Transversality results and computations in symplectic field theory [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Oliver Fabert

Oliver Fabert

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• Publié par: ludwig-maximilians-universitat_munchen
• Publié le: 01 janvier 2008
• Nombre de lectures: 6
• Langue: English

Extrait

Transversality Results and Computations
in Symplectic Field Theory
Oliver Fabert
Mu¨nchen 2008Transversality Results and Computations
in Symplectic Field Theory
Oliver Fabert
Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades des
Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)
an der Fakult¨at fu¨r Mathematik, Informatik und Statistik
der Ludwig–Maximilians–Universit¨at Mu¨nchen
vorgelegt von
Oliver Fabert
aus Freising
Mu¨nchen, den 21.02.2008Erstgutachter: Prof. Dr. Kai Cieliebak (LMU Mu¨nchen)
Zweitgutachter: Prof. Dr. Dietmar A. Salamon (ETH Zu¨rich)
Tag der mu¨ndlichen Pru¨fung: 2. Mai 2008Contents
0 Introduction 1
0.1 Symplectic field theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 Main theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Rational SFT in the Floer case 7
1.0 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 Moduli spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
11.1.1 Holomorphic curves inR×S ×M . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
11.1.2 S -symmetry, nondegeneracy and transversality . . . . . . . . . . . 14
1.2 Domain-dependent Hamiltonians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1 Deligne-Mumford space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2 Definition of coherent Hamiltonian perturbations . . . . . . . . . . 19
1.2.3 Compatibility with SFT compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Transversality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.1 Banach space bundle and Cauchy-Riemann operator . . . . . . . . 24
1.3.2 Universal moduli space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Cobordism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.1 Moduli spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.2 Transversality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5 Contact homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.5.1 Chain complex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.5.2 Proof of main theorem A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2 Trivial curves in rational SFT 43
2.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.0.1 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.0.2 Trivial curves in symplectic field theory . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.0.3 Coherent compact perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1 Moduli space of trivial curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1.1 Branched covers of trivial cylinders . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1.2 Compactification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2 Obstruction bundle and Fredholm theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2.1 Cokernel bundle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62vi CONTENTS
2.2.2 Linearized operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.2.3 Linear gluing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.2.4 Orientations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.3 Perturbation theory and Euler numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.3.1 Perturbed Cauchy-Riemann operator . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.3.2 Gluing compatibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.3.3 Euler numbers for Fredholm problems. . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.4 Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.4.1 Action filtration on rational symplectic field theory . . . . . . . . . 89
2.4.2 Marked points, differential forms and the spectral sequence for filtered complexes 92Abstract
Although the definition of symplectic field theory suggests that one has to count holo-
morphic curves in cylindrical manifoldsR×V equipped with a cylindrical almost complex
structureJ, itisalreadywell-knownfromGromov-Wittentheorythat, duetothepresence
of multiply-covered curves, we in general cannot achieve transversality for all moduli
spaces even for generic choices of J.
In this thesis we treat the transversality problem of symplectic field theory in two
important cases. In the first part of this thesis we are concerned with the rational
symplectic field theory of Hamiltonian mapping tori, which is also called the Floer case.
For this observe that in the general geometric setup for symplectic field theory, the
contact manifolds can be replaced by mapping tori M of symplectic manifolds (M,ω )φ M
with symplectomorphisms φ. While the cylindrical contact homology of M is givenφ
by the Floer homologies of powers of φ, the other algebraic invariants of symplectic
field theory for M provide natural generalizations of symplectic Floer homology. Forφ
symplectically aspherical M and Hamiltonian φ we study the moduli spaces of rational
curves and prove a transversality result, which does not need the polyfold theory by Hofer,
1∼WysockiandZehnderandallowsustocomputethefullcontacthomologyofM = S ×M.φ
The second part of this thesis is devoted to the branched covers of trivial cylinders
over closed Reeb orbits, which are the trivial examples of punctured holomorphic curves
studied in rational symplectic field theory. Since all moduli spaces of trivial curves with
virtual dimension one cannot be regular, we use obstruction bundles in order to find com-
pact perturbations making the Cauchy-Riemann operator transversal to the zero section
and show that the algebraic count of elements in the resulting regular moduli spaces is
zero. Once the analytical foundations of symplectic field theory are established, our result
implies that the differential in rational symplectic field theory and contact homology is
strictly decreasing with respect to the natural action filtration. After introducing addi-
tional marked points and differential forms on the target manifold we finally use our result
2to compute the E -page of the corresponding spectral sequence for filtered complexes.viii CONTENTSZusammenfassung
Obwohl es die Definition der symplektischen Feldtheorie nahelegt, dass holomorphe Kur-
ven in zylindrischen MannigfaltigkeitenR×V gez¨ahlt werden, die mit einer zylindrischen
fast-komplexen Struktur J versehen sind, ist es bereits von der Gromov-Witten-Theorie
wohlbekannt, dass man wegen des Vorhandenseins von mehrfach u¨berlagerten Kurven
auch fu¨r generische Wahlen von J keine Transversalit¨at fu¨r alle Modulr¨aume erreichen
kann.
In dieser Arbeit behandeln wir das Transversalit¨atsproblem der symplektischen
Feldtheorie in zwei wichtigen F¨allen. Im ersten Teil dieser Arbeit besch¨aftigen wir uns
mit der rationalen symplektischen Feldtheorie von Hamiltonischen Abbildungstori, was
auch als der Floer-Fall bezeichnet wird. Dafu¨r beobachtet man, dass im verallgemeinerten
geometrischen Formalismus der symplektischen Feldtheorie die Kontaktmannigfaltigkeiten
durch Abbildungstori M von symplektischen Mannigfaltigkeiten (M,ω ) mit Symplek-φ M
tomorphismen φ ersetzt werden k¨onnen. W¨ahrend die zylindrische Kontakthomologie
von M durch die Floer-Homologien der Potenzen von φ gegeben ist, bieten die anderenφ
algebraischen Invarianten der symplektischen Feldtheorie von M natu¨rliche Verallge-φ
meinerungen der symplektischen Floer-Homologie. Wir untersuchen die Modulr¨aume
rationaler Kurven fu¨r symplektisch-asph¨arisches M und Hamiltonisches φ und beweisen
ein Transversalit¨atsresultat, welches nicht auf die Polyfold-Theorie von Hofer, Wysocki
und Zehnder zuru¨ckgreift und uns die Berechnung der vollen Kontakthomologie von
1∼M S ×M erlaubt.=φ
¨Der zweite Teil dieser Arbeit ist den verzweigten Uberlagerungen von trivialen Zylin-
dern u¨ber geschlossenen Reeb-Orbiten gewidmet, welche die trivialen Beispielen fu¨r holo-
morphenKurvensind, dieinderrationalen symplektischen Feldtheorieuntersuchtwerden.
Da alle Modulr¨aume mit virtueller Dimension eins nicht regul¨ar sein k¨onnen, benutzen
wir Obstruktionsbu¨ndel, um kompakte St¨orungen zu finden, welche den Cauchy-Riemann-
Operator transversal zum Nullschnitt machen und zeigen, dass das algebraische Z¨ahlen
der Elemente in dem sich ergebenen regul¨aren Modulraum Null ergibt. Wenn die analy-
tischenGrundlagendersymplektischenFeldtheorieeinmalbewiesensind,wirdunserResul-
tat zeigen, dass das Differential in der rationalen symplektischen Feldtheorie wie auch der
Kontakthomologie strikt absenkend ist bezu¨glich der natu¨rlichen Aktionsfiltration. Nach
dem Einfu¨hren zus¨atzlicher markierter Punkte und Differentialformen auf der Zielmannig-x CONTENTS
2faltigkeit benutzen wir zu guter Letzt unser Resultat, um die E -Seite der zugeh¨origen
Spektralsequenz fu¨r filtrierte Komplexe zu berechnen.