Mécanique statistique et simulation numérique

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Chapitre 1
M´ecanique statistique et
simulation num´erique
Contenu
1.1 Historique de la simulation. . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Moyennes d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Ensemble microcanonique . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Ensemble canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Ensemble grand-canonique . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.4 Ensemble isobare-isotherme . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Les syst`emes mod`eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Les liquides simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3 Mod`ele d’Ising et gaz sur r´eseau. Equivalence . . . . . 9
1.4 Moyenne temporelle. Ergodicit´e . . . . . . . . . . . 14
1.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Probl`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.1 Mod`ele ANNNI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1 Historique de la simulation
La naissance de la simulation num´erique remonte aux d´ebuts des ann´ees
milleneufcentcinquanteou`lespremiersordinateurspurentˆetreutilis´espourun
usagecivil.Enparticulier,`aLosAlamos,lamachineMANIACestdevenueop´e-
1rationnelle en 1952 . La simulation apporte des informations compl´ementaires
2aux outils th´eoriques . Les domaines de la physique ou` les approches pertur-
batives sont efficaces (gaz dilu´es, vibrations de solides quasi-harmoniques) ...

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Chapitre 1
Mecaniquestatistiqueet simulationnumerique
Contenu 1.1 Historique de la simulation . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Moyennes d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Ensemble microcanonique . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Ensemble canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Ensemble grand-canonique . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.4 Ensemble isobare-isotherme . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3Lessystemesmodeles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Les liquides simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.3ModeledIsingetgazsurreseau.Equivalence . . . . . 9 1.4Moyennetemporelle.Ergodicite . . . . . . . . . . . 14 1.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6.1ModeleANNNI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1 Historique de la simulation Lanaissancedelasimulationnumeriqueremonteauxdebutsdesannees milleneufcentcinquanteoulespremiersordinateurspurentˆetreutilisespourun usagecivil.Enparticulier,aLosAlamos,lamachineMANIACestdevenueope-rationnelle en 1952 1 .Lasimulationapportedesinformationscomplementaires auxoutilstheoriques 2 .Lesdomainesdelaphysiqueoulesapprochespertur-bativessontecaces(gazdilues,vibrationsdesolidesquasi-harmoniques)ont peufaitappelauxtechniquesdesimulation.Inversement,latheoriedesliquides denses,pourlaquellepeuderesultatsexactssontconnusetdontlaqualitedes 1 L’ordinateur MANIAC est l’acronyme de ”mathematical and numerical integrator and computer”. MANIAC I est devenu operationnelle le 15 March 1952. 2 Parfoislestheoriessontquasi-inexistantesetlasimulationnumeriqueestleseulmoyen pouretudierunsysteme
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Mecaniquestatistiqueetsimulationnumerique
developpementstheoriquesnestpastoujoursclairementetablie,ontlargement faitappelalasimulation.LapremieresimulationMonteCarlo Metropolis et al. [ 1953 ] remonte au travail de Metropolis et al. en 1953 3 .Lapremieresimula-tiondedynamiquemoleculaireaeteeectueesurlemodelededisquesdurs par Alder and Wainwright en 1957 Alder and Wainwright [ 1957 ].Lapremiere DynamiqueMoleculairedunliquidesimple(Argon)aeterealiseeparRahman en 1964. Durantcettedernieredecennie,laprogressionconstantedelapuissancedes ordinateursassocieealabaissementconsiderabledescouˆtsaouvertlapossibi-litederealiserdessimulationsnumeriquessurdesordinateurspersonnels.Mˆeme siquelquessuper-ordinateursrestentnecessairespourdessimulationstresim-portantes,ildevientpossibledefaireexecuterdessimulationsnumeriquessur desordinateursbonmarche.Lunitedemesurepourmesurerlesperformances dunordinateurestleMFlops(oumilliondoperationsdevirguleottantepar seconde”). Un PC actuel (par exemple Intel Core 2 2.6Gz) est un processeur constituededeuxunitesdecalculvirguleottanteetpeutdelivrerunepuis-sance d’environ 2 6 GFlops. Apres une relative stagnation de l’accroissement delapuissancedesprocesseurs,ilestapparudurantlannee2006deplusen plusdeprocesseurspossedantdeuxcoeursetdepuisdeuxans,lesprocesseurs quadri-coeursdeviennentdeplusenplusfrequents.Mˆemesipourdesapplica-tionscouranteslegaindepuissancenestpasunefonctionlineairedunombre decoeurs,lecalculscientiquepeutfacilementexploitercettefonctionaliteatraversuneparallelisationducode.Celasefaitassezsimplementavecuneli-brariedetypeOpenMP.Reservejusquaquelquessemainesadescompilateurs commerciaux,lecompilateurgccdisposeparexempledecettefonctionnalitesurLinux(distributionFedora)desaujourdhui.Laparallelisationmassivedes codesscientiquesaetefaitedepuisplusieursanneesandebenecierdela puissancedunearchitectureoulesprocesseurssonttresnombreux(plusieurs milliers). Letableauci-dessousdonnelescaracteristiquesetpuissancesdesordinateurs lespluspuissantsdanslemondeQuelquesremarquesconcernantlesevolutions: en2003,surlesdixpremieresmachineslespluspuissantes,9sur10taient e installeesauxEtatsUnis,lapremiereetantauJapon.En2004,ilnyaplus que5sur10,lesquatresautresserepartissantdelamanieresuivante:deux sontinstallessenAngleterre,uneautreauJaponetuneenChine,quiontfait uneentreeremarquable. En2008,plusieursnouveautes:surlesdixpremieresmachines,6ontete installesavantJuin2008(dateduclassement);lapremieremachinedepasse cetteanneeles1000TFlops(onparledePFlops);retourdesEtats-Unissurle 3 Metropolis,NicholasConstantine(1915-1999)alafoismathematicienetphysiciende formation,aeterecruteparJ.RobertOppenheimerauLosAlamosNationalLaboratoryen Avril1943.IlaeteundesscientiquesduprojetManhattanProject,etacollaboreavecEnrico FermietEdwardTellersurlespremiersreacteursnucleaires.Apreslaguerre,Metropolis retournaaChicagoasanassistantprofessor,etrevintaLosAlamosen1948enycreant ladivisionTheoriqueetilconstruisitlordinateurMANIACen1952,puis5ansplustard MANIACII.Ilretournade1957a1965aChicagoetcrealadivisiondeComputerResearch, puisretourdenitifaLosAlamos
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