Virtual compton scattering in baryon chiral perturbation theory [Elektronische Ressource] / Dalibor Djukanovic

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• Publié le: 01 janvier 2008
• Nombre de lectures: 15
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Extrait

Virtual Compton Scattering in Baryon
Chiral Perturbation Theory
Dissertation
zur Erlangung des Grades
,,Doktor der Naturwissenschaften"
am Fachbereich Physik, Mathematik und Informatik
der Johannes Gutenberg-Universit˜at
in Mainz
Dalibor Djukanovic,
geboren in Mainz
Mainz, Juni 2008Tag der mundlic˜ hen Prufung:˜ 11.07.2008Abstract
This thesis is concerned with the calculation of virtual Compton scattering (VCS)
in manifestly Lorentz-invariant baryon chiral perturbation theory to fourth order
in the momentum and quark-mass expansion. In the one-photon-exchange approx-
imation, the VCS process is experimentally accessible in photon electro-production
0 0ep! ep? and has been measured at the MAMI facility in Mainz, at MIT-Bates,
and at Jefierson Lab. Through VCS one gains new information on the nucleon
structure beyond its static properties, such as charge, magnetic moments, or form
factors. The nucleon response to an incident electromagnetic fleld is parameterized
in terms of 2 spin-independent (scalar) and 4 spin-dependent (vector) generalized
polarizabilities (GP). In analogy to classical electrodynamics the two scalar GPs
represent the induced electric and magnetic dipole polarizability of a medium. For
the vector GPs, a classical interpretation is less straightforward. They are derived
from a multipole expansion of the VCS amplitude.
This thesis describes the flrst calculation of all GPs within the framework of mani-
festly Lorentz-invariant baryon chiral perturbation theory. Because of the compar-
atively large number of diagrams|100 one-loop diagrams need to be calculated|
severalcomputerprogramsweredevelopeddealingwithdifierentaspectsofFeynman
diagram calculations. One can distinguish between two areas of development, the
flrst concerning the algebraic manipulations of large expressions, and the second
dealing with numerical instabilities in the calculation of one-loop integrals. In this
thesis we describe our approach using Mathematica and FORM for algebraic tasks,
and C for the numerical evaluations.
We use our results for real Compton scattering to flx the two unknown low-energy
constants emerging at fourth order. Furthermore, we present the results for the
difierential cross sections and the generalized polarizabilities of VCS ofi the proton.Zusammenfassung
DievorliegendeDissertationbefasstsichmitderBerechnungdervirtuellenCompton-
Streuung(VCS)inmanifestLorentz-invarianterbaryonischerchiralerSt˜orungstheorie
bis zur vierten Ordnung in der Impuls- und Quarkmassenentwicklung. In der Ein-
photonaustauschn˜aherung ist der VCS-Prozess experimentell in der Photonelektro-
0 0produktion ep ! ep? zug˜anglich und wurde am Beschleuniger MAMI in Mainz,
sowie am MIT-Bates und am Jefierson Lab gemessen. Durch VCS erh˜alt man
neue Informationen ub˜ er die Struktur des Nukleons jenseits seiner statischen Eigen-
schaften wie Ladung, magnetisches Moment oder Formfaktoren. Das Verhalten
des Nukleons unter dem Ein uss elektromagnetischer Felder wird durch 2 spin-
unabh˜angige (skalare) und 4 spinabh˜angige (vektorielle) generalisierte Polarisier-
barkeiten (GP) parametrisiert. In Analogie zur klassischen Elektrodynamik lassen
sich die 2 skalaren GPs als induzierte elektrische und magnetische Dipole deuten.
Fur˜ die vektoriellen GPs ist eine klassische Interpretation deutlich schwieriger. Sie
werden ub˜ er eine Multipolentwicklung der VCS-Amplitude hergeleitet.
Diese Arbeit stellt die erste Berechnung aller GPs in manifest Lorentz-invarianter
baryonischerchiralerSt˜orungstheoriedar. Hierfur˜ mussen˜ 100Einschleifendiagramme
berechnet werden. Aufgrund der vergleichsweise gro…en Anzahl an Einschleifendia-
grammen wurden im Rahmen dieser Arbeit verschiedene Computerprogramme zur
Berechnung von Feynmandiagrammen entwickelt. Man kann hier zwei Entwick-
lungsstr˜ange unterscheiden. Zum einen ben˜otigen wir zur
algebraischen Manipulation gro…er Ausdruc˜ ke, zum anderen stellt sich das Prob-
lem von numerischen Instabilit˜aten bei der Berechnung der Einschleifenintegrale.
Wir stellen in dieser Arbeit unsere Vorgehensweise dar, wobei fur˜ den algebraischen
Teil Mathematica und FORM verwendet wurden, und der numerische Teil durch
C-Programme realisiert wurde.
WirbenutzenunsereErgebnissefur˜ diereelleCompton-Streuung,umdiebeidenun-
bekannten Niederenergiekonstanten der vierten Ordnung zu bestimmen. Schlie…lich
pr˜asentieren wir unsere Resultate fur˜ die difierentiellen Wirkungsquerschnitte und
die generalisierten Polarisierbarkeiten fur˜ VCS am Proton.Contents
1 Introduction 1
2 QCD and chiral perturbation theory 5
2.1 QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.1 Massless QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Explicit symmetry breaking in QCD . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Chiral Ward identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 perturbation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 Power counting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.2 Mesonic Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Baryonic Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1 Power counting in B´PT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.2 Infrared regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Virtual Compton scattering 23
3.1 Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.1 Difierential cross section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Deflnition of the VCS process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.1 Low-energy theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Generalized polarizabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.1 Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Technical details 40
4.1 Diagram generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Calculation of invariant amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 Derivatives of one-loop-functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4 Exceptional kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5 Results 56
5.1 Fitting procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.1.1 Known low energy constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1.2 Unknown low energyts . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2 Real Compton scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3 Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3.1 Difierential cross sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3.2 Generalized polarizabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6 Summary and conclusions 71
A Feynman rules 75
A.1 Propagators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
A.2 Vertices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
B Basis of the Compton tensor 79
B.1 Extraction of the f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81i
C One-loop integrals 84
C.1 Deflnitions of the one-loop integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
C.1.1 Scalar integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
C.1.2 Tensor Coe–cients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
C.2 Derivative of one-loop integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
C.2.1 Derivative of the 2- and 3-point functions . . . . . . . . . . . . 86
C.2.2 Derivative of the 4-point function . . . . . . . . . . . . . . . . 90
D Subtraction terms 96
E Results 99
F Diagrams for VCS 105
F.1 Tree-order diagrams. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
F.2 One-loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Chapter 1
Introduction
Thereisarichhistoryofanalyzingthenucleonstructurebymeansofanelectromag-
netic probe. The deviation of the nucleon magnetic moment from the theoretical
1predictionsofapoint-likespin- particle, asseeninearlyexperimentsbyFrischand2
Stern[FS 33],indicatesthecompositenatureofthenucleon. Inlaterexperimentsby
Hofstadter et al. [HBY 58] the internal structure of nucleons was investigated using
electron-nucleon scattering. From the experiments one could deduce the electro-
magnetic form factors which, in the nonrelativistic limit, allow for an interpretation
as the spatial distribution of charge and the magnetic moments inside the nucleon.
In recent years the investigation of the nucleon structure at low energies has drawn
much attention on the experimental as well as the theoretical side [DW 07].
Quantum chromodynamics (QCD) is by now the established gauge theory of
the strong interactions and a lot of efiort has been put forth in the quest of under-
standing the implications of QCD at very low energies. QCD itself is a remarkably
beautiful theory, given its simplicity compared to the large variety of phenomena
it ought to describe. There is, however, a caveat concerning the low-energy do-
main of QCD. Because the coupling constant of QCD grows with decreasing energy
[GW 73, Pol 73] a perturbative treatment in terms of an expansion in the strong
coupling is not possible. This led to an increasing activity in the fleld of efiec-
tive fleld theories (EFT). Starting from the pioneering work by Weinberg [Wei 79],
Gasser and