Weighted function spaces and traces on fractals [Elektronische Ressource] / von Iwona Piotrowska

Description

Weighted function spaces and traces onfractalsDissertationzur Erlangung des akademischen Gradesdoctor rerum naturalium (Dr. rer. nat.)vorgelegt dem Rat derFakult¨at fu¨r Mathematik und Informatikder Friedrich-Schiller-Universit¨at Jenavon Dipl.-Math. Iwona Piotrowskageboren am 06. Juni 1980 in Cz luch´owGutachter1. PD Dr. Dorothee D. Haroske2. Prof. Dr. Hans Triebel3. Prof. Dr. Miroslav KrebecTag der letzten Pru¨fung des Rigorosums: 23.10.2006Tag der o¨ffentlichen Verteidigung: 03.11.2006AcknowledgementsFirst of all I wish to express my deepest appreciation to my supervisor PD Dr.Dorothee D. Haroske. I am greatly indebted to her for many stimulating conversa-tions, suggestions and remarks. I also would like to thank Prof. Dr. Hans Triebelfor the helpful discussions and suggestions. I thank Prof. Dr. Miroslav Krbec, PDDr. Dorothee D. Haroske and Prof. Dr. Hans Triebel for kindly agreeing to serveas referee for this thesis. I also thank Mariusz Piotrowski for his permanent supportand remarks. Further, I thank the following individuals for useful discussions andcomments: Jan Schneider and Steffen Winter.Finally, I wish to thank the Junior Research Team ”Fractal Analysis” for financialsupport.Contents1 Introduction 102 Preliminaries 132.1 Notation and conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Classical function spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Muckenhoupt weights . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sujets

• Mathematics

Informations

• Publié par: friedrich-schiller-universitat_jena
• Publié le: 01 janvier 2006
• Nombre de lectures: 30
• Langue: English

Extrait

Weighted

function spaces fractals

and

traces

Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades doctor rerum naturalium (Dr. rer. nat.)

vorgelegt dem Rat der Fakult¨atf¨urMathematikundInformatik derFriedrich-Schiller-Universita¨tJena

von Dipl -Math. Iwona Piotrowska . geborenam06.Juni1980inCz
lucho´w

on

Gutachter

1. PD Dr. Dorothee D. Haroske 2. Prof. Dr. Hans Triebel 3. Prof. Dr. Miroslav Krebec

TagderletztenPr¨ufungdesRigorosums:23.10.2006

Tag der offentlichen Verteidigung: ¨

03.11.2006

Acknowledgements

First of all I wish to express my deepest appreciation to my supervisor PD Dr. Dorothee D. Haroske. I am greatly indebted to her for many stimulating conversa- tions, suggestions and remarks. I also would like to thank Prof. Dr. Hans Triebel for the helpful discussions and suggestions. I thank Prof. Dr. Miroslav Krbec, PD Dr. Dorothee D. Haroske and Prof. Dr. Hans Triebel for kindly agreeing to serve as referee for this thesis. I also thank Mariusz Piotrowski for his permanent support and remarks. Further, I thank the following individuals for useful discussions and comments: Jan Schneider and Steffen Winter. Finally, I wish to thank the Junior Research support.

Team ”Fractal Analysis” for financial

Contents

1

2

3

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Introduction

Preliminaries 2.1 Notation and conventions 2.2 Classical function spaces . 2.3 Muckenhoupt weights . .

. . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Weighted function spaces 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . 3.2 An atomic decomposition . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

13 13 15 17

24 24 32

Traces on fractals42 4.1 Traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2 Traces of Besov spaces on fractals: a heuristic approach . . . . . . . 44 4.3 Traces on fractals of weighted Besov spaces . . . . . . . . . . . . . . 46 4.4 Traces on fractals of weighted Triebel-Lizorkin spaces and applications 57

Weighted function spaces of generalized smoothness and traces on related(d,Ψ)-sets 5.1 Function spacesB s pq Ψ (R n ) and (d, . . . Ψ)-sets .. . . . . . . . . . . 5.2 Traces on (d,Ψ)-sets of weighted Besov spaces . . . . . . . . . . . . . 5.3 Traces on (d, . . . . . . .Ψ)-sets of weighted Triebel-Lizorkin spaces

62 62 68 72

Entropy and approximation numbers of embeddings between weighted Besov spaces 75 6.1 Entropy numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Contents

6.2

Approximation numbers

Bibliography

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

83

5

Zusammenfassung

DaswesentlicheThemainderallgemeinenTheoriederFunktionenr¨aumederver- gangenenJahrzehnteistdieUntersuchungderZusammenh¨angezwischenFunk- tionenra¨umen,FourieranalysisundSpektraltheorievonDifferentialoperatorenund in letzter Zeit auch zur Fraktalen Geometie. Wir benutzen in unserer Arbeit sowohl fundamentaleIdeenausderTheoriederFunktionenra¨umealsauchMethodender FraktalenGeometrie,umdieZusammenh¨angezwischenFraktalenundgewichteten n Funktionenr¨aumenvomBesov-undTriebel-Lizorkin-Typ,bezeichnetmitB s pq (R, w) bzw.F s pq (R n , w), zu studieren. In der gesamten Arbeit werden wir Gewichtsfunk- tionen betrachten, welche zu einer Muckenhoupt KlasseA p mit 1< p <∞ghe.no¨er Eine positive Funktionw∈L col 1 (R n ) heißtA p -Gewicht, falls eine positive Konstante A >0 existiert, so dass  | 1 B| Z B w(x)dx  1p   | 1 B| Z B w(x) −p ′ p dx  1p ′ ≤A,

wobeiBeine beliebige Kugel inR n und|B|ihr Lebesgue-Maß ist. Klasse DieA p von Gewichten wurde vonB. Muckenhoupt¨fegnie]zrE.trhudae,gteissin[Muc72a dieA p -GewichtewuaidgneigenejenchteGewioo-dltweL-tiraydderHrdie,f¨usind Maximaloperator M f(x) = s B u ∋ p x |B 1 | Z B |f(y)|dy, x∈R n

vonL p (R n , w) nachL p (R n , wafmuness.tsieniEr¨chktanes)bsretedaDdgrellnu Muckenhoupt-Gewichte kann man in dem Buch vonJ. Garcia-CuervaundJ. L. Rubio de Francia systematisches Studium der Besov- und[GR85] finden. Ein Triebel-Lizorkin-Ra¨umemitMuckenhoupt-GewichtenwurdeindenArbeitenvonH. Q. Bui die Beziehung zwischen Fraktaler Geometrie und der The-begonnen. Um

Zusammenfassung

oriederFunktione¨ebesserzuverstehen,fu¨hrenwirdiespezielleGewichts-nraum funktionw Γ κ MnßaeiieedAn¨frundzwbstaeneiischbegegmenknuPnenetnid,e x∈R n nduktrarfdelaneeMgnΓesi.t¨MoglicheKandidateu¨fnarfrlatkneMe- gen Γ sind dabeid-Mengen und ihre Verallgemeinerungen, die (d,Ψ)-Mengen. Ein Ziel unserer Arbeit ist es, die Interaktion zwischen der Struktur der Fraktale und der Glattheit der Grundfunktionen mittels geeigneter Gewichtsfunktionw Γ κ zu un- tersuchen.EinweiteresZielist,eineatomareZerlegungf¨urgewichteteFunktio- nenr¨aumemitMuckenhoupt-Gewichtenanzugeben,diefu¨rdenallgemeinenFallbe- wiesen werden. InderTheoriederFunktionenra¨umesindvieleandereKlassenvonGewichtsfunk- tionen betrachtet worden. Eine der interessantesten Klassen bilden z.B. die soge- nannten”zula¨ssigenGewichte”(admissibleweights).Wirverweisenauf[Tri78]und [SchT87]fu¨rweitereInformationen. In Kapitel 2 wiederholen wir grundlegende Definitionen, legen die Notation fest und stellen die Konzepte vor. Insbesondere definieren wir die klassischen Besov- und Triebel-Lizorkin-R¨aumeundstelleneinigeErgebnissebereit.Abschnitt2.3dient derEinf¨uhrungunddemStudiumderMuckenhoupt-Gewichte.Außerdemfu¨hren wir die Gewichtsfunktionw κ Γ (x) = dist(x,Γ) κ in der Umgebung von Γ ein, wobei Γ eined-Menge mit 0< d < nist und studieren ihre Eigenschaften. Das Hauptergebnis dieses Kapitels besagt, dass eine Funktionw Γ κ genau dann zur Muckenhoupt-Klasse A r egnnw,tro¨he−(n−d)<κ<(n−d)(r−1) gilt. DasdritteKapitelwidmetsichdematomarenZerlegungstheoremf¨urgewichtete Besov-undTriebel-Lizorkin-R¨aume.Wirzeigen,dassjedeDistributionf∈ S ′ (R n ), die Element eines Besov-RaumesB pq s (R n , w κ Γ ) oder eines entsprechenden Triebel-Li- zorkin-RaumesF qp s (R n , w Γ κ ) ist, sich als

∞ f(x) = X X λ νm a νm (x), ν=0 m∈Z n

Konvergenz in

S ′ (R n ),

darstellenl¨asst,wobeia νm (x) sogenannte Atome undλ νm  Des-Koeffizienten sind. weiteren zeigen wir, dass eine Funktionfzu einem Funktionenraum genau dann geh¨ort,wenndieFolgederkomplexenZahlen(λ νm ) zum entsprechenden Folgen- raumgeho¨rt.DieErgebnissedeszweitenunddrittenKapitelsbasierenaufeiner Zusammenarbeit mitD. D. HaroskenusdnidzurVer¨offentlicegnagnuhnemmon (siehe [HP]).

7

Zusammenfassung

In Kapitel 4 wenden wir das atomare Zerlegungstheorem an, um die Spur von gewichtetenBesov-undTriebel-Lizorkin-R¨aumenaufd-Mengen zu berechnen. Das Spurproblemfu¨rklassischeBesov-undTriebel-Lizorkin-Ra¨umeistinderLiteratur ausf¨uhrlichdiskutiertworden.WirverweisenbesonderesaufdieArbeitenvonH. Triebel[Tri78] undB. Jawerth Problem der Spurcharakterisierung[Jaw77]. Das auf Fraktalen ist erst in der letzten Zeit interessant geworden. Die bisher wichtigsten Ergebnisse dieser Entwicklung sind in [Tri97, Kapitel 18] zusammengefasst. Unser Hauptergebnis ist das Folgende. Sei tr Γ or,wie¨ublichdefiinre¨tburedpSreporutare punktweiseEinschra¨nkungglatterFunktionenaufΓundderenVervollsta¨ndigung. Danngiltfu¨rκ>−(n−d)

κ + n−d tr Γ B p p min( p 1p) (R n , w κ Γ ) =L p (Γ),

0< p <∞,

wobei wir die Elemente vonL p (Γ) als temperierte Distributionen aufR n verstehen. Dieses Ergebnis wurde von einem Resultat vonH. Triebelru¨fthcinnedgewichteten Fall(siehe[Tri97,Kapitel18])inspiriert.WirbeweisenfolgendesResultatf¨urF- Ra¨ume(sieheTheorem4.11):

− tr Γ F s pq (R n , w Γ κ ) = tr Γ s pp − κ p ( s pp n p −d − κ p (Γ), BR n ) =B

s >  n−dκ 0 + p <, <∞, p p

wobei der Spur-RaumB q s p DeinΓ)(n4ioitfinebegeg6.snI.tsinnderbesotf¨uegilr 0< p≤1 und 0< q≤ ∞

tr p κ + n−p d (R n , w κ Γ ) =L p (Γ) F p q Γ

AmEndedesKapitelsbetrachtenwirgewichteteSobolev-R¨aumemitderspeziellen Gewichtsfunktionw α (x) =|x n | α erktrahandreieisnerupSei¨Rreseidaufaume.iWcr (n−1)-dimensionalen Hyperebenen

α1 tr R n−1 W pk (R n , w α ) =B pp k− p (Γ),

k∈N,

α+ 1 k >  p

Die Ergebnisse des vierten Kapitels sind in der Arbeit [Pio] zussamengestellt und zurVer¨offentlichungangenomen.InKapitel5verallgemeinernwirdieResultatedes vorherigenKapitels,indemwirdieSpurengewichteterR¨aumeauf(d,Ψ)-Mengen berechnen.

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