benutzung verschiedener Varianten des Hubbard-Modells unter-
sucht.
Der herko¨mmliche Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) Supraleiter bricht in einem Mag-
netfeld mit einer Starke, die großer ist als seine suprafluide Lucke, zusammen. Ein raumlich¨ ¨ ¨ ¨
inhomogenerSupraleitermiteinemSpin-UngleichgewichtundeinemkomplexenOrdnungspa-
rameter, bekannt als FFLO-Zustand, stellt sich in translationsinvarianten Systemen ein. Da
ultrakalten Quantengasen eine kleine Systemgroße und ein Fallenpotential zugrundeliegen,¨
untersuchen wir zu diesem Zweck die realistische Situation eines nicht translationsinvari-
anten Hubbard-Modells mit beschrankter Sytemgroße. Wir argumentieren zuerst analytisch¨ ¨
in einem System mit kontinuierlichen Ortskoordinaten, warum der Ordnungsparameter eine
reelle Große sein sollte und bilden diese Ergebnisse auf ein Hubbard-Modell mit diskreten,¨
auf einem Gitter definierten, Ortskoordinaten ab. Das relevante Hubbard-Modell wird dann
in Molekularfeldnaherung numerischbehandelt. Wir zeigen, dass unserenumerischen Ergeb-¨
nissezuranalytischen Voraussagepassenundsimulierenverschiedeneexperimentellrelevante
Modelle in dieser Dissertation.
Analoge Rechnungen werden fur die Situation bei abstoßender Wechselwirkung prasen-¨ ¨
tiert. Fu¨r diesen Fall wird in naher Zukunft das Gelingen der experimentellen Herstellung
eines N´eel-Zustandeserwartet. Wir bildenunsereanalytischen ErgebnissefurdasModell mit¨
anziehender Wechselwirkung auf entsprechende Resultate fu¨r das Modell mit abstoßender
Wechselwirkung ab. Dabei erhalten wir als Konsequenz des Fallenpotentials einen nicht von
den Ortskoordinaten abha¨ngigen Einheitsvektor, der u¨ber das gesamte System parallel zum
antiferromagnetischenOrdnungsparametersteht. Dieserwirdauchdurchunserenumerischen
Ergebnisse bestatigt. Daruber hinaus beobachten wir die Bildung von Domanengrenzen und¨ ¨ ¨
antiferromagnetisch induzierter Veranderung von Teilchendichten. Ferner zeigen wir die re-¨
levante Rolle, die Spin-Ungleichgewicht in antiferromagnetischen Systemen spielt.
DaderersteSchrittzumVerstehenderuntersuchtenModelledieAnwendungderMoleku-
larfeldnaherung war, analysieren wir auch die durch Quantenfluktuationen entstehenden Ef-¨
fekte durch die Hinzunahme der zweiten Ordnung der St¨orreihe bei abstoßender Wechsel-
wirkung. Wir zeigen, dass unsere Ergebnisse den Einfluß der Fluktuationen uberleben und¨
dass die Renormierungsfaktoren fu¨r Ordnungsparameter und kritische Temperaturen bei
kleinen Systemen zu einem geringeren Einfluß fuhren als im thermodynamischen Limes.¨
Außerdem stellen wir die Frage, ob Ergebnisse, die in der mittlerweile zur Beschreibung
von Fallensystemen u¨blich gewordenen Dynamischen Molekularfeldtheorie (DMFT) erhalten
worden sind, die nicht-lokalen Effekte, die in DMFT vernachlassigt werden, uberleben.¨ ¨
iiiivContents
Abstract i
Kurzfassung iii
1 Introduction 1
1.1 Structure of this thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Experimental background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Optical lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Feshbach resonances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3 Imaging techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Production of a Hubbard model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Nature of the superfluid order parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1 Superfluid currents in BECs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.2 Superfluid currents in Fermionic systems. . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.3 Mass-imbalanced systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.4 Strong attraction limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.5 Application to Hubbard-type models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.6 Application to the repulsive-U model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Translationally Invariant Systems 13
2.1 The interaction-free Hubbard model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Physical motivation for ordering types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 The Hubbard model at weak coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1 Formalism in k-space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 Formalism in real-space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.3 Role of the boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.4 Spin-dependent hopping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Trapping potentials and LDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Trapped Superfluid Fermi-Mixtures 25
3.1 The saddle-point approximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1 Different solution types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.2 Symmetries of the Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Solutions with real order parameter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.1 Balanced systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.2 Imbalanced systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Solutions with complex order parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Role of the Hartree terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .