Toeplitz operators on semi-simple Lie groups [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Alexander Alldridge

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• Publié par: philipps-universitat_marburg
• Publié le: 01 janvier 2005
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• Langue: Deutsch
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Extrait

oeplitzOperatorson
E M I - S I M P L E
L I E G R O U PS ST
DissertationzurErlangungdes
DoktorgradesderNaturwissenschaften(Dr.rer.nat.)
demFachbereichMathematikundInformatik
derPhilipps UniversitätMarburg
vorgelegtvon AlexanderAlldridge
ausHastings,EastSussex,UK
Marburg/Lahn,2004Vom
FachbereichMathematikundInformatik
derPhilipps UniversitätMarburg
am angenommen.
Erstgutachter:Prof.Dr.H.Upmeier
Zweitgutachter:Prof.Dr.C.Portenier
TagdermündlichenPrüfung:20.Oktober2004Zusammenfassung 5
Zusammenfassung
EineseitdenAnfängenderOperatortheoriebekannteundbisheutebedeutsameKlasse
von Operatoren sind die so genannten Toeplitz Operatoren. Klassischerweise sind dies
2beschränkte Operatoren auf dem Hardyraum H (B), der aus den auf dem Einheits
kreisB holomorphen Funktionen mit quadratintegrierbaren Randwerten besteht. Der
Toeplitz Operator zur Symbolfunktion f ist dann T = EM E, wobei M der Multipli f f f
2kationsoperatormit f seiund EdenorthogonalenProjektoraufH (B)bezeichne.
Ist nunT die von den T erzeugte C Algebra, so besagt das klassische Theorem vonf
Gohberg Kre ˘ın,dassderQuotientvonT nachdemIdealderkompaktenOperatorendie
Symbolalgebra ist. Dies ist interessant, weil sich die nicht kommutative Operatoralge
braT klassischenspektraltheoretischenMethodenzunächstverschließt.Anwendungen
findetderSatzinderIndextheorievonFredholmoperatoren.
DerSatzvonGohberg KreınistvomEinheitskreisaufdenFallsogenannterbeschränk
ter symmetrischer Gebiete verallgemeinert worden. Der entsprechende Hardyraum ist
dortaufeinemminimalenTeildesRandes,demShilovrand,realisiert.DasHauptresul
tat,dasimallgemeinenFallaufUpmeierzurückgeht,besagt,dassandenPlatzderkurz
enexaktenSequenzeineKompositionsreihetritt,derensukzessiveQuotientenbestimmt
undgeometrischinterpretiert werdenkönnen.DieLängedes Sequenzentsprichtdabei
derLängedesFacettenverbandsdesbetrachteten(konvexen)Gebiets,welchewiederum
durcheinefundamentalegeometrischeInvariante,denRang,beschriebenwerdenkann.
ImEinheitskreiskommenalsFacettennurdieExtremalpunktevor.
IndieserArbeitwirddieRolledesShilovrandsvoneinerbeliebigen(nicht kompakten)
Liegruppe G Hermiteschen Typs eingenommen. Das entsprechende (nicht homogene)
GebietistdiesogenannteOl’shanski˘ı Halbgruppe,dieimRahmendesGel’fand Gindi-
kin Programms konstruiert wurde. Der zugeordnete Hardyraum kann als die Summe
aller Darstellungen der holomorphen diskreten Reihe beschrieben werden, so dass die
harmonischeAnalysederGruppe G einebedeutendeRollespielt.
Letztendliches Ziel ist es, die Konstruktion einer Kompositionsreihe der Toeplitz C -
AlgebraindiesemRahmenzuverallgemeinern.DazuwirdeinegeometrischeStratifizie
rung des Ol’shanski˘ı Gebiets entwickelt. Weiterhin wird die harmonische Analyse des
Hardyraums und der Gruppe G, sowie die mikrolokale Analysis der Szegö Projektion
E im Hinblick auf den Übergang zu Randkomponenten des Gebiets untersucht. Dabei
werden Resultate zur Wellenfront des Faltungskerns dieser Projektion sowie zur Ein
bettung reduzierter Spektren (im Sinne der abstrakten Fouriertransformation) erzielt.
Schließlich werden operatortheoretische Methoden, die die Anwendung dieser Ergeb
nisse auf das Problem der Konstruktion einer Kompositionsreihe erlauben, in der ent
sprechendenAllgemeinheitbereitgestellt.
EsfolgteineausführlichedeutscheEinleitungzudieserArbeit.6 Einleitung
Einleitung
Klassischerweise betrachtet man in der Theorie der Toeplitz Operatoren den Einheits
kreisB in der komplexen EbeneC. Toeplitz Operatoren sind dann beschränkte Opera
2 2 2toren auf dem Hardyraum H (B) @ L (T), der aus den L Randwerten von auf dem
Einheitskreis holomorphen Funktionen auf der Kreislinie besteht. Sie werden in natür-
2licherWeisemitHilfederSzegö Projektionauf H (B)definiert.
Hauptgegenstand mathematischer Analyse ist nun die C Algebra T , die von der Ge
samtheit aller Toeplitz Operatoren mit stetigem Symbol erzeugt wird. Typischerweise
sind in dieser Algebra enthaltene Operatoren nicht normal, so dass der gewöhliche
Spektralsatz zu ihrer Untersuchung nicht anwendbar ist. Um die Spektraltheorie die
ser Operatoren zu verstehen, müssen weitaus elaboriertere Methoden zur Anwendung
gebrachtwerden.
DerHauptsatzüberdieToeplitz C Algebra T gehtaufGohberg Kre ˘ın[GK58]zurück:
EsgibteinekurzeexakteSequenz
20→K(H (B))→T →C(T)→ 0,
welche sich sogar anT aufspaltet: die Symbolabbildung definiert eine einseitige Um
kehrung der kanonischen Projektion aufC(T). Insbesondere stimmt das Kommutator-
ideal vonT mit dem Ideal der kompakten Operatoren überein und das Spektrum von
T istalsdernicht kommutativeRaum T∪ptvollständigbestimmt.
Vongrößerer Bedeutungist,dass diesekurzeexakte Sequenzeserlaubt, mächtigeope
ratortheoretische Werkzeuge — wie etwa die K Theorie von Operatoralgebren — auf
solcheProblemewieFredholm Kriterienanzuwenden,diefürnormaleOperatorenklas
sischerweisemitHilfedesSpektralsatzesangegangenwerdenwürden.SolchenÜberle
gungen entstammt der Indexsatz von Gohberg Kre ˘ın, ein (nicht triviales) Korollar der
obigenkurzenexaktenSequenz.
Für den Fall der oberen Halbebene (anstelle der Einheitskreisscheibe) erhält man ganz
ähnliche Resultate. Den Toeplitz Operatoren auf diesem Gebiet entsprechen die so ge
nannten Wiener Hopf Operatoren auf der positiven Halbgeraden. Die Korrespondenz
isthierbeidurchdieeuklidischeFourier Laplace Transformationgegeben.
Eine naheliegende Verallgemeinerung der obigen Theorie in einer Veränderlichen be
nsteht darin, statt der Einheitskreisscheibe die euklidische Einheitskugel in C zu be
trachten (die ‘Hilbertkugel’), oder auch Produktgebiete wie den Polyzylinder. Die er-
stere Situation (die von Coburn [Cob74] betrachtet und von Raeburn, Janas und Ve
nugopalkrishna für pseudokonvexe Gebiete mit glattem Rand verallgemeinert wurde)
liefert allerdings keine neuen Ergebnisse. Dies liegt in der geometrischen Tatsache be
gründet, dass die euklidischen Einheitskugeln wie im Falle einer Veränderlichen einenEinleitung 7
glattenRandbesitzen.AndersgesagthabensiealskonvexeMengennureinenTypvon
Facetten,nämlichdieExtremalpunkte.DerFallvonProduktgebietenistschwieriger,da
TensorproduktevonFredholmoperatoreninderRegelnichtmehrFredholmsind.Diein
diesemFallvonDouglas Howe[DH71]erzieltenErgebnissesindehervorläufigerNatur
(wiediebeidenAutorenselbsteinräumen).
Eine viel tiefere Theorie ergibt sich, wenn man stattdessen die Klasse der beschränk
ten symmetrischen Gebiete betrachtet. Dies sind konvexe, zirkulare Gebiete, welche ei
ne (nicht triviale) Darstellung als Einheitskugeln bezüglich einer Art verallgemeinerter
‘Operatornorm’ besitzen. Ein typisches Beispiel ist die Matrixkugel, die aus komplexen
nn Matrizen ubesteht,sodassderSpektralradiusvon u uechtkleinerEinsist.
Durch Nachahmung der Konstruktion im Fall des Einheitskreises erhält man für allge
2meinebeschränktesymmetrischeGebiete BwiederumeinenHardyraumH (B).Dieser
2isteinabgeschlossenerUnterraumvonL ,jedochdiesmalnichtdesvollenRandes,son
dern nur des Shilov Rands S . Letzterer ist der minimale ‘Rand’, für den das Maximum
prinzip Gültigkeit behält, d.h., Randwerte holomorpher Funktionen bestimmen diese
im Inneren vollständig. Sobald der Hardyraum definiert ist, ist es ein leichtes, eine C -
AlgebravonToeplitz Operatorenzudefinieren.
Die Gebiete B haben eine reiche konvexe Geometrie: Sie besitzen r Typen konvexer Fa
cetten,wobeir einefundamentaleInvariantedesGebiets Bdarstellt,denRang.DerFall
r = 1 entspricht dabei den Gebieten mit glattem Rand. Jeder der Facetten B vom Typj
j ist ein beschränktes symmetrisches Gebiet vom Rang r j. Die Gesamtheit der Fa
cetten gleichen Typs j bildet einen ‘partiellen Rand’ ∂ B des Gebiet B. Der Shilovrandj
entspricht,alsMengeallerExtremalpunkte,geradedemFall j = r.
Da jede Facette B selbst wieder ein beschränktes symmetrisches Gebiet mit einem Shi j
lovrand S ist, können ein Hardyraum und eine Toeplitz C Algebra für jede dieserj
Facetten definiert werden. Natürliche Kandidaten für nicht triviale Darstellungen sind
nun dadurch gegeben, dass man dem Toeplitz Operator vom Symbol f den Toeplitz
OperatorvomSymbol f | S (EinschränkungaufeinenderShilov Ränder S )zuordnet.j j
Esisthöchstnicht trivial,dassdieseineDarstellungderC Algebra T wohldefiniert.
Indesgiltsogarmehr:JedeirreduziblevonT istdurchEinschränkungaufei
nederFacettenB gegebenundjedesolcheFacetteinduzierteineirreduzibleDarstellungj
dervollenToeplitz C Algebra T .
IndemmandieKernederzudenFacetten B einesfestenTyps jassoziiertenDarstellun j
genschneidet,erhältmaneinIdeal I vonT .DieseIdealestehenwiefolgtinBeziehung:j
DieaufsteigendeKette

20/ I =K(H (B))/ I // I / I = T ,T /T = I0 1 r 1 r r+18 Einleitung
bildeteineKompositionsreihederC Algebra T ,derensukzessiveQuotientengerade
2I /I =C(M )
K(H (B ))j+1 j j j
sind, wobei M die kompakte Basis eines dem partiellen Rand ∂ B zugeordneten Fa j j
serbündels ist. Insbesondere istT vom Typ I, genauer, auflösbar der Länge r im Sinne
von Dynin. Das Spektrum kann aus der Kompositionsreihe bestimmt werden. Weiter-
hinkanneineIndextheoriefürToeplitzoperatorenaufderBas