Surfaces polyédriques et surfaces paramétriques : une reconstruction par approximation via les surfaces de subdivision, Polyhedral surfaces and parametric surfaces : a reconstruction by an approximation through subdivision surfaces

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Sous la direction de Marc Daniel
Thèse soutenue le 08 juillet 2010: Aix Marseille 2
La Conception Assistée par Ordinateur (C.A.O) qui permet de concevoir des objets physiques à partir de modèles mathématiques est utilisée dans de nombreux secteurs de l’industrie.On constate actuellement une volonté généralisée de tirer parti de deux approches jusqu’à présent plutôt antagonistes : la modélisation géométrique continue qui crée des objets continus représentant par la modélisation à partir de surfaces B-splines ou NURBS) et la modélisation géométrique discrète qui qu’il s’agisse de maillages ou de surfaces de subdivision.Cette dualité d’approche a de nombreuses applications industrielles potentielles et présente donc un intérêt scientifique important. Les surfaces polyédriques et en particulier les surfaces de subdivision offrent intrinsèquement la discrétisation, sont d’une manipulation très simple, mais elles ne remplacent pas les surfaces B-splines ou NURBS. Les travaux présentés dans la thèse et qui ont abouti au passage réciproque d’une surface paramétrique à une surface polyédrique. Nous nous intéressons plus particulière aux surfaces de subdivision considérant comme une liaison entre la surface polyédriquee et la surface paramétrique parce qu’après quelques étapes de subdivision, le polyèdre caractéristique converge à une surface paramétrique correspondant. Nous y proposons des schémas de la subdivision inverse permettent de récréer les surface polyédrique grossier de subdivision précédent. Nous avons donc développé deux méthodes pour la reconstruction d’une courbe/surface paramétrique en utilisant le schéma de subdivision inverse uniforme et le schéma de subdivision inverse non-uniforme. Pour améliorer les résultats de reconstruction par la subdivision inverse, nous associons à ces méthodes une possibilité d’ajustement d’approximation qui permet de diminuer grandement l’erreur de reconstruction. Les résultats obtenus ont été comparés à une méthode bien connu de reconstruction sens au sens des moindres carrés. Nos méthodes sont très prometteuses en termes d’approximation et de compression
-B-spline
-Nurbs
-Maillage
-Subdivision inverse
-Reconstruction
-Approximation
-Modélisation
-Compression
Computer Aided Geometric Design (CAGD) which allows us to design the physical objects from mathematical models is used in many sectors of industry. It is currently a general wish to take advantage of the two these approaches rather than the antagonists : The goal that the continuous geometric model creates the continuous objects represented by the modelof the surfaces B-splines or NURBS) and the discreet geometric model made by eitherthe meshes or the subdivision surfaces. This duality of the approach has many potential industrial applications and therefore submits interesting significant science. The polyhedral surfaces and the subdivision surfaces in particular which offer the intrinsically discretization,are a very simple manipulation, but they do not replace the surfaces B-splines or NURBS.The works presented in this thesis aim to the reciprocal passage from a parametric surfaceto a polyhedral surface. We are more specialy interested to subdivisions surfaces considering as a liaison between the polyhedral surface and the parametric surface, because after a few steps of subdivision, the polyhedron characteristic converges to a parametric surface corresponding.We have proposed the schemas of the inverse subdivision allowing recreating the polyhedral surface coarse of subdivision precedent. We thus presented two methods for there construction of a parametric curve/surface : one for using the schema of uniform inverse subdivision and the other for non-uniform inverse subdivision. To improve the results of reconstruction by the inverse subdivision methods, we associate these methods with the process of adjustment the approximation which allows reducing the error of reconstruction.The results obtained have been compared with a well-known least squares method. Our methods are very promising in terms of approximation and compression.
-Modelling
-B-spline
-Nurbs
-Subdivision
-Inverse subdivision
-Reconstruction
Source: http://www.theses.fr/2010AIX22055/document

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Université de la Méditerranée
Aix-Marseille II
Faculté des Sciences de Luminy
163, Avenue de Luminy 13288 Marseille cedex 9
THÈSE DE DOCTORAT
en Informatique
Surfaces polyédriques et surfaces
paramétriques : une reconstruction par
approximation via les surfaces de
subdivision
présentée par :
Khoi NGUYEN TAN
en vue d’obtenir le grade de docteur de l’Université de la Méditerranée
soutenue le 8 juillet 2010 devant le jury composé de :
Marc Daniel Professeur, Directeur de thèse
Jean-Pierre Jessel Rapporteur
Marc Neveu Rapporteur
André Crosnier Examinateur
Cung Le Docteur, Co-Directeur de thèse
Romain Raffin Maître de Conférence, Co-Directeur de thèse
oN attribué par la bibliothèque
Année 2010À mes parents,
`À ma femme Bach Hông.Remerciements
Je voudrais remercier chaleureusement les membres de mon jury de thèse de m’avoir fait
l’honneur d’évaluer mon travail :
– Monsieur Jean-Pierre Jessel, chair de l’AFIG (the French Association for Computer
Graphics) qui a rapporté mon mémoire;
– Monsieur Marc Neveu, professeur à l’Université de Bourgogne, qui a également été
rapporteur de mon mémoire;
– Monsieur André CROSNIER, professeur à l’Université de Montpellier qui a fait partie
de mon jury;
Je tiens à exprimer ma profonde gratitude à mes directeurs de thèse qui ont grandement
contribué à faire de ce travail ce qu’il est :
– Monsieur Marc Daniel, professeur à l’Université de la Méditerranée, pour avoir dirigé
mes travaux. Qu’il trouve ici toute ma gratitude pour son orientation scientifique, son
soutien, sa direction attentive, sa rigueur; pour ses encouragement de chaque instant
et sa patience qui m’ont permis d’achever mon doctorat.
– Monsieur Romain Raffin, enseignant-chercheur à l’Iut de Provence, co-directeur de
ma thèse. Son suivi régulier, son attention, sa disponibilité, et sa gentillesse m’ont été
précieux pour l’élaboration et la rédaction de mon travail. Je le remercie du temps
qu’il m’a consacré pour mon travail.
– Monsieur Cung Le, chef de la Faculté de Pédagogie Technique-Science de l’Ingénieur,
1assistant du PFIEV de l’Université de Danang, co-directeur de ma thèse, pour ses
encouragements, sa disponibilité, ses remarques et ses conseils avisés.
Je remercie tous les thésards anciens et actuels de l’équipe I&M du LSIS qui ont contri-
bué à une ambiance à l’équipe : Grégory, Guillaume, Agung, Alaa, Van, Hung, Axel, Ma-
riette,.... Je remercie également Raphaël et Jean-Christophe pour les aides qu’ils m’ont
apportés au début de ma thèse.
Je tiens également à remercier tous les autres membres de l’équipe I&M de leur accueil,
avec qui j’ai été heureux de passer mes temps de thésard.
Je souhaite de remercie Hélène de son enthousiasme, de sa sympathie et avec qui j’ai
partagé beaucoup de moments mémorables.
Je n’oublie pas les aides chaleureuses que les familles de Romain, Gilles et Axel m’ont
donnés quand j’étais à Arles.
2J’adressetousmesremerciementsàmesamis,mescollègues pourleursencouragements,
leurs soutiens sur mon travail.
Enfin, je remercie du fond de cœur mes parents pour leurs encouragements et plus
particulièrement ma femme qui se donne beaucoup de peines pour moi dans ma vie de
doctorant.
1. Programme de Formation d’Ingénieurs d’Excellence
2. Faculté d’Informatique, Ecole Polytechnique - Université de Danang.À tous, encore merci ...
iiiTable des matières
Table des matières i
Table des figures viii
Liste des tableaux xiii
Introduction générale 1
1. Cadre et orientation de l’étude 5
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Modélisation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Modèles polyédriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Modèles paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2.1 Les courbes paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2.1.1 Courbe de Bézier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2.1.2 Courbe B-spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2.1.3 Courbe NURBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2.2 Les surfaces paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2.2.1 Surface B-spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2.2.2 NURBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2.3 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Modèles de subdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Problématique et objectif de ce travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. Discrétisation d’objet continu 18
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Etat de l’art sur la discrétisation d’objets continus . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Maillage polyédrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1.1 Définition du maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1.2 Qualité d’un maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1.3 Méthodes de génération de maillage . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 Conversion de modèles paramétriques en modèles polyédriques . . . 20
2.2.2.1 Génération de maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2.2 Mise en maillage cohérent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
iTable des matières
2.2.2.3 Optimisation du maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3 Méthodes de discrétisation existantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.4 Approche de l’échantillonnage uniforme du domaine paramétrique . 21
2.2.5 Approche par les surfaces triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.6 Approche par la méthode de discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.7 Approche par l’évaluation et le raffinement . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.8 Discussion sur les approches et orientation de notre méthode . . . . 24
2.3 Algorithmes d’évaluation et de raffinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Algorithme de De Casteljau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2 de De Boor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.3 Algorithme de De Boor-Cox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.4 d’insertion de nœuds de Boehm . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.4.1 Insertion d’un nœud de multiplicité 1 . . . . . . . . . . . . 28
2.3.4.2 Insertion d’un nœud de multiplicité m supérieure à 1 . . . 28
2.3.5 Algorithmes d’Oslo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.5.1 Algorithme Oslo1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.5.2hme Oslo2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.6 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.7 Raffinement d’une surface paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Méthodes de discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.1 Discrétisation d’une courbe paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.1.1 Construction de la fonction nodale E(s) . . . . . . . . . . . 34
2.4.1.2 Détermination de la répartition de l’abscisse curviligne de
courbe C(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.2 Discrétisation d’une surface paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.2.1 Discrétisation des arêtes frontières de la surface . . . . . . . 38
2.4.2.2 Maillage de la surface paramétrique par la méthode frontale 40
2.4.2.3 Evaluation de la méthode de discrétisation . . . . . . . . . 40
2.4.2.4 Le cas d’une courbe bien paramétrée . . . . . . . . . . . . . 41
2.4.2.5 Le cas d’une courbe mal . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3. Subdivision d’objets polyédriques 44
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Notation et terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Etat de l’art sur la subdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.1 Schémas de sub uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.2 Schémas de subdivision non-uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.3 Continuité de la surface de subdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.4 Profondeur de la subdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
iiTable des matières
3.3.5 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4 Subdivision uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.1 Courbe de subdivision de Chaikin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.1.1 Formules de la subdivision de Chaikin . . . . . . . . . . . . 51
3.4.1.2 Taille de la courbe de subdivision de Chaikin . . . . . . . . 52
3.4.1.3 Profondeur de la subdivision de Chaikin . . . . . . . . . . . 53
3.4.2 Courbe de subdivision B-spline cubique . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4.2.1 Formules de la subdivision B-spline cubique . . . . . . . . . 54
3.4.2.2 Taille de la courbe de subdivision B-spline cubique . . . . . 54
3.4.2.3 Profondeur de la subdivision B-spline cubique. . . . . . . . 55
3.4.3 Surface de subdivision de Doo-Sabin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4.3.1 Formules de la subdivision de Doo-Sabin . . . . . . . . . . 56
3.4.3.2 Taille de la surface de subdivision de Doo-Sabin . . . . . . 57
3.4.3.3 Profondeur de la subdivision de Doo-Sabin . . . . . . . . . 58
3.4.4 Surface de subdivision de Catmull-Clark . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4.4.1 Formules de la subdivision de Catmull-Clark . . . . . . . . 59
3.4.4.2 Taille de la surface de subdivision de Catmull-Clark . . . . 61
3.4.4.3 Profondeur de la subdivision de Catmull-Clark . . . . . . . 62
3.5 Subdivision non-uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5.1 Vecteur d’intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5.2 Courbe de subdivision non-uniforme de Chaikin . . . . . . . . . . . . 64
3.5.2.1 Formules de la subdivision non-uniforme de Chaikin . . . . 64
3.5.2.2 Taille de la courbe de subdivision non-uniforme de Chaikin 65
3.5.3 Courbe de subdivision non-uniforme B-spline cubique . . . . . . . . 66
3.5.3.1 Formules de la subdivision non-uniforme B-spline cubique . 66
3.5.3.2 Taille de la courbe de subdivision non-uniforme B-spline cu-
bique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.5.4 Surface de subdivision non-uniforme de Doo-Sabin . . . . . . . . . . 67
3.5.4.1 Formules de la subdivision non-uniforme de Doo-Sabin . . . 68
3.5.4.2 Taille de la surface de subdivision non-uniforme de Doo-Sabin 69
3.5.5 Surface de subdivision non-uniforme de Catmull-Clark . . . . . . . . 69
3.5.5.1 Formules de la subdivision non-uniforme de Catmull-Clark 70
3.5.5.2 Taille de la surface de subdivision non-uniforme de Catmull-
Clark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.6 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4. Subdivision inverse 75
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Notations pour la subdivision inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3 Etat de l’art sur la sub inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
iiiTable des matières
4.4 Subdivision inverse uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4.1 Courbe de subdivision inverse de Chaikin . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4.1.1 Taille de la courbe de subdivision inverse de Chaikin . . . . 79
4.4.1.2 Algorithme proposé de la subdivision inverse de Chaikin . . 80
4.4.2 Courbe de subdivision inverse B-spline cubique . . . . . . . . . . . . 81
4.4.2.1 Taille de la courbe de subdivision inverse B-spline cubique . 81
4.4.2.2 Algorithme proposé de la subdivision inverse uniforme B-
spline cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4.3 Surface de subdivision inverse de Doo-Sabin . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4.3.1 Formule de la subdivision inverse uniforme de Doo-Sabin . 83
4.4.3.2 Taille du maillage de subdivision inverse uniforme de Doo-
Sabin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4.3.3 Algorithme proposé de la subdivision inverse uniforme de
Doo-Sabin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4.4 Surface de subdivision inverse de Catmull-Clark . . . . . . . . . . . . 85
4.4.4.1 Formule de la subdivision inverse uniforme de Catmull-Clark 85
4.4.4.2 TailledumaillagedesubdivisioninverseuniformedeCatmull-
Clark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.4.4.3 Algorithme proposé de la subdivision inverse uniforme de
Catmull-Clark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.5 Subdivision inverse non-uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.5.1 Courbe de subdivision inverse non-uniforme de Chaikin . . . . . . . 88
4.5.1.1 Taille de la courbe de subdivision inverse non-uniforme de
Chaikin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.5.1.2 Algorithme proposé de la subdivision inverse non-uniforme
de Chaikin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.5.2 Courbe de subdivision inverse non-uniforme B-spline cubique . . . . 90
4.5.2.1 Taille de la courbe de subdivision inverse non-uniforme B-
spline cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.5.2.2 Algorithme proposé de la subdivision inverse non-uniforme
B-spline cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.5.3 Surface de subdivision inverse non-uniforme de Doo-Sabin . . . . . . 91
4.5.3.1 Formule de la subdivision inverse non-uniforme de Doo-Sabin 92
4.5.3.2 Taille du maillage de subdivision inverse non-uniforme de
Doo-Sabin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.5.3.3 Algorithme proposé de la subdivision inverse non-uniforme
de Doo-Sabin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.5.4 Surface de subdivision inverse non-uniforme de Catmull-Clark . . . . 95
4.5.5 Formule de subdivision inverse non-uniforme de Catmull-Clark . . . 95
ivTable des matières
4.5.5.1 Taille du maillage de subdivision inverse non-uniforme de
Catmull-Clark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5.5.2 Algorithme proposé de la subdivision inverse non-uniforme
de Catmull-Clark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.6 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5. Reconstruction de surface paramétrique par subdivision inverse 101
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2 Etat de l’art de la reconstruction des courbes/surfaces paramétriques . . . . 102
5.2.1 Approche de reconstruction en résolvant un système d’équations non
linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2.2 Approche de reconstruction basée sur des patchs triangulaires B-spline102
5.2.3 Approche de basée sur des surfaces de Bézier . . . . . 103
5.2.4 Approche de basée sur une surface de subdivision . . 103
5.2.5 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3 Méthode proposée pour la reconstruction UISS . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.3.1 Courbe de reconstruction par subdivision inverse uniforme de Chaikin 106
5.3.1.1 Algorithme 1 : Reconstruction par approximation UISS de
Chaikin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3.1.2 Algorithme 2 : par ajustement de l’approxi-
mation UISS de Chaikin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3.1.3 RésultatsexpérimentauxdelareconstructionUISSdeChaikin109
5.3.2 Courbe de reconstruction par subdivision inverse uniforme B-spline
cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.3.2.1 Algorithme 1 : Reconstruction par approximation UISS B-
spline cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.3.2.2 Algorithme 2 : Reconstruction par ajustement de l’approxi-
mation UISS B-spline cubique . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.3.2.3 Résultats expérimentaux de la reconstruction UISS B-spline
cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.3.3 SurfacedereconstructionparsubdivisioninverseuniformedeDoo-Sabin116
5.3.3.1 Algorithme 1 : Reconstruction par approximation UISS de
Doo-Sabin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.3.3.2 Algorithme 2 : par ajustement de l’approxi-
mation UISS de Doo-Sabin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.3.3.3 Résultats expérimentaux de la reconstruction UISS de Doo-
Sabin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.3.4 Reconstruction de surface par subdivision inverse uniforme (UISS) de
Catmull-Clark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
vTable des matières
5.3.4.1 Algorithme 1 : Reconstruction par approximation UISS de
Catmull-Clark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.3.4.2 Algorithme 2 : Reconstruction par ajustement de l’approxi-
mation UISS de Catmull-Clark . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3.4.3 RésultatsexpérimentauxdelareconstructionUISSdeCatmull-
Clark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.4 Méthode proposé pour la reconstruction NUISS . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.4.1 Construction du vecteur d’intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.4.2 Courbe de reconstruction par subdivision inverse non-uniforme de
Chaikin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.4.2.1 Algorithme 1 : Reconstruction par approximation NUISS de
Chaikin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.4.2.2 Algorithme 2 : par ajustement d’approxima-
tion NUISS de Chaikin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.4.2.3 RésultatsexpérimentauxdelareconstructionNUISSdeChai-
kin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.4.3 Courbe de reconstruction par subdivision inverse non-uniforme B-
spline cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.4.3.1 Algorithme 1 : Reconstruction par approximation NUISS B-
spline cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.4.3.2 Algorithme 2 : Reconstruction par ajustement de l’approxi-
mation NUISS B-spline cubique . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.4.3.3 RésultatsexpérimentauxdelareconstructionNUISSB-spline
cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.4.4 Surface de reconstruction par subdivision inverse non-uniforme de
Doo-Sabin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.4.4.1 Algorithme 1 : Reconstruction par approximation NUISS de
Doo-Sabin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.4.4.2 Algorithme 2 : Reconstruction par ajustement de l’approxi-
mation NUISS de Doo-Sabin . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.4.4.3 RésultatsexpérimentauxdelareconstructionNUISSdeDoo-
Sabin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.4.5 Surface de reconstruction par subdivision inverse non-uniforme de
Catmull-Clark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.4.5.1 Algorithme 1 : Reconstruction par approximation NUISS de
Catmull-Clark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.4.5.2 Algorithme 2 : par ajustement d’approxima-
tion NUISS de Catmull-Clark . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.4.5.3 RésultatsexpérimentauxdelareconstructionNUISSdeCatmull-
Clark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
vi