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• Publié par: Urzoe
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• Langue: Español

Extrait

Difeomor smos eliminadores y cuerpos
estrellados en espacios de Banach
Memoria
que para obtener el t“ tulo de
Doctor en Ciencias Matem“aticas
presenta
Luis Alejandro Montesinos Matilla
“Directores: Daniel Azagra Rueda y Jesus“ Angel Jaramillo Aguado
Universidad Complutense de Madrid
Facultad de Ciencias Matem“aticas
Departamento de An“alisis Matem“atico
Junio de 20032“Indice General
Introducci on 5
1 Los cuerpos estrellados 21
1 Nociones b asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 C omo identi car un cuerpo estrellado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Cuerpos estrellados acotados y radialmente acotados . . . . . . . . . . . 28
p4os de la clase C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 Cuerpos estrellados de Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6 Funciones Meseta y Cuerpos Estrellados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7 Tres tipos de inclusi on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8 Estabilidad de los cuerpos estrellados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
9 El Lema de los Cuatro Cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
10 El cuadrado romo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2 Algunos resultados de aproximaci on 65
1 La aproximaci on de cuerpos convexos en los espacios de dimensi on nita 65
2 Aproximaci on de cuerpos estrellados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3 Extensiones Perturbadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3 Difeomor smos eliminadores y funciones meseta 89
1 trasladantes con soporte acotado . . . . . . . . . . . . . 89
2 Lemas de los Tres Cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3 Difeomor smos eliminadores de puntos en espacios que tienen mesetas . 97
4 Difeomor smos y particiones de la unidad 115
1 Qu“e hacer con muchos cuerpos estrellados . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2 Los espacios de Banach con de la unidad tienen muchos cuer-
pos estrellados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3 Difeomor smoseliminadoresdecompactosenespaciosconparticionesde
la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5 Difeomor smos eliminadores en espacios con base 127
1 y normas no completas . . . . . . . . . . . 129
3“4 Indice
2 Difeomor smoseliminadoresenlosespaciosquetienenunabasedeSchau-
der . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6 Aplicaciones 153
1 Aproximaci on uniforme en las variedades hilbertianas de las funciones
1continuas por funciones de la clase C sin puntos cr“ ticos . . . . . . . . 153
2 El fen omeno de Garay asociado a ecuaciones diferenciales ordinarias en
los espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Bibliograf“ a 1656
Una introducci on algo larga
El marco que circuye esta tesis doctoral es la teor“ a de la eliminaci on topol ogica, y de
manera m as amplia, la teor“ a de diferenciabilidad en los espacios de Banach. Esto no
obsta a que los principales resultados que vamos a establecer tengan aplicaci on en otros
camposmatem aticos. Entreellosencontramoslosdelatopolog“ adiferencialenespacios
de dimensi on in nita y las ecuaciones diferenciales ordinarias en espacios de Banach.
No est a de m as empezar precisando el contenido, alcance y desarrollo hist orico de
la denominada teor“ a de la eliminaci on topol ogica .
Dado un espacio topol ogico X y un subconjunto K š X, se dice que K es to-
pol ogicamente eliminable si existe un homeomor smo h : X ! X n K. Tales ho-
meomor smos, denominados eliminadores, tienen asociados la noci on natural de sopor-
te. Se de ne el soporte de un homeomor smo h : X ! X n K como la adherencia
del complementario del conjunto de puntos jos de h, es decir, como la clausura de
fx2X jh(x)=xg.
En este contexto, dos problemas parecen naturales. El primero de ellos es estudiar
espacios X en los que los puntos y los compactos sean subconjuntos eliminables. El
segundo es tratar de conseguir homeomor smos eliminadores con el soporte contenido
en entornos pre jados del subconjunto eliminado.
A lo largo de esta tesis doctoral, X ser a un espacio de Banach de dimensi on in nita
y K un punto, un compacto, e incluso un compacto para la topolog“ a d“ebil. Es m as,
trabajaremos en el “ambito diferenciable, preocup andonos de que las aplicaciones elimi-
nadoras h : X ! XnK sean, no ya homeomor mos, sino difeomor smos de la clase
pC , dondeprepresentaelgradodediferenciabilidad. Porsupuesto, siempresuponemos,
y no lo volvemos a mencionar, que X es un espacio de Banach de dimensi on in nita.
Huelga decir que, en los espacios de dimensi on nita, los puntos no son eliminables.
Pasemos a desgranar algunos de los resultados m as importantes. Hist oricamente, el
punto de arranque de la teor“ a de la eliminaci on topol ogica en espacios de Banach viene
dadoporelart“ culoqueVictorL.Klee( vid. [46])public oenelano˜ 1951. Kleeprob oque
pen todo espacio de Banach X que no sea re exivo o que sea un espacio L de dimensi on
in nita, los compactos son topol ogicamente eliminables. Esto es, dado K subconjunto
compacto de X, donde X es un espacio del tipo anterior, existe un homeomor smo
entre los espacios topol ogicos XnK y X. Es m as, consigui o que tal
fueralaidentidadenelexteriordeunentornodelcompacto K, oequivalentemente, que
56 Introducci on
el soporte de este homeomor smo estuviera contenido en un entorno de K. Tambi“en
demostr o Klee que la eliminaci on de los compactos de tales espacios puede obtenerse al
nal de una isotop“ a.
Lainspiraci onparaeltrabajodeKleelaencontramosenlosdeTychono‹( vid. [61])
y Kakutani (vid. [45]). Por el teorema del punto jo de Tychono‹, la bola unidad
B del espacio de Hilbert H, con la topolog“ a d“ebil, tiene la propiedad del punto jo.H
Sin embargo, esto es bien diferente para la topolog“ a de la norma. En [45], Kakutani
construy o un autohomeomor smo de B sin puntos jos. Y de esto coligi o que S , laH H
esfera unidad del espacio de Hilbert, es un retracto de deformaci on de B .H
Kakutaniseformul oalgunascuestionesenrelaci onaestosresultados. Porunlado,si
B admiteautohomeomor smosperi odicossinpuntos jos. Porotrolado, qu“eespaciosH
tomadosdeentreB ;S yH sonhomeomorfos. Finalmente,qu“eocurreenlosespaciosH H
que no son de Hilbert. En [36], J. Dugundji prob o que la bola de un espacio normado
tiene la propiedad del punto jo si yolos si es de dimensi on nita. Previamente, P. A.
Smith (vid. [60]) hab“ a probado que en cualquier espacio eucl“ deo de dimensi on nita,
todo autohomeomor mo peri odico con periodo primo tiene al menos un punto jo, y
se interrog o ( vid. [38], p ag. 259) sobre la existencia de autohomeomor mos, sin puntos
jos y de periodo dos, en el espacio de Hilbert de dimensi on in nita.
Y fue en el trabajo ya mencionado de Klee, donde entre otras cosas, encontramos
respuesta a las cuestiones planteadas por Kakutani y Smith. En concreto, apoy andose
en sus resultados pioneros en eliminaci on topol ogica, proporcion o una clasi caci on de
los cuerpos convexos del espacio de Hilbert de dimensi on in nita H, demostr o que S ,H
B y H son homeomorfos, as“ como la existencia de autohomeomor mos peri odicos enH
H, sin puntos jos y de periodo arbitrario n•2.
En art“ culos posteriores ( vid. [18, 19, 22]), Bessaga y Klee generalizaron a todo
espacio normado de dimensi on in nita los resultados que Klee hab“ a establecido sobre
eliminaci on topol ogica y clasi caci on de cuerpos convexos.
Los procedimientos empleados por Klee, de naturaleza geom“etrica, no favorec“ an
un tratamiento anal“ tico. A Czeslaw Bessaga debemos la obtenci on de unas elegantes
ormf ulas expl“ citas que posibilitaban la construcci on de homeomor smos eliminadores
en espacios de Banach. Estasormf ulas se basan en la existencia, en cualquier espacio
de Banach, de una norma continua y no equivalente. Seamos precisos. En [20, 21, 22],
Bessaga demostr o que si ( X;kk) es un espacio de Banach, y š es una norma continua
(paralatopolog“ ainducidapor kk)ynoequivalenteakk,entoncestodosubconjuntoA
deX queseacompletorespectoalanormašestopol ogicamenteeliminable,esdecir,los
espacios X yXnA son homeomorfos. En particular, esto ocurre cuando el subconjunto
A es un compacto de X.
Resulta sencillo barruntar las preguntas concitadas por los resultados sobre homeo-
mor smoseliminadoresqueestablecieronKleeyBessaga. ¿Esposiblemejorar,dealgun“
modo, tales resultados, y garantizar la existencia, no ya de homeomor smos elimina-
dores, sino de difeomor smos eliminadores? ¿En qu“e espacios existen difeomor smos7
peliminadoresdepuntosdelaclaseC ? ¿Ydifeomor smoseliminadoresdecompactosde
pla clase C ? ¿Qu“e podemos decir sobre los soportes de los difeomor smos eliminadores
y sobre la geometr“ a de los conjuntos que contienen dichos soportes? Dichas preguntas
no son materia balad“ . En efecto, en la teor“ a de los espacios de Banach, encontramos
espaciosquesonhomeomorfosyquenosondifeomorfos. Bastarecordarque, porlosre-
sultadosdeGowersyMaureyacercadeespacioshereditariamenteindescomponibles,un
espacio de Banach puede ser homeomorfo, mas no difeomorfo, a todos sus hiperplanos
cerrados.
No parec“ a que las ideas geom“etricas de Klee pudiesen generalizarseacilmenf te para
construir difeomor smos eliminadores