Two-component link maps in manifolds [Elektronische Ressource] / vorgelegt Alexander Pilz

Pilz, Charles Wesley Alexander

Description

TWO-COMPONENTLINKMAPSINMANIFOLDSDISSERTATION zur Erlangung des Grades eines Doktorsder NaturwissenschaftenAlexander PilzFachbereich Mathematik der Universit¨at SiegenTWO-COMPONENTLINKMAPSINMANIFOLDSDISSERTATIONzur Erlangung des Grades eines Doktorsder Naturwissenschaftenvorgelegt vonDipl.-Math. Alexander Pilzaus Tangermu¨ndeeingereicht beim Fachbereich Mathematikder Universit¨at SiegenJanuar 2004Dekan: Prof. Dr. Hans-Ju¨rgen ReinhardtGutachter: Prof. Dr. Ulrich KoschorkeProf. Dr. Uwe KaiserDisputation: 29.01.2004Internetpublikation der Universit¨at Siegen : urn:nbn:de:hbz:467-936iiZusammenfassungIn den achtziger Jahren des letzten Jahrhunderts wurde die α-Invariante ver-wendet, um sph¨arische Verschlingungsabbildungen zu studieren, d.h. stetigep q mAbbildungen zweier Sph¨arenS ,S in den euklidischen RaumR mit disjunk-ten Bildern. Man beachte, dass Selbstdurchdringungen der einzelnen Kompo-nenten durchaus erlaubt sind. Es stellte sich heraus, dass α in einem gewissenDimensionsbereich (2p+2q≤ 3m−5) Verschlingungsabbildungen klassifiziert,d.h. bis auf Homotopie durch Verschlingungsabbildungen.In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir verallgemeinerte Verschlingungs-abbildungen, d.h. stetige Abbildungen zweier kompakter Mannigfaltigkeitenm n qM undN mitdisjunktenBildernineineZielmannigfaltigkeitvomTypQ×R.

Sujets

• Mathematics

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• Publié le: 01 janvier 2005
• Nombre de lectures: 37
• Langue: Deutsch
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Extrait

TWO-COMPONENT LINK MAPS IN MANIFOLDS

DISSERTATIONzur Erlangung des Grades eines Doktors

der Naturwissenschaften

Alexander Pilz

FachbereichMathematikderUniversit¨atSiegen

TWO-COMPONENT LINK MAPS IN MANIFOLDS

DISSERTATION

zur Erlangung des Grades eines Doktors

der Naturwissenschaften

vorgelegt von Dipl.-Math. Alexander Pilz

ausTangermu¨nde

eingereicht beim Fachbereich Mathematik

derUniversita¨tSiegen

Januar 2004

Dekan:

Gutachter:

Disputation:

Prof.Dr.Hans-J¨urgenReinhardt

Prof. Dr. Ulrich Koschorke

Prof. Dr. Uwe Kaiser

29.01.2004

InternetpublikationderUniversit¨atSiegen:urn:nbn:de:hbz:467-936

ii

Zusammenfassung

In den achtziger Jahren des letzten Jahrhunderts wurde dieα-Invariante ver-

wendet,umspha¨rischeVerschlingungsabbildungenzustudieren,d.h.stetige AbbildungenzweierSpha¨renS p ,S q in den euklidischen RaumR m mit disjunk-

ten Bildern. Man beachte, dass Selbstdurchdringungen der einzelnen Kompo-

nenten durchaus erlaubt sind. Es stellte sich heraus, dassαin einem gewissen

Dimensionsbereich (2p+ 2q≤3m−5) Verschlingungsabbildungen klassifiziert,

d.h. bis auf Homotopie durch Verschlingungsabbildungen.

In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir verallgemeinerte Verschlingungs-

abbildungen, d.h. stetige Abbildungen zweier kompakter Mannigfaltigkeiten M m undN n mit disjunkten Bildern in eine Zielmannigfaltigkeit vom TypQ q ×R.

DiedurchdenzweitenFaktorgegebeneaffineStrukturmachtesunsmo¨glich,

eineαverallgemeinernde Versionα w zufindelicheineWichtungeier,nidzesua¨zt

durch gewisse Doppelnebenklassen vonπ 1 (Qenhasammompo-ngsk)¨feduZruej

nente derαeisengktialgfniantmitwriW.tmminrovtiepr¨arecSnhdnneeierestn

nach, dassα w invariant ist bis auf basispunkterhaltende Verschlingungshomo- topie.

Weiterhin zeigt sich, dass die Invarianteα w den basispunkterhaltenden Ver-

schlingungshomotopietypvollsta¨ndigbestimmt,wenn1≤m, nundm+n=q

gilt.Fu¨randereDimensionsbereicheko¨nnenvieledurch

α w unterscheidbare

Verschlingungsabbildungen angegeben werden. ¨ Beim Ubergang zu basispunktfreier Verschlingungshomotopie, welche die na-

t¨urlichereRelationbzgl.

Verschlingungsabbildungenzuseinscheint,ver¨andern

iii

sichdiefu¨rdieWichtungenverwendetenSystemevonDoppelnebenklassen,so

dass

im

Allgemeinen

eine

“Liftung”

von

α w

zu

einer

sispunktfreierVerschlingungshomotopieunm¨oglichist.

Invarianten

bzgl.

ba-

Allerdings treten diese

Probleme nicht auf, wennπ 1 (M) = 1 =π 1 (N¨fre).B.z(tllelh¨oherdimensiona u

Sph¨arenodergeeigneteTori)oderπ 1 (Qeba)hcsl.tsisich¨aßtelln¨FladinenIeb

eine Liftungαe w definieren, die im Dimensionsbereichm+n=qfu¨rm, n≥1

klassifizierend ist.

iv

Abstract

In the eighties of the last century the generalized linking numberαwas used to

study spherical link maps in the euclidean spaceR m  of two spheres maps, i.e.

S p ,S q  It turned out that in a certain dimension rangewith disjoint images.

(2p+ 2q≤3m−5)αlink maps up to link homotopy, i.e.classifies  homotopy

through link maps.

In the present thesis we investigate generalized link maps, i.e. continuous

maps of two compact manifoldsM m andN n , resp., with disjoint images into

a manifold of typeQ×R. Because of the affine structure given by the second

factor we are able to construct a refinementα w ofα refinement is based on. The

a weighting of each path component of the intersection manifold representing

αby double cosets ofπ 1 (Q). We prove thatα w is invariant up to base point

preserving link homotopy.

Furthermore we can show that in the dimension range where 1≤m, nand

m+n=qour invariant determines the link homotopy type completely.holds

For other dimension settings we construct many examples with different link

homotopy type.

Consider now the relation of base point free link homotopy, which seems to

be more natural for link maps. We are faced with the problem that a (free)

link homotopy changes the target group ofα w . Thus a “lifting” ofα w to an

invariant concerning base point free link homotopy fails in general. But there

are no problems ifπ 1 (M) = 1 =π 1 (N higher dimensional spheres for) (i.e.

or appropriate tori) or ab

elian fundamental group ofQ.

v

In both cases we can

define a liftingαe w , which classifies in the dimension range where 1≤m, nand

m+n=qholds.

vi

Acknowledgments

First of all I wish to express my gratitude to my first advisor Prof. Dr. Ulrich

Koschorke. Beside his advices and suggestions, which were very helpful in the

clarification of many details, he offered me the position of a scientific assistant

in the topology workgroup over the last years. Without his kind support a

completion of this work were not possible. I would like to thank Prof. Dr. Uwe

Kaiser for many interesting and encouraging talks about the topic. At all times

he was up to date in new developments in link theory. That was very helpful.

I am very grateful to all the support I have received whilst researching and

writing up the dissertation. Thanks especially go to PD Dr. Alexander Felshtyn,

Dr.JochenKroll,Dr.AchillSchu¨rmannandmanyotherofmycolleaguesat

the University of Siegen.

I’d also like to thank my wife Martje and my son Moritz.

very patient with me when no work was forthcoming.

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They have been

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3.3

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classical dimension setting

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The

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4.1 Proof of the classification result

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1 Introduction

List of Figures

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Construction of link maps in standard

form

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Results in higher dimensions

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=q

n

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The special casem

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Manifolds and differentials . . . .

2.1

Basics and background in topology

2

2.2

Pontrjagin-Thom construction . .

2.3

Stable framings and orientations .

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The weighted linking numberα w 3.1 Link maps and link homotopy

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Definition ofα w . . . . . . . . . . Homotopy invariance ofα w . . . . Symmetry relations ofα w . . . .

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3

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3.2

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Zusammenfassung

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Acknowledgments .

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Abstract . . . . . .

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Contents

ix

6

Base point free link homotopy

Bibliography

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