Thermodynamique statistique

Olivier Castéra

Description

THERMODYNAMIQUE STATISTIQUE
´OLIVIER CASTERA
´ ´Resume. On d´emontre l’expression des probabilit´es thermodyna-
miques de la statistique classique de Maxwell-Boltzmann,et quan-
tiques de Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein, et Fermi-Dirac.
`Table des matieres
1. Statistique classique de Maxwell-Boltzmann 2
1.1. Hypoth`eses fondamentales de Boltzmann 4
1.2. D´eg´en´erescence 4
1.3. Statistique classique de Maxwell-Boltzmann 5
2. R´epartition la plus probable 7
3. Relation entre entropie S et nombre de complexions W 9
4. Param`etres α et β de la distribution de Boltzmann 10
4.1. Param`etre α 10
4.2. Param`etre β 10
5. Expression de la fonction de partition Z 15
5.1. Expression du facteur de d´eg´en´erescence g 15i
6. Expression de l’´energie interne 17
7. Expression de l’entropie en statistique classique de M-B 18
8. Le paradoxe de Gibbs 19
9. Statistiques quantiques 20
9.1. Statistique de Maxwell-Boltzmann corrig´ee 21
9.2. Ce raisonnement n’est pas tout a` fait exact 21
9.3. Statistique de Bose-Einstein 23
9.4. Statistique de Fermi-Dirac 24
10. R´epartition la plus probable 26
10.1. R´epartition la plus probable en Statistique de B-E 26
10.2. R´epartition la plus probable en Statistique de F-D 27
11. Entropie en statistique quantique de M-B corrig´ee 29
12. Param`etres des statistiques quantiques 30
0 0012.1. Param`etres β et β des statistiques quantiques 30
0 0012.2. Param`etres α et α des statistiques quantiques 32
0 0013. Expressions analytiques des param`etres α et α ...

Sujets

• Particules indiscernables
• Statistique
• Fonction digamma
• Olivier Jardé
• Énergie interne
• Dragon Balls

Informations

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Extrait

THERMODYNAMIQUE STATISTIQUE

´ OLIVIER CASTERA

R ´ esume ´ .Oe´dntnom’leressiexprsproondeil´tabibreomseht-nady miques de la statistique classique de Maxwell-Boltzmann, et quan- tiques de Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein, et Fermi-Dirac.

` Table des matieres

1. Statistique classique de Maxwell-Boltzmann 1.1.Hypothe`sesfondamentalesdeBoltzmann 1.2.De´g´en´erescence 1.3. Statistique classique de Maxwell-Boltzmann 2. R´ rtition la plus probable epa 3. Relation entre entropieSet nombre de complexionsW 4.Parame`tresαetβde la distribution de Boltzmann 4.1. Parametreα ` 4.2.Param`etreβ 5. Expression de la fonction de partitionZ 5.1.Expressiondufacteurded´ege´n´erescenceg i 6.Expressiondel’e´nergieinterne 7. Expression de l’entropie en statistique classique de M-B 8. Le paradoxe de Gibbs 9. Statistiques quantiques 9.1.StatistiquedeMaxwell-Boltzmanncorrige´e 9.2.Ceraisonnementn’estpastout`afaitexact 9.3. Statistique de Bose-Einstein 9.4. Statistique de Fermi-Dirac 10.Re´partitionlaplusprobable 10.1.R´epartitionlaplusprobableenStatistiquedeB-E 10.2.R´epartitionlaplusprobableenStatistiquedeF-D 11.EntropieenstatistiquequantiquedeM-Bcorrige´e 12.Param`etresdesstatistiquesquantiques 12.1.Parame`tresβ 0 etβ 00 des statistiques quantiques 12.2.Param`etresα 0 etα 00 des statistiques quantiques 13.Expressionsanalytiquesdesparame`tresα 0 etα 00 13.1.Casdesbosonscomple`tementde´ge´ne´r´es 14. Annexes 14.1. Approximation de Stirling

Date: 22 octobre 2010.

1

2 4 4 5 7 9 10 10 10 15 15 17 18 19 20 21 21 23 24 26 26 27 29 30 30 32 33 36 37 37

2

14.2. 14.3. 14.4.

´ OLIVIER CASTERA

Me´thodedesmultiplicateursdeLagrange Calculdel’inte´graledeGauss Fonction Gamma d’Euler

1.Statistique classique de Maxwell-Boltzmann

37 39 39

Pourmode´liserungazdansuneenceinte,imaginonsuneboıˆteopaque ferm´ee,contenantNtebgoauel`eesrry´aenpaarttiesauhasardsurune´ kniveaux

niveau 4

niveau 3

niveau 2

niveau 1

IciN= 9 etk= 4. Soitn i le nombre de boules sur le niveaui, n 1 = 2 n 2 = 4 n 3 = 1 n 4 = 2. Onsupposequelesniveauxd’´energiepotentielleε i enernitsesdff´di- veauxmod´elisentdesniveauxd’´energiecine´tiquedetranslationdes particulesconstituantlegaz.Dansl’exemplesuivant,nousallonsde´- terminer l’ensemble desknombres de boules{n 1  n 2      n k }les plus probablessurchaqueniveau,grˆaceauxhypoth`esesdede´partsurle nombre total de boulesNne´’lrusteneernteigierUdu gaz dans l’en- ceinte.Cetensembleseranot´e{n 0 1  n 0 2      n k 0 }.eriveCalheact`enrherc lare´partitiondesboulesquel’onauraitleplusdechancedevoirsil’on ouvraitlaboıˆte.

Exemple.:setnaviussntlertso´epasdede`esophtseyhL (1) le nombre total de boule estN= 2

(2)l’´energieinterne(enJoules)dusyste`meestU= P N i=1 ε i n i = 2J (3)les´energiespotentiellesdechaqueniveausont: ε 1 = 0J,ε 2 = 1J,ε 3 = 2J. Ilyadonc3niveauxd’´energie,correspondant`a3´etagespos- 0 sibles. Nous recherchons l’ensemble des 3 nombres{n 10  n 20  n 3 }. Voicilesdiffe´rentespossibilite´sder´epartitiondes2boulesAetBdans la boˆıte :

ε 3

ε 2

ε 1

B

A

THERMODYNAMIQUE STATISTIQUE

A

B

A

B

3

Il y a deux fois plus de chance d’avoir une boule sur le niveauε 1 et une sur le niveauε 3 , que deux boules sur le niveauε 2 . Par consequent, ´ lar´eponseauproble`meestn 0 1 = 1,n 0 2 = 0,n 0 3 = 1.

De´finition1.1.e´nnodaLsedeknombres de particules{n 1  n 2      n k } ou`l’onassocieunnombren i auveed’rgneiea`qahcineuε i=1k itfin´e,d ´ une´tatmacroscopique.

En utilisant le vocabulaire de la thermodynamique statistique, nous dironsquel’´etatmacroscopiqueleplusprobableestcelui-ci:

carilestr´ealisepardeuxcomplexions: ´

B

A

alorsquel’autree´tatmacroscopique:

A

B

4

´ OLIVIER CASTERA

n’estre´alisequeparuneseulecomplexion: ´

A

B

Lesprobabilite´sthermodynamiquesW(n 1  n 2  n 3 satets´dsed)tnere´ffi macroscopiquessontdonn´eesparleursnombresdecomplexions

W(101) = 2 W(020) = 1

Parcons´equent,l’e´tatmacroscopique{n 1  n 2      n k }le plus probable est celui qui a son nombre de complexionsW(n 1  n 2      n k ) le plus e. ´elev´Cete´tatmacroscopiquesenote{n 0 1  n 20      n k 0 }, et son nombre de complexionsW(n 0 1  n 0 2      n 0 k ) se noteW 0 . 1.1.esfoh`esypotHBeloeldsneatdnma.nnmatzLes complexions sonte´quiprobables. Laprobabilite´d’une´tatmacroscopiqueest´egalaunombredecom- plexionsquipermettentdeler´ealiser. L’´etatd’e´quilibrethermodynamiquecorresponda`l’e´tatmacroscopique le plus probable.

1.2.D´eg´ee.ncceesern´nu’uqtnevuosevirarIlrgie´eneaud’niveε i soit compos´ dg i fnocudnoene´eigreaivd’uxso-nusercsneec´eg´en´es.Cetted e e confe`reauxdiversniveauxd’´energiedespoidsstatistiquesg i .tsff´diener D´efinition1.2.udeuqitsitatssdiauvenie´´gLdaoupoencerescen´e d’´energieε i , est le nombreg i de sous-niveaux contenus dans ce niveau d’e´nergie.

De´finition1.3.eds´neeadonLg i nombres de particules par sous- niveaud’e´nergie,pourchacundeskd’uxne´eneaivgreiε i  it, d´fi un e n ´etatmicroscopique.

THERMODYNAMIQUE

ε i

STATISTIQUE g i . 2 1

5

Lad´eterminationd’un´etatmicroscopiqueestimpossible´eri exp men- talement. Par exemple, les complexions suivantes A B niveaud’´energieε 1 { B et ε 1 { A

constituentunseuletmˆeme´etatmicroscopique. De meme les complexions ˆ B ε 1 { A ε 2 { C et ε 1 {

B

ε 2 {

A

C

sontaussiunseuletmeˆmee´tatmicroscopique,carseulimportele nombredeparticulesparsous-niveaud’´energie.

1.3.Statistique classique de Maxwell-Boltzmann.Hysse`ethpo ded´epart: (1) le nombre de particulesN (2)l’´energieinternedusystemeU ` (3)l’e´nergiedechaqueniveaui:ε i=1k (4)lade´ge´ne´rescencedechaqueniveaui:g i=1k ` Leproblemeconsistea`d´eterminerl’´etatmacroscopique{n 1  n 2      n k } le plus probable, celui dont le nombre de complexions i´ est le plus assoc e e´leve´. Supposons donc qu’il y aitn 1 particules discernables surε 1 ,n 2 surε 2 , . . .,n k surε k s,onablepeut´seepuopecnrdssipart.Lescisiattnsee´cilu lesinterchanger.Decombiendefaconcetter´epartitionpeut-elleˆetre ¸ r´ealis´ee?End’autrestermes,quelestsonnombredecomplexionsW? Proce´donspar´etapes a)Quelestlenombredefa¸consdedisposeruneparticulediscer- nablesurleniveaud’e´nergieε 1 rene´dgee´g 1 siofpo´ear?Lens ´ ´ estg 1 . b)Quelestlenombredefa¸consdedisposerdeuxparticulesdis- cernablessurleniveaud’´energieε 1 d´eg´eenr´´eg 1 fois ? g 1 sspopalruopse´tilibiiculpart`ereremieetg 1 poesuril´tisibpso la seconde, doncg 1 ×g 1 =g 2 1 . c)Quelestlenombredefa¸consdedisposern 1 particules discer- nablessurleniveaud’e´nergieε 1 ern´´ed´´eegg 1 fois ? g 1 ×g 1 × ∙ ∙ ∙ ×g=g n 1 1 1 .